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1、新編高考數學復習資料
課時限時檢測(三十一) 等比數列
(時間：60分鐘 滿分：80分)命題報告
考查知識點及角度
題號及難度
基礎
中檔
稍難
等比數列的判定
4
等比數量基本量運算
2,8
10
等比數列的性質
1,7
11
綜合應用
3
5,6,9
12
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．已知等比數列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，則前9項之和等于( )
A．50 B．70
C．80 D．90
【解析】 ∵S3，S6－S3，S9－S6成等比數列，
∴S3·(S9－S
2、6)＝(S6－S3)2，又S3＝40，S6＝40＋20＝60，
∴40(S9－60)＝202，故S9＝70.
【答案】 B
2．(2014·濟南一中等四校聯(lián)考)已知各項均為正數的等比數列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6＝( )
A．5 B．7
C．6 D．4
【解析】 設數列{an}的公比是q，則有＝＝q9，
所以(a4a5a6)2＝(a1a2a3)×(a7a8a9)＝5×10＝50，則a4a5a6＝5.
【答案】 A
3．(2013·課標全國卷Ⅰ)設首項為1，公比為的等比數列{an}的前n項和為Sn，則( )
A．Sn＝2a
3、n－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
【解析】 法一 在等比數列{an}中，Sn＝＝＝3－2an.
法二 在等比數列{an}中，a1＝1，q＝，
∴an＝1×n－1＝n－1.
Sn＝＝3
＝3＝3－2an.
【答案】 D
4．(2014·福州模擬)已知數列{an}，則“an，an＋1，an＋2(n∈N*)成等比數列”是“a＝anan＋2”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解析】 若n∈N*時，an，an＋1，an＋2成等比數列，則a＝anan＋2，反之，則不一定成立，舉
4、反例．如數列為1,0,0,0，…，應選A.
【答案】 A
5．(2014·濰坊模擬)已知數列{an}為等比數列，Sn是它的前n項和．若a2·a3＝2a1，且為a4與2a7的等差中項，則S5＝( )
A．35 B．33
C．31 D．29
【解析】 設數列{an}的公比為q，a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝2a1?a4＝2.a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2×?q＝，故a1＝＝16，S5＝＝31.
【答案】 C
6．(2014·青島期中)在正項等比數列{an}中，lg a3＋lg a6＋lg a9＝6，則a1a11的值是( )
A．10 000
5、B．1 000
C．100 D．10
【解析】 若{an}為等比數列，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq，所以lg a3＋lg a6＋lg a9＝lg(a3·a6·a9)＝lg a＝3lg a6＝6，所以a6＝102，而a1a11＝a＝104＝10 000.故選A.
【答案】 A
二、填空題(每小題5分，共15分)
7．若等比數列{an}滿足a2a4＝，則a1aa5＝________.
【解析】 ∵數列{an}為等比數列，
∴a2·a4＝a＝，a1·a5＝a.
∴a1aa5＝a＝.
【答案】
8．等比數列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1
6、＝6an，則{an}的前4項和S4＝________.
【解析】 ∵an＋2＋an＋1＝anq2＋anq＝6an，
∴q2＋q－6＝0，
又q＞0，∴q＝2，
由a2＝a1q＝1得a1＝，
∴S4＝＝.
【答案】
9．(2012·浙江高考)設公比為q(q>0)的等比數列{an}的前n項和為Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則q＝________.
【解析】 法一 S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2，
將a3＝a2q，a4＝a2q2代入得，
3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，化簡得2q2－q－3＝0，
解得q＝(q＝－1不合題
7、意，舍去)．
法二 設等比數列{an}的首項為a1，由S2＝3a2＋2，得
a1(1＋q)＝3a1q＋2.①
由S4＝3a4＋2，得a1(1＋q)(1＋q2)＝3a1q3＋2.②
由②－①得a1q2(1＋q)＝3a1q(q2－1)．
∵q>0，∴q＝.
【答案】
三、解答題(本大題共3小題，共35分)
10．(10分)(2013·重慶高考)設數列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋.
(1)求{an}的通項公式及前n項和Sn；
(2)已知{bn}是等差數列，Tn為其前n項和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.
【解】 (1)由題意知{an}是
8、首項為1，公比為3的等比數列，
所以an＝3n－1，Sn＝＝(3n－1)．
(2)b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，所以公差d＝5，故T20＝20×3＋×5＝1 010.
11．(12分)(2014·貴陽模擬)等比數列{an}的各項均為正數，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數列的前n項和．
【解】 (1)設數列{an}的公比為q.
由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.
由條件可知q＞0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，
9、所以a1＝.
故數列{an}的通項公式為an＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
故＝－＝－2，
＋＋…＋
＝－2
＝－.
所以數列的前n項和為－.
12．(13分)(2014·南京模擬)已知數列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．
(1)設bn＝an＋1－an(n∈N*)，證明：{bn} 是等比數列；
(2)求數列{an}的通項公式；
(3)若a3是a6與a9的等差中項，求q的值，并證明：對任意的n∈N*，an是an＋3與an＋6的等差中項．
【解】 (1)證明
10、 由題設an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，
得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.
由b1＝a2－a1＝1，q≠0，
所以{bn}是首項為1，公比為q的等比數列．
(2)由(1)，a2－a1＝1，a3－a2＝q，…，an－an－1＝qn－2(n≥2)
將以上各式相加，得an－a1＝1＋q＋…＋qn－2(n≥2)，
即an＝a1＋1＋q＋…＋qn－2(n≥2)．
所以當n≥2時，an＝
上式對n＝1顯然成立．
(3)由(2)，當q＝1時，顯然a3不是a6與a9的等差中項，故q≠1.由a3－a6＝a9－a3可得q5－q2＝q2－q8，
由q≠0得q3－1＝1－q6，①
整理得(q3)2＋q3－2＝0，解得q3＝－2.于是q＝－.
另一方面，an－an＋3＝＝(q3－1)，
an＋6－an＝＝(1－q6)．
由①可得an－an＋3＝an＋6－an，
所以對任意的n∈N*，an是an＋3與an＋6的等差中項．
新編高三數學理,山東版一輪備課寶典 【第5章】課時限時檢測31
