初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第21講 從三角形的內(nèi)切圓談起

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1、第二十一講 從三角形的內(nèi)切圓談起 和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個(gè)多邊形叫做圓的外切多邊形．三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心，圓外切三角形、圓外切四邊形有下列重要性質(zhì)： 1．三角形的內(nèi)心是三角形的三內(nèi)角平分線交點(diǎn)，它到三角形的三邊距離相等； 2．圓外切四邊形的兩組對(duì)邊之和相等，其逆亦真，是判定四邊形是否有外切圓的主要方法． 當(dāng)圓外切三角形、四邊形是特殊三角形時(shí)，就得到隱含豐富結(jié)論的下列圖形： 注：設(shè)Rt△ABC的各邊長(zhǎng)分別為a、b、c (斜邊)，運(yùn)用切線長(zhǎng)定理、面積等知識(shí)可得到其內(nèi)切圓半徑的不同表示式：

2、 (1)； (2)． 請(qǐng)讀者給出證 【例題求解】 【例1】 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°°，BC=5，⊙O與Rt△ABC的三邊AB、BC、AC分相切于點(diǎn)D、E、F，若⊙O的半徑r＝2，則Rt△ABC的周長(zhǎng)為 ． 思路點(diǎn)撥 AF=AD，BE=BD，連OE、OF，則OECF為正方形，只需求出AF(或AD)即可． 【例2】 如圖，以定線段AB為直徑作半圓O，P為半圓上任意一點(diǎn)(異于A、B)，過點(diǎn)P作半圓O的切線分別交過A、B兩點(diǎn)的切線于D、C，AC、BD相交于N點(diǎn)，連結(jié)ON，NP，下列結(jié)論：①四邊形ANPD是梯形；②ON=N

3、P：③DP·P C為定值；④FA為∠NPD的平分線，其中一定成立的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④ 思路點(diǎn)撥 本例綜合了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、相似三角形，判定性質(zhì)等重要幾何知識(shí)，注意基本輔助線的添出、基本圖形識(shí)別、等線段代換，推導(dǎo)出NP∥AD∥BC是解本例的關(guān)鍵． 【例3】 如圖，已知∠ACP=∠CDE=90°，點(diǎn)B在CE上，CA=CB=CD，過A、C、D三點(diǎn)的圓交AB于F，求證：F為△CDE的內(nèi)心．

4、 (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題) 思路點(diǎn)撥 連CF、DF，即需證F為△CDE角平分線的交點(diǎn)，充分利用與圓有關(guān)的角，將問題轉(zhuǎn)化為角相等問題的證明． 【例4】 如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，以AB為直徑作半圓O切CD于E，連結(jié)OE，并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于F． (1)問∠BOZ能否為120°，并簡(jiǎn)要說明理由； (2)證明△AOF∽△EDF，且； (3)求DF的長(zhǎng)． 思路點(diǎn)撥 分解出基本圖形，作出

5、基本輔助線．(1)若∠BOZ=120°，看能否推出矛盾；(2)把計(jì)算與推理融合；(3)把相應(yīng)線段用DF的代數(shù)式表示，利用勾股定理建立關(guān)于DF的一元二次方程． 注： 如圖，在直角梯形ABCD中，若AD+BC=CD，則可得到應(yīng)用廣泛的兩個(gè)性質(zhì)： (1)以邊AB為直徑的圓與邊CD相切； (2)以邊CD為直徑的圓與邊AB相切． 類似地，三角形三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重心，三角形三邊高所在的直線的交點(diǎn)叫三角形的垂心．外心、內(nèi)心、垂心、重心統(tǒng)稱三角形的四心，它們處在三角而中的特殊位置上，有著豐富的性質(zhì)，在解題中有廣泛的應(yīng)用． 【例5】 如圖，已知Rt△AB

6、C中，CD是斜邊AB上的高，O、O1、O2分別是△ABC；△ACD、△BCD的角平分線的交點(diǎn)，求證：(1) O1O⊥C O2；(2)OC= O1O2． (武漢市選拔賽試題) 思路點(diǎn)撥 在直角三角形中，斜邊上的高將它分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似，得對(duì)應(yīng)角相等，所以通過證交角為90°的方法得兩線垂直，又利用全等三角形證明兩線段相 等． 學(xué)力訓(xùn)練 1．如圖，已知圓外切等腰梯形ABCD的中位線EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)等于=

7、 cm． 2．如圖，在直角，坐標(biāo)系中A、B的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，4)，則Rt△ABO內(nèi)心的坐標(biāo)是 ． 3．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC， DC⊥BC，AB=8，BC=5，若以AB為直徑的⊙O與DC相切于E，則DC= ． 4．如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90°，AO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，AC=4，CD=1，則⊙O的半徑等于( ) A． B． C． D．

8、 5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，以CD為直徑的半圓O切AB于點(diǎn)E，這個(gè)梯形的面積為21cm2，周長(zhǎng)為20cm，那么半圓O的半徑為( ) A．3cm B．7cm C ．3cm或7cm D． 2cm 6．如圖，△ABC中，內(nèi)切圓O和邊B、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、EF，則以下四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的結(jié)論是( ) A．點(diǎn)O是△DEF的外心 B．∠AFE=(∠B+∠C) C．∠BOC=90°+∠A D．∠DFE=90°一∠B 7．如圖，BC是⊙

9、O的直徑，AB、AD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為B、P，過C點(diǎn)的切線與AD交于點(diǎn)D，連結(jié)AO、DO． (1)求證：△ABO∽△OCD； (2)若AB、CD是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且S△ABO+ S△OCD=20，求m的值． 8．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC與⊙O相交于點(diǎn)D，連結(jié)AD并延長(zhǎng)，BC相交于點(diǎn)E． (1)若BC=，CD=1，求⊙O的半徑； (2)取BE的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，求證：DF是⊙O的切線； (3)過D點(diǎn)作DG⊥BC于G，OG與DG相交于點(diǎn)M，求證：DM＝GM． 9．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥B

10、C，∠B=90°，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm，AB為⊙O的直徑，動(dòng)點(diǎn)P沿AD方向從點(diǎn)A開始向點(diǎn)D以1cm／秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q沿CB方向從點(diǎn)C開始向點(diǎn)B以2cm／秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)停止時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)． (1)求⊙O的直徑； (2)求四邊形PQCD的面積y關(guān)于P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)，四邊形PQCP的面積； (3)是否存在某時(shí)刻t，使直線PQ與⊙O相切，若存在，求出t 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

11、 (2002年煙臺(tái)市中考題) 10．已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD為AB上的高，Ol、O2分別為△ACD、△BCD的內(nèi)心，則OlO2= ． 11．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分線相交于P點(diǎn)，又PE⊥AB于點(diǎn)E，若BC=2，AC=3，則AE·EB= ． 12．如果一個(gè)三角形的面積和周長(zhǎng)都被一直線所平分，那么該直線必通過這個(gè)三角形的( ) A．內(nèi)心 B．外心 C．圓心 D．重心 13．如圖，AD是△ABC的角平分線，⊙O過點(diǎn)AB和B

12、C相切于點(diǎn)P，和AB、AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BD=AE，且BE=a，CF=b，則AF的長(zhǎng)為( ) A． B． C． D． 14．如圖，在矩形ABCD中，連結(jié)AC，如果O為△ABC的內(nèi)心，過O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，則矩形OFDE的面積與矩形ABCD的面積的比值為( ) A． B． C． D．不能確定 (《學(xué)習(xí)報(bào)》公開賽試題) ⌒ 15．如圖，AB是半圓的

13、直徑，AC為半圓的切線，AC=AB．在半圓上任取一點(diǎn)D，作DE⊥CD，交直線AB于點(diǎn)F，BF⊥AB，交線段AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F． (1)設(shè)AD是x°的弧，并要使點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，則x的取值范圍是 ； (2)不論D點(diǎn)取在半圓什么位置，圖中除AB=AC外，還有兩條線段一定相等，指出這兩條相等的線段，并予證明． 16．如圖，△ABC的三邊滿足關(guān)系BC=(AB+AC)，O、I分別為△ABC的外心、內(nèi)心，∠ BAC的外角平分線交⊙O于E，AI的延長(zhǎng)線交⊙O于D，DE交BC于H． 求證：(1)AI=BD；(2)OI=AE．

14、 17．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC平行于弦AD，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)AC，與DE交于點(diǎn)F，問EP與PD是否相等?證明你的結(jié)論． ⌒ 18．如圖，已知點(diǎn)P在半徑為6，圓心角為90°的扇形OAB的AB(不含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，PH⊥OA于H，△OPH的重心為G． (1)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段GO、GP、GH中有無長(zhǎng)度保持不變的線段?如果有，請(qǐng)指出并求出其相應(yīng)的長(zhǎng)度； (2)設(shè)PH= x，GP=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出自變量x的取值范圍； (3)如果△PGH為等腰三角形，試求出線段PH的長(zhǎng)． 參考答案 7