奧數(shù)提高班第一講 有理數(shù)的巧算

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1、第一講有理數(shù)的巧算 有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ)．它要求同學(xué)們?cè)诶斫庥欣頂?shù)的有關(guān)概念、法 則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進(jìn)行運(yùn)算．不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件， 將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運(yùn)算能力，發(fā)展 思維的敏捷性與靈活性． 1．括號(hào)的使用在代數(shù)運(yùn)算中，可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，去掉或者添上括號(hào)，以此來 改變運(yùn)算的次序，使復(fù)雜的問題變得較簡單． 例1計(jì)算下式的值： 211X555+445X789+555X789+211X445. 例2在數(shù)1,2,3,…，1998前添符號(hào)“+”和“一，并依次運(yùn)算，所得可能的最小非

2、負(fù)數(shù) 是多少？ 2.用字母表示數(shù)我們先來計(jì)算(100+2)X(100-2)的值： 這是一個(gè)對(duì)具體數(shù)的運(yùn)算，若用字母a代換100,用字母b代換2,上述運(yùn)算過程變?yōu)? (a+b)(a-b)= 于是我們得到了一個(gè)重要的計(jì)算公式 這個(gè)公式叫公_式，以后應(yīng)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí)，不必重復(fù)公式的證明 過程，可直接利用該公式計(jì)算. 24 690 練習(xí)1計(jì)算397X10009的值.練習(xí)2計(jì)算:123462 例3計(jì)算3001X2999的值. 練習(xí)3計(jì)算：(2+1)(22+1)(24+1)(28

3、+1)(216+1)(232+1). {1} {11 11 練習(xí)4計(jì)算：1----1「一dil I| 3?觀察算式找規(guī)律1刃132J 例4莫班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績?nèi)缦?，?qǐng)計(jì)算他們的總分與平均分^ 87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88. 例5計(jì)算1+3+5+7+…+1997+1999的值. 例6計(jì)算1+5+52+53+--+599+5100的值.

4、例7計(jì)算: 練習(xí)一 1?計(jì)算下列各式的值: (1) -1+3-5+7-9+11-…-1997+1999； (2) 11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100; (3) 1991X1999-1990X2000; ⑷4726342+4726352-472633X472635-472634X472636; (5J+-+—4■,+ 1X33X55X71997X)999 ,.1111 (7)P*W***玄+… S555 (6)1+4+7+??+244； 2?莫小組20名同學(xué)的數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績?nèi)缦?，試?jì)算他們的平均分. 81,72,77,83,73,85,92

5、,84,75,63,76,97,80,90,76,91,86,78,74,85. 179111315 (3 3T2+20_30+42-56 第一講有理數(shù)的巧算答案 例1計(jì)算下式的值： 211X555+445X789+555X789+211X445. 分析直接計(jì)算很麻煩，根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，添加括號(hào)改變運(yùn)算次序，可使計(jì)算簡單．本題可將第一、第四項(xiàng)和第二、第三項(xiàng)分別結(jié)合起來計(jì)算． 解原式=(211X555+211X445)+(445X789+555X789)=211X(555+445)+(445+555)X789=211X1000+1000X789=1000X(211+789)=1000

6、000． 說明加括號(hào)的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧． 例2在數(shù)1,2,3,?,1998前添符號(hào)“+”和“-”，并依次運(yùn)算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少？ 分析與解因?yàn)槿舾蓚€(gè)整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，所以在1,2,3,?,1998 之前任意添加符號(hào)“+”或“-"，不會(huì)改變和的奇偶性.在1,2,3,…，1998中有1998-2個(gè)奇 數(shù)，即有999個(gè)奇數(shù)，所以任意添加符號(hào)“+”或“-”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非 負(fù)數(shù)不小于1. 現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號(hào)“+”或“-”，顯然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0.

7、 這啟發(fā)我們將1,2,3,???,1998每連續(xù)四個(gè)數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號(hào)，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+ ???+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1 所以，所求最小非負(fù)數(shù)是1. 說明本例中，添括號(hào)是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計(jì)算大大簡化. 22 2-1 2=8 999 999 例3計(jì)算3001X2999的值. 解3001X2999=(3000+1)(3000-1)=3000 例4某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績?nèi)缦?，?qǐng)計(jì)算他們的總分與平均分. 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，

8、92，88，90，91，86，89，92，95，88.分析與 解若直接把20個(gè)數(shù)加起來，顯然運(yùn)算量較大，粗略地估計(jì)一下，這些數(shù)均在90上下， 所以可取90為基準(zhǔn)數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負(fù)”，考察這20個(gè)數(shù)與90的差，這樣 會(huì)大大簡化運(yùn)算.所以總分為90X20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2) =1800-1=1799， 平均分為90+(-1)-20=89.95. 例5計(jì)算1+3+5+7+???+1997+1999的值. 分析觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)

9、減前項(xiàng)的差都等于2；其次算式中首末兩 項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于2000，于是可有如下解法． 解用字母S表示所求算式，即 S=1+3+5+???+1997+1999.① 再將S各項(xiàng)倒過來寫為 S=1999+1997+1995+???+3+1.② 將①，②兩式左右分別相加，得 2s=(1+1999)+(3+1997)+???+(1997+3)+(1999+1) =2000+2000+…+2000+2000(500個(gè)2000) =2000X500. 從而有S=500000. 例6計(jì)算1+5+52+53+???+599+5100的值. 分析觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項(xiàng)

10、起，每一項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5倍.如果將和式各項(xiàng)都乘以5, 所得新和式中除個(gè)別項(xiàng)外，其余與原和式中的項(xiàng)相同，于是兩式相減將使差易于計(jì)算^ 解設(shè)S=1+5+52+??+599+5100,① 所以2.3100101斤、 __② 5s=5+5+5+…+5+5. ②一①得 5A-1 所以s=4 1111 例7計(jì)算：，一廠：.，口町、 分析一般情況下，分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分.本題通分計(jì)算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個(gè)關(guān)系式 i +1)~k~FH 來把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，然后再計(jì)算，這種方法叫做拆項(xiàng)法 解由于 11111_11 匚himIIIragIIn~wifi?li 所以 1X21 2P2X323P3X4 34 1_1998 =D99 這種方法在有理數(shù) 說明本例使用拆項(xiàng)法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項(xiàng), 巧算中很常用.