奧數(shù)提高班第一講 有理數(shù)的巧算

第一講有理數(shù)的巧算有理數(shù)運算是中學數(shù)學中一切運算的基礎它要求同學們在理解有理數(shù)的有關(guān)概念、法則的基礎上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進行運算不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性1括號的使用在代數(shù)運算中，可以根據(jù)運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使復雜的問題變得較簡單例1計算下式的值：211X555+445X789+555X789+211X445.例2在數(shù)1,2,3,，1998前添符號“+”和“一，并依次運算，所得可能的最小非負數(shù)是多少？2.用字母表示數(shù)我們先來計算(100+2)X(100-2)的值：這是一個對具體數(shù)的運算，若用字母a代換100,用字母b代換2,上述運算過程變?yōu)?a+b)(a-b)=于是我們得到了一個重要的計算公式這個公式叫公_式，以后應用這個公式計算時，不必重復公式的證明過程，可直接利用該公式計算.24690練習1計算397X10009的值.練習2計算:123462例3計算3001X2999的值.練習3計算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).11111練習4計算：1-1一dilI|3?觀察算式找規(guī)律1刃132J例4莫班20名學生的數(shù)學期末考試成績?nèi)缦拢堄嬎闼麄兊目偡峙c平均分87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.例5計算1+3+5+7+1997+1999的值.例6計算1+5+52+53+-+599+5100的值.例7計算:練習一1?計算下列各式的值:(1) -1+3-5+7-9+11-1997+1999；(2) 11+12-13-14+15+16-17-18+99+100;(3) 1991X1999-1990X2000;4726342+4726352-472633X472635-472634X472636;(5J+-+4,+1X33X55X71997X)999,.1111(7)P*W*玄+S555(6)1+4+7+244；2?莫小組20名同學的數(shù)學測驗成績?nèi)缦?，試計算他們的平均?81,72,77,83,73,85,92,84,75,63,76,97,80,90,76,91,86,78,74,85.179111315(33T2+20_30+42-56第一講有理數(shù)的巧算答案例1計算下式的值：211X555+445X789+555X789+211X445.分析直接計算很麻煩，根據(jù)運算規(guī)則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結(jié)合起來計算解原式=(211X555+211X445)+(445X789+555X789)=211X(555+445)+(445+555)X789=211X1000+1000X789=1000X(211+789)=1000000說明加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧例2在數(shù)1,2,3,1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得可能的最小非負數(shù)是多少？分析與解因為若干個整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，所以在1,2,3,1998之前任意添加符號“+”或“-"，不會改變和的奇偶性.在1,2,3,，1998中有1998-2個奇數(shù)，即有999個奇數(shù)，所以任意添加符號“+”或“-”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負數(shù)不小于1.現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號“+”或“-”，顯然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0.這啟發(fā)我們將1,2,3,1998每連續(xù)四個數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以，所求最小非負數(shù)是1.說明本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化.222-1 2=8 999 999例3計算3001X2999的值.解3001X2999=(3000+1)(3000-1)=3000例4某班20名學生的數(shù)學期末考試成績?nèi)缦拢堄嬎闼麄兊目偡峙c平均分.87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88.分析與解若直接把20個數(shù)加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負”，考察這20個數(shù)與90的差，這樣會大大簡化運算.所以總分為90X20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分為90+(-1)-20=89.95.例5計算1+3+5+7+1997+1999的值.分析觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2；其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000，于是可有如下解法解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+1997+1999.再將S各項倒過來寫為S=1999+1997+1995+3+1.將，兩式左右分別相加，得2s=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500個2000)=2000X500.從而有S=500000.例6計算1+5+52+53+599+5100的值.分析觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍.如果將和式各項都乘以5,所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算解設S=1+5+52+599+5100,所以2.3100101斤、_5s=5+5+5+5+5.一得5A-1所以s=41111例7計算：，一廠：.，口町、分析一般情況下，分數(shù)計算是先通分.本題通分計算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個關(guān)系式i+1)kFH來把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做拆項法解由于11111_11匚himIIIragIInwifi?li所以1X212P2X323P3X4341_1998=D99這種方法在有理數(shù)說明本例使用拆項法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項,巧算中很常用.