新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 文科 第六章 數(shù)列 第2節(jié) 數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和

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1、 1

2、 1 第2節(jié) 數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和 題型74 數(shù)列通項(xiàng)公式的求解 1. (20xx安徽文19）設(shè)數(shù)列滿足，且對任意，函數(shù)滿足. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；； （2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 1. 分析 （1）求導(dǎo)，代入，并對所得式子進(jìn)行變形，從而證明數(shù)列是等差數(shù)列， 再由題目條件求基本量，得通項(xiàng)公式.（2）將代入化簡，利用分組求和法，結(jié)合等差、等 比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)

3、算. 解析 （1）由題設(shè)可得. 對任意，，即，故為等差數(shù)列.由，，可得數(shù)列的公差，所以. （2）由知， . 2.（20xx廣東文19）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，,且構(gòu)成等比數(shù)列． (1) 證明：； (2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (3) 證明：對一切正整數(shù)，有 2.分析 （1）把代入遞推式，可以得到和的關(guān)系式，變形可 得.（2）鑒于遞推式含有的特點(diǎn)，常用公式 進(jìn)行化異為同，得到和的遞推式，構(gòu)造等差數(shù)列，進(jìn)而求出 數(shù)列的通項(xiàng).（3）要證的不等式的左邊是一個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和，因此要求和、 化簡，因?yàn)槭且粋€(gè)分式，常常通過裂項(xiàng)相消法逐項(xiàng)相消，然后再通過放縮，得出結(jié)

4、 論. 解析 （1）證明：由，得，即，所以. 因?yàn)?，所? （2）因?yàn)? ① 所以當(dāng)時(shí)， ② 由①-②得， 即. 因?yàn)?，所以，? 因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，解得. 又由（1）知，所以，所以. 綜上知，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列. 所以. 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為. （3）證明：由（2）知， 所以 . 3. （20xx江西文16）正項(xiàng)數(shù)列滿足：. (1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

5、(2) 令，數(shù)列的前項(xiàng)和為． 3.分析 （1）根據(jù)已知的和的關(guān)系式進(jìn)行因式分解，通過得到數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)法求出數(shù)列的前項(xiàng)和. 解析 （1）由，得.由于是正項(xiàng)數(shù)列，所以. （2）由，則， . 4. (20xx重慶文16）設(shè)數(shù)列滿足：. （1）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和； （2）已知是等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且，求. 4.分析 根據(jù)等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式直接運(yùn)算求解. 解析 （1）由題設(shè)知是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以. （2），所以公差， 故. 5. (20xx湖南文19）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，2，.

6、（1）求，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 5.分析 根據(jù)消去得到關(guān)于的關(guān)系式，求其通項(xiàng)；利用錯(cuò)位相 減法求前項(xiàng)和. 解析 （1）令，得，即.因?yàn)?，所? 令，得，解得.當(dāng)時(shí)，由，即.于是數(shù)列是首項(xiàng)為.公比為的等比數(shù)列.因此，. 所以的通項(xiàng)公式為. （2）由（1）知，.記數(shù)列的前項(xiàng)和為， 于是， ? . ? ，得. 從而. 6.（20xx陜西文4）根據(jù)如圖所示框圖，對大于的整數(shù)，輸出的數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ ）. A. B

7、. C. D. 7.（20xx新課標(biāo)Ⅱ文16）數(shù)列滿足，，則 . 8.（20xx江西文17）（本小題滿分12分） 已知數(shù)列的前項(xiàng)和. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求證：對任意，都有，使得成等比數(shù)列. 9.（20xx大綱文17）（本小題滿分10分） 數(shù)列滿足. （1）設(shè)，證明是等差數(shù)列； （2）求的通項(xiàng)公式. 10.（20xx廣東文19）（本小題滿分14分） 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足. (1) 求的值； (2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (3) 求證：對一切正整數(shù)，有. 11.（20xx湖南文16）（本小題滿分12分

8、） 已知數(shù)列的前項(xiàng)和. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 12.（20xx陜西文16）觀察下列等式： …… 據(jù)此規(guī)律，第個(gè)等式可為______________________. 12.解析 觀察等式知，第個(gè)等式的左邊有個(gè)數(shù)相加減，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，且分子為，分母是到的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是. 故答案為. 13.（20xx江蘇卷11）設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列前項(xiàng)的和為 ． 13.解析 解法一：可以考慮算出前項(xiàng)，但運(yùn)算化簡較繁瑣． 解法二：由題意得，，…， 故累加得，從而， 當(dāng)時(shí)，滿足通項(xiàng)．故， 則有．

9、 14.（20xx安徽理18）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 14.解析 （1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且，所以. 聯(lián)立，又為遞增的等比數(shù)列，即. 解得或（舍），可得，得. 所以. （2）由（1）可知， 所以， 所以. 故. 15.（20xx北京文16）已知等差數(shù)列滿足，. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)等比數(shù)列滿足，；問：與數(shù)列的第幾項(xiàng)相等？ 15.解析（1）依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為， ①

10、 ② 得，. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為. （2）等比數(shù)列中，，設(shè)等比數(shù)列的公比為， .，得， 則與數(shù)列的第項(xiàng)相等. 16.（20xx福建文17）在等差數(shù)列中，，． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求的值． 16.分析（1）利用基本量法可求得，，進(jìn)而求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前項(xiàng)和， 首先考慮其通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式的不同特點(diǎn)，選擇相應(yīng)的求和方法，本題， 故可采取分組求和法求其前項(xiàng)和． 解析 （1）設(shè)等差數(shù)列的公差為． 由已知得，解得． 所以． （2）由（1）可得，

11、 所以 . 17.（20xx廣東文19）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，．已知，，，且當(dāng)時(shí)，． （1）求的值； （2）求證：為等比數(shù)列； （3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式． 17.解析（1）當(dāng)時(shí)，， 即，解得. （2）因?yàn)椋ǎ? 所以（）， 即（），亦即， 則. 當(dāng)時(shí)，，滿足上式. 故數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列. （3）由（2）可得，即， 所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列， 所以，即， 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是. 18.（20xx湖北文19）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為，已知，，，. (1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式; (2)當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 1

12、8.解析 (1)由題意有，，即. 解得，或.故或. (2)由，知，，故， 于是， ① . ② 式①式②可得.故. 19.（20xx山東文19）已知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng) 和為. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 19.解析（1）設(shè)數(shù)列的公差為， 令，得，即. 令，得，即. 聯(lián)立，解得，.所以. （2）由（1）知， 得到， 從而， 得 ， 所以. 19.（20xx四川文16）設(shè)數(shù)列（）的前項(xiàng)和滿足，且，，成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求

13、. 19.解析（1）由已知，可得， 即.則，. 又因?yàn)?，，成等差?shù)列，即. 所以，解得. 所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列. 故. （2）由（1）可得，所以. 20.（20xx天津文18）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，. （1）求和的通項(xiàng)公式； （2）設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和. 20.分析（1）列出關(guān)于與的方程組，通過解方程組求出，即可確定通項(xiàng)；（2）用錯(cuò)位相減法求和. 解析 （1）設(shè)的公比為，的公差為，由題意，由已知，有， 消去得，解得，所以的通項(xiàng)公式為， 的通項(xiàng)公式為. （2）由（1）有，設(shè)的前項(xiàng)和為， 則， ， 兩式相減得， 所以

14、. 21.（20xx浙江文17）已知數(shù)列和滿足， . (1)求與; (2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求. 21.解析 (1)由題意知是等比數(shù)列，，，所以. 當(dāng)時(shí)，，所以， 所以，所以，又，所以. （或采用累乘法） (2)，所以， 所以， 所以. 22.（20xx重慶文16）已知等差數(shù)列滿足，前3項(xiàng)和. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求前項(xiàng)和. 22.解析（1）設(shè)的公差為，則由已知條件得，， 化簡得，，解得，， 故通項(xiàng)公式，． （2）由（1）得，. 設(shè)的公比為，則，從而， 故的前項(xiàng)和. 23.（20xx浙江文17）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知，，.

15、 （1）求通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 23.解析 （1）由題意得，則. 因?yàn)椋? 所以，得. 又知，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，. （2）對于，，，當(dāng)時(shí)，有. 設(shè)，，，，當(dāng)時(shí)，有. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，. 當(dāng)時(shí)，，時(shí)也滿足此式， 所以. 24.（20xx全國3文17）設(shè)數(shù)列滿足. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 24.解析 （1）令 ，則有 ，即. 當(dāng)時(shí)， ①

16、 ② 得，即，得. 當(dāng)時(shí)，也符合，所以. （2）令， 所以 . 評注 本題具有一定的難度，第一問要求學(xué)生具備一定的轉(zhuǎn)化與化歸的思想，將不熟悉的表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列求通項(xiàng)問題才能迎刃而解.第二問屬于常規(guī)裂項(xiàng)相消問題，沒有難度，如果學(xué)生第一問求解時(shí)出現(xiàn)困難的話，可以用找規(guī)律的方法求出其通項(xiàng)，這樣可以拿到第二問的分?jǐn)?shù)，不失為一種靈活變通的處理方法. 25.（20xx山東文19）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和，已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 25.解析 （

17、1）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知，，. 又，解得，，所以. （2）由題意知，. 又，，所以. 令，則， 因此， 又， 兩式相減得，所以. 題型75 數(shù)列的求和 1.（20xx湖南文5）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入， 則輸出的（ ）. A. B. C. D. 1.解析 由題意，輸出的為數(shù)列的前項(xiàng)和， 即.故選B. 2.（20xx安徽理18）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 2.解析 （1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且，所以. 聯(lián)立，又為遞增的等比數(shù)列，即.

18、解得或（舍），可得，得. 所以. （2）由（1）可知， 所以， 所以. 故. 3. （20xx安徽文18）（本小題滿分12分） 數(shù)列滿足，，. （1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 3. 解析 （I）由已知可得，即.所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列. （II）由（I）得，所以.從而. ，① .② 得. 所以. 評注 本題考查等差數(shù)列定義的應(yīng)用，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，解題時(shí)利用題（I）提示對遞推關(guān)系進(jìn)行變形是關(guān)鍵. 4.（20xx福建文17）在等差數(shù)列中，，． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求的值． 4.分析（1）利用基

19、本量法可求得，，進(jìn)而求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前項(xiàng)和，首先考慮其通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式的不同特點(diǎn)，選擇相應(yīng)的求和方法，本題， 故可采取分組求和法求其前項(xiàng)和． 解析 （1）設(shè)等差數(shù)列的公差為． 由已知得，解得． 所以． （2）由（1）可得， 所以 . 5.（20xx湖北文19）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為，已知，，，. (1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式 (2)當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 5.解析 (1)由題意有，，即. 解得，或.故或. (2)由，知，， 故，于是，① . ② 式①式②可得.故. 6.（20xx湖南文19）設(shè)數(shù)

20、列的前項(xiàng)和為，已知，， 且. （1）證明：；（2）求. 6.解析（1）由條件，對任意，有， 因而對任意，有， 兩式相減，得，即， 又，所以， 故對一切，. （2）由（1）知，，所以，于是數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等 比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，（于是 ， 從而， 綜上所述，. 7.（20xx山東文19）已知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 7.解析（1）設(shè)數(shù)列的公差為， 令，得，即 令，得，即

21、 聯(lián)立，解得，.所以. （2）由（1）知， 得到， 從而， 得 ， 所以. 8.（20xx四川文16）設(shè)數(shù)列（）的前項(xiàng)和滿足，且，，成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求. 8.解析（1）由已知，可得， 即.則，. 又因?yàn)椋?，成等差?shù)列，即. 所以，解得. 所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列. 故. （2）由（1）可得，所以. 9.（20xx天津文18）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且， ，. （1）求和的通項(xiàng)公式； （2）設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和. 9.分析（

22、1）列出關(guān)于與的方程組，通過解方程組求出，即可確定通項(xiàng)；（2）用錯(cuò)位相減法求和. 解析（1）設(shè)的公比為，的公差為，由題意，由已知，有， 消去得，解得，所以的通項(xiàng)公式為， 的通項(xiàng)公式為. （2）由（1）有，設(shè)的前項(xiàng)和為， 則， ， 兩式相減得， 所以. 10.（20xx浙江文17）已知數(shù)列和滿足， . (1)求與; (2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求. 10.解析 (1)由題意知是等比數(shù)列，，，所以. 當(dāng)時(shí)，，所以， 所以，所以. 又，所以（或采用累乘法）. (2)，所以， 所以， 所以. 11.（20xx重慶文16）已知等差數(shù)列滿足，前3項(xiàng)和. （1）求的通

23、項(xiàng)公式； （2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求前項(xiàng)和. 11.解析 （1）設(shè)的公差為，則由已知條件得，， 化簡得，，解得，， 故通項(xiàng)公式，． （2）由（1）得，. 設(shè)的公比為，則，從而， 故的前項(xiàng)和. 12.（20xx北京文15）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）設(shè) ，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 12.解析 （1）等比數(shù)列的公比，所以，. 設(shè)等差數(shù)列的公差為.因?yàn)?，? 所以，即.所以. （2）由（1）知，，.因此. 從而數(shù)列的前項(xiàng)和 . 13.（20xx山東文19）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）令.求數(shù)

24、列的前n項(xiàng)和. 13.解析 （1）由題意當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，所以. 設(shè)數(shù)列的公差為，由， 即，解得，所以. （2）由（1）知，又， 即， 所以， 以上兩式兩邊相減得. 所以. 14.（20xx浙江文17）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知，，. （1）求通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 14.解析 （1）由題意得：，則. 因?yàn)?，? 所以，得. 又知，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，. （2）對于，，，當(dāng)時(shí)，有. 設(shè)，，，，當(dāng)時(shí)，有. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，. 當(dāng)時(shí)，，時(shí)也滿足此式， 所以. 15.（20xx全國3文17）設(shè)數(shù)列滿足. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)

25、列的前項(xiàng)和. 15.解析 （1）令 ，則有 ，即. 當(dāng)時(shí)， ① ② 得，即，得. 當(dāng)時(shí)，也符合，所以. （2）令， 所以 . 評注 本題具有一定的難度，第一問要求學(xué)生具備一定的轉(zhuǎn)化與化歸的思想，將不熟悉的表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列求通項(xiàng)問題才能迎刃而解.第二問屬于常規(guī)裂項(xiàng)相消問題，沒有難度，如果學(xué)生第一問求解時(shí)出現(xiàn)困難的話，可以用找規(guī)律的方法求出其通項(xiàng)，這樣可以拿到第二問的分?jǐn)?shù)，不失為一種靈活變通的處理方法. 16.（20xx山東文19）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和，已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 16.解析 （1）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知，，. 又，解得，，所以. （2）由題意知，. 又，，所以. 令，則， 因此， 又， 兩式相減得，所以. 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org