新版全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題3 基本初等函數(shù)Ⅰ含解析
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1、 1
2、 1 【走向高考】(全國通用)20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題3 基本初等函數(shù)(Ⅰ) 一、選擇題 1.(文)(20xx·江西文,4)已知函數(shù)f(x)=(a∈R),若f[f(-1)]=1,則a=( ) A. B. C.1 D.2 [答案] A [解析] ∵f(-1)=2-(-1)=2, ∴f(f(-1))=f(2)=4a=1,∴a=.
3、(理)(20xx·新課標(biāo)Ⅱ理,5)設(shè)函數(shù)f(x)=則f(-2)+f(log212)=( ) A.3 B.6 C.9 D.12 [答案] C [解析] 考查分段函數(shù). 由已知得f(-2)=1+log24=3,又log212>1,所以f(log212)=2log212-1=2log26=6,故f(-2)+f(log212)=9,故選C. 2.(20xx·哈三中二模)冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-2,-),則滿足f(x)=27的x的值是( ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 設(shè)f(x)=xα,則-=(-2)α,∴α=-3, ∴f(x)=x-3,由f(
4、x)=27得,x-3=27,∴x=. 3.(文)已知命題p1:函數(shù)y=2x-2-x在R上為增函數(shù),p2:函數(shù)y=2x+2-x在R上為減函數(shù).則在命題q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(?p1)∨p2和q4:p1∧(?p2)中,真命題是( ) A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4 [答案] C [解析] ∵y=2x在R上是增函數(shù),y=2-x在R上是減函數(shù),∴y=2x-2-x在R上是增函數(shù),所以p1:函數(shù)y=2x-2-x在R上為增函數(shù)為真命題,p2:函數(shù)y=2x+2-x在R上為減函數(shù)為假命題,故q1:p1∨p2為真命題,q2:p1∧p2是假命題,q3:
5、(?p1)∨p2為假命題,q4:p1∧(?p2)是真命題.故真命題是q1、q4,故選C. [點(diǎn)撥] 1.由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)首先判斷命題p1、p2的真假是解題關(guān)鍵,再由真值表可判定命題q1、q2、q3、q4的真假. 2.考查指、對函數(shù)的單調(diào)性是這一部分高考命題的主要考查方式之一.常常是判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性討論參數(shù)值或取值范圍;依據(jù)單調(diào)性比較數(shù)的大小等. (理)已知實(shí)數(shù)a、b,則“2a>2b”是“l(fā)og2a>log2b”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 [答案] B [解析] 由y=2x為增函數(shù)知,2a>2b?a>b;由y
6、=log2x在(0,+∞)上為增函數(shù)知,log2a>log2b?a>b>0,∴a>b?/ a>b>0,但a>b>0?a>b,故選B.
4.(文)(20xx·湖南理,5)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),則f(x)是( )
A.奇函數(shù),且在(0,1)上是增函數(shù)
B.奇函數(shù),且在(0,1)上是減函數(shù)
C.偶函數(shù),且在(0,1)上是增函數(shù)
D.偶函數(shù),且在(0,1)上是減函數(shù)
[答案] A
[解析] 考查函數(shù)的性質(zhì).
由得-1 7、f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,故選A.
(理)已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且滿足f(-x)=f(x),f(-2)=-3,數(shù)列{an}滿足a1=-1,且=2×+1,(其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和),則f(a5)+f(a6)=( )
A.-3 B.-2
C.3 D. 2
[答案] C
[解析] ∵x∈R,f(-x)=f(x),且f(x)為奇函數(shù),
∴f(+x)=f(-x)=-f(x),∴f(x+3)=f[+(x+)]=-f(+x)=f(x),∴函數(shù)f(x)的周期T=3.
又a1=-1,=2×+1,∴a2=-3,a3=-7,a4=-11,a5=-27,a6=-55,∴f 8、(a5)=f(-27)=f(0)=0,f(a6)=f(-55)=-f(55)=-f(1)=-f(-2+3)=-f(-2)=3,∴f(a5)+f(a6)=3.
5.(20xx·天津理,7)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2|x-m|-1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù).記a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.a(chǎn)<b<c B.a(chǎn)<c<b
C.c<a<b D.c<b<a
[答案] C
[解析] 考查函數(shù)奇偶性及指數(shù)式、對數(shù)式的運(yùn)算.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2|x-m|-1為偶函數(shù),所以m=0,
即f(x)=2|x|-1,所以
a=f(lo 9、g0.53)=f=2-1
=2log23-1=3-1=2,
b=f(log25)=2log25-1=4,c=f(2m)=f(0)=20-1=0,
所以c0,a≠1,x∈R)叫指數(shù)函數(shù)
函數(shù)y=logax(a>0,a≠1,x>0)叫對數(shù)函數(shù)
值域
(0,+∞)
(-∞,+∞)
圖象
性質(zhì)
(1)y>0;
(2)圖象恒過點(diǎn)(0,1);
(3)a> 10、1,
當(dāng)x>0時(shí),y>1;
當(dāng)x<0時(shí),0 11、
定義域
R
R
[0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
值域
R
[0,+∞)
[0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
非奇非偶
奇函數(shù)
單調(diào)性
增
x∈[0,
+∞)
時(shí),增
增
x∈(0,+∞)時(shí),減
x∈(-∞,
0]時(shí),減
x∈(-∞,0)時(shí),減
定點(diǎn)
(1,1)
6.已知f(x)、g(x)都是定義在R上的函數(shù),g(x)≠0,f ′(x)g(x)>f(x)g′(x),且f(x)=axg(x)(a>0,且a≠1),+=.若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和大于62,則n的最小值為( )
A.6 B.7
C.8 D 12、.9
[答案] A
[思路分析] 通過審題可以發(fā)現(xiàn),題目中多處涉及的形式,x=1時(shí),即,x=-1時(shí),即,x=n時(shí),即,又=ax,故這是解題的切入點(diǎn),構(gòu)造函數(shù)F(x)=,則問題迎刃而解.
[解析] 令F(x)=,則F(x)=ax,F(xiàn)′(x)=>0,∴F(x)單調(diào)遞增,
∴a>1.
∵F(1)+F(-1)=+==a+,
∴a=2,∴F(x)=2x,{F(n)}的前n項(xiàng)和Sn=21+22+…+2n==2n+1-2>62,∴2n+1>64,∴n+1>6,
∴n>5,∴n的最小值為6.
7.下列函數(shù)圖象中不正確的是( )
[答案] D
[解析] 由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 13、知A、B正確,又C是B中函數(shù)圖象位于x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方,故C正確.
∵y=log2|x|=是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱,故D錯(cuò)誤.
8.(文)若存在正數(shù)x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是( )
A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)
C.(0,+∞) D.(-1,+∞)
[答案] D
[解析] 由題意得,a>x-()x (x>0),
令f(x)=x-()x,則f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
∴f(x)>f(0)=-1,∴a>-1,故選D.
(理)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),且f()=0,則不等式f(logx)>0的解集是( 14、 )
A.(0,) B.(2,+∞)
C.(0,)∪(2,+∞) D.(,1)∪(2,+∞)
[答案] C
[解析] 解法1:∵偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),
∴f(x)在(-∞,0)上為減函數(shù),
又f()=0,∴f(-)=0,
由f(logx)>0得,logx>或logx<-,
∴0 15、范圍或個(gè)數(shù),討論函數(shù)的零點(diǎn)(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角函數(shù)式等),可構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)圖象交點(diǎn)的討論來求解,圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是方程解的個(gè)數(shù),正確作出函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵,要注意圖形的準(zhǔn)確全面.
2.解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象借助函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)不等式中量的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù),利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來解決不等式的解的問題,往往可以避免繁瑣的運(yùn)算,獲得簡捷的解答.
3.函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降;奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對稱性;最值(值域)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).
9.已知函數(shù)f(x)=x+2x,g(x 16、)=x+lnx,h(x)=x3+x-2的零點(diǎn)分別為x1、x2、x3,則( )
A.x3 17、(0)=a0-2=-1,∴p為假命題;令lg|x|=0得,|x|=1,∴x=±1,故q為真命題,∴p∨q為真,p∧q為假,?p為真,?q為假,故選A.
(理)已知函數(shù)f(x)=(其中a∈R),函數(shù)g(x)=f[f(x)]+1.下列關(guān)于函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷,正確的是( )
A.當(dāng)a>0時(shí),有4個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a<0時(shí),有2個(gè)零點(diǎn),當(dāng)a=0時(shí),有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)
B.當(dāng)a>0時(shí),有4個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a<0時(shí),有3個(gè)零點(diǎn),當(dāng)a=0時(shí),有2個(gè)零點(diǎn)
C.當(dāng)a>0時(shí),有2個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a≤0時(shí),有1個(gè)零點(diǎn)
D.當(dāng)a≠0時(shí),有2個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a=0時(shí),有1個(gè)零點(diǎn)
[答案] A
[解析] 取a=1,令x+=-1 18、得x=-,令log2x=-1得,x=.令x+=-得x=-2,令log2x=-得x=2-,令log2x=得x=,令x+=得x=0,由此可排除C、D;令a=0,得f(x)=由log2x=-1得x=,由f(x)=知,對任意x≤0,有f(x)=,故a=0時(shí),g(x)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn).
11.(文)(20xx·中原名校第二次聯(lián)考)函數(shù)y=f(x+)為定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≥時(shí),f(x)=()x+sinx,則下列選項(xiàng)正確的是( )
A.f(3) 19、件知f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,
∴f(1)=f(π-1),當(dāng)≤x≤時(shí),f′(x)=-()x·ln2+cosx<0,∴f(x)在[,]上單調(diào)遞減,
∵<2<π-1<3<,∴f(2)>f(π-1)>f(3),
∴f(2)>f(1)>f(3),故選A.
(理)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A.?x0∈R,f(x0)=0
B.函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形
C.若x0是f(x)的極小值點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(-∞,x0)單調(diào)遞減
D.若x0是f(x)的極值點(diǎn),則f ′(x0)=0
[答案] C
[解析] 由題意得,f′(x)=3x2 20、+2ax+b,該函數(shù)圖象開口向上,若x0為極小值點(diǎn),如圖,f′(x)的圖象應(yīng)為:
故f(x)在區(qū)間(-∞,x0)不單調(diào)遞減,C錯(cuò),故選C.
12.如圖,過原點(diǎn)O的直線與函數(shù)y=3x的圖象交于A,B兩點(diǎn),過B作y軸的垂線交函數(shù)y=9x的圖象于點(diǎn)C,若AC恰好平行于y軸,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為( )
A.(log94,4) B.(log92,2)
C.(log34,4) D.(log32,2)
[答案] D
[解析] 本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),難度中等.
設(shè)A(x1,3x1),B(x2,3x2),則C(x1,3x2)在函數(shù)y=9x的圖象上,所以3x2=9x1,所以x2=2x1 21、①.
又O,A,B共線,所以=?、冢佗诼?lián)立解得x1=log32,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(log32,2),故選D.
[易錯(cuò)分析] 本題易犯兩個(gè)錯(cuò)誤:一是不能將直線與指數(shù)函數(shù)圖象相交于A,B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為OA,OB的斜率相等;二是不能應(yīng)用指數(shù)的運(yùn)算法則求解.一般地,解指數(shù)方程時(shí),將方程兩邊化為同底,或者利用指數(shù)式化為對數(shù)式的方法求解.
二、填空題
13.(文)已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間[-1,m]上的最大值是1,則m的取值范圍是________.
[答案] (-1,1]
[解析] ∵f(x)=2-x-1=()x-1在[-1,0]上為減函數(shù),∴在[-1,0]上f(x)的最大值為f(-1)=1,又f 22、(x)=x在[0,m]上為增函數(shù),∴在[0,m]上f(x)的最大值為,∵f(x)在區(qū)間[-1,m]上的最大值為1,
∴或-1 23、x+c-4,∴a-1=0,c-4=0,即a=1,c=4,∴f(x)=x2+bx+4,又∵f(x)在[-1,2]上的最大值為7,∴b=-2或b=- ,∴f(x)=x2-2x+4或f(x)=x2-x+4.
14.(文)已知x+x-1=3,則x-x-=________.
[答案] ±1
[解析] (x-x-)2=(x)2-2x·x-+(x-)2=x+x-1-2=3-2=1,∴x-x-=±1.
(理)計(jì)算(lg-lg25)÷100-=________.
[答案] -20
[解析] 原式=lg0.01÷100-
=-2×10=-20.
15.已知函數(shù)f(x)=若f(m)>1,則m的取值范 24、圍是________.
[答案] (-∞,0)∪(2,+∞)
[解析] 當(dāng)m>0時(shí),由f(m)>1得,log3(m+1)>1,
∴m+1>3,∴m>2;
當(dāng)m≤0時(shí),由f(m)>1得,3-m>1.
∴-m>0,∴m<0.
綜上知m<0或m>2.
16.(文)已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
[答案] (0,1)
[解析] 函數(shù)f(x)的圖象如圖所示:
當(dāng)0 25、分析] 要求正整數(shù)a的最大值,應(yīng)先求a的取值范圍,關(guān)鍵是求出代數(shù)式++…+的最小值,可將其視為關(guān)于n的函數(shù),通過單調(diào)性求解.
[解析] 令f(n)=++…+(n∈N*),
對任意的n∈N*,
f(n+1)-f(n)=++-
=>0,
所以f(n)在N*上是增函數(shù).
又f(1)=,對一切正整數(shù)n,f(n)>a-7都成立的充要條件是>a-7,
所以a<,故所求正整數(shù)a的最大值是8.
[點(diǎn)撥] 本題是構(gòu)造函數(shù)法解題的很好的例證.如果對數(shù)列求和,那就會(huì)誤入歧途.本題構(gòu)造函數(shù)f(n),通過單調(diào)性求其最小值解決了不等式恒成立的問題.利用函數(shù)思想解題必須從不等式或等式中構(gòu)造出函數(shù)關(guān)系并研究其性質(zhì),才能使解題思路靈活變通.
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