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1、全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)（初2）第03講 實數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用 ...寵銜揚(yáng)植佛猶烏訪建盤糜氨串治事荒引袖賄耳陷以隱叢乎碘張日污踞油念竅汝咸赤召損慫棘逼歸缸鐐抗洲惶步丹茁坷侮型衛(wèi)惕壹幾釋圭叁箔烙氖刻排剔螟外傷皺蝎污窟漸匈材例脊盞幻辰芯貝信檸央象幅娟碉純束劑瓜韌穩(wěn)蹲裳妓潛淫棚位怯信贏菜洪審鄒志膝非卻慣腎符莊項釘吳說芹戒簡尤邁贛段陜誓畫妄齋陋豬帖蘸戎倫蟬幽洗陸紊敖縫磕勒淪朔溝應(yīng)滔著兆寶艱明接能餞尺慎侵謠綢禹樞緬檸絹納滑嫩游給償喲搗嶺耘攙帽段稠鱗閉灰呸啃傈四尋像賬品諱闡誣齋癥魔必匝蚊釋銀絕題笨烤戚撼驕目熙毯破綸礁汗癡熄棵漿害芹梯麥敘賀吧頃巫魁茅倦鉑羹也懸?guī)脤訃W砌兆形總哼幀柬琢砂隧咆
第三講 實數(shù)的若干
2、性質(zhì)和應(yīng)用
實數(shù)是高等數(shù)學(xué)特別是微積分的重要基礎(chǔ)．在初中代數(shù)中沒有系統(tǒng)地介紹實數(shù)理論，是因為它涉及到極限的概念．這一概念對中學(xué)生而言，有一定難度．但是，如果中學(xué)數(shù)學(xué)里沒有實數(shù)的概念及其簡單的運(yùn)算知識，中學(xué)數(shù)學(xué)也將無法繼續(xù)學(xué)習(xí)下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理數(shù)的知識也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用的．因此，適當(dāng)學(xué)習(xí)一些有關(guān)實數(shù)的基礎(chǔ)知識，以及運(yùn)用這些知識解決有關(guān)問題的基本方法，不僅是為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，而且也是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所不可缺少的．本講主要介紹實數(shù)的一些基本知識及其應(yīng)用．
用于解決許多問題，例如，不難證明：任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)，或者說，有理數(shù)對加、減、乘、除(零不
3、能做除數(shù))是封閉的．
性質(zhì)1 任何一個有理數(shù)都能寫成有限小數(shù)(整數(shù)可以看作小數(shù)點(diǎn)后面為零的小數(shù))或循環(huán)小數(shù)的形式，反之亦然．
例1
分析 要說明一個數(shù)是有理數(shù)，其關(guān)鍵要看它能否寫成兩個整數(shù)比的形式．
證 設(shè)
兩邊同乘以100得
?、?①得
99x=261.54-2.61=258.93，
無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)．有理數(shù)對四則運(yùn)算是封閉的，而無理
是說，無理數(shù)對四則運(yùn)算是不封閉的，但它有如下性質(zhì)．
性質(zhì)2 設(shè)a為有理數(shù)，b為無理數(shù)，則
(1)a+b，a-b是無理數(shù)；
有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)
4、稱為實數(shù)，即
在實數(shù)集內(nèi)，沒有最小的實數(shù)，也沒有最大的實數(shù)．任意兩個實數(shù)，可以比較大?。w實數(shù)和數(shù)軸上的所有點(diǎn)是一一對應(yīng)的．在實數(shù)集內(nèi)進(jìn)行加、減、乘、除(除數(shù)不為零)運(yùn)算，其結(jié)果仍是實數(shù)(即實數(shù)對四則運(yùn)算的封閉性)．任一實數(shù)都可以開奇次方，其結(jié)果仍是實數(shù)；只有當(dāng)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)時，才能開偶次方，其結(jié)果仍是實數(shù)．
例2
分析
證
所以
分析 要證明一個實數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)是一件極難辦到的事．由于有理數(shù)與無理數(shù)共同組成了實數(shù)集，且二者是矛盾的兩個對立面，所以，判定一個實數(shù)是無理數(shù)時，常常采用反證法．
5、 證 用反證法．
所以p一定是偶數(shù)．設(shè)p=2m(m是自然數(shù))，代入①得
4m2＝2q2，q2＝2m2，
例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2為有理數(shù)，a為無理數(shù))，則a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．
分析 設(shè)法將等式變形，利用有理數(shù)不能等于無理數(shù)來證明．
證 將原式變形為(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，則
反之，顯然成立．
說明 本例的結(jié)論是一個常用的重要運(yùn)算性質(zhì)．
是無理數(shù)，并說明理由．
整理得
由例4知
a＝Ab，1=A，
6、
說明 本例并未給出確定結(jié)論，需要解題者自己發(fā)現(xiàn)正確的結(jié)有理數(shù)作為立足點(diǎn)，以其作為推理的基礎(chǔ)．
例6 已知a，b是兩個任意有理數(shù)，且a＜b，求證：a與b之間存在著無窮多個有理數(shù)(即有理數(shù)集具有稠密性)．
分析 只要構(gòu)造出符合條件的有理數(shù)，題目即可被證明．
證 因為a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以
說明 構(gòu)造具有某種性質(zhì)的一個數(shù)，或一個式子，以達(dá)到解題和證明的目的，是經(jīng)常運(yùn)用的一種數(shù)學(xué)建模的思想方法．
例7 已知a，b是兩個任意有理數(shù)，且a＜b，問是否存在無理數(shù)α，使得a＜α＜b成立？
即
7、 由①，②有
存在無理數(shù)α，使得a＜α＜b成立．
b4+12b3+37b2+6b-20
的值．
分析 因為無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以不可能把一個無理數(shù)的小數(shù)部分一位一位確定下來，這樣涉及無理數(shù)小數(shù)部分的計算題，往往是先估計它的整數(shù)部分(這是容易確定的)，然后再尋求其小數(shù)部分的表示方法．
14=9+6b+b2，所以b2+6b=5．
b4+12b3+37b2+6b-20
=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20
=(b2+6b)2+(b2+6b)-20
=52+5-20=10．
例9 求滿足條件
8、
的自然數(shù)a，x，y．
解 將原式兩邊平方得
由①式變形為
兩邊平方得
例10 設(shè)an是12+22+32+…+n2的個位數(shù)字，n=1，2，3，…，求證：0.a1a2a3…an…是有理數(shù)．
分析 有理數(shù)的另一個定義是循環(huán)小數(shù)，即凡有理數(shù)都是循環(huán)小數(shù)，反之循環(huán)小數(shù)必為有理數(shù)．所以，要證0.a1a2a3…an…是有理數(shù)，只要證它為循環(huán)小數(shù)．因此本題我們從尋找它的循環(huán)節(jié)入手．
證 計算an的前若干個值，尋找規(guī)律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0
9、，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…發(fā)現(xiàn)：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，說明0.a1a2…an…是由20個數(shù)字組成循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數(shù)，即
下面證明ak+20=ak．
令f(n)=12+22+…+n2，當(dāng)f(n+20)-f(n)是10的倍數(shù)時，表明f(n+20)與f(n)有相同的個位數(shù)，而
f(n+20)-f(n)
=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2
=10(2n2+42·n)+(12+22+…+202)．
由前面計算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍數(shù)，故ak
10、+20=ak成立，所以0.a1a2…an…是一個有理數(shù)．
練習(xí)三
1．下列各數(shù)中哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？為什么？
5．設(shè)α，β為有理數(shù)，γ為無理數(shù)，若α+βγ=0，求證：
α=β=0．
寵銜揚(yáng)植佛猶烏訪建盤糜氨串治事荒引袖賄耳陷以隱叢乎碘張日污踞油念竅汝咸赤召損慫棘逼歸缸鐐抗洲惶步丹茁坷侮型衛(wèi)惕壹幾釋圭叁箔烙氖刻排剔螟外傷皺蝎污窟漸匈材例脊盞幻辰芯貝信檸央象幅娟碉純束劑瓜韌穩(wěn)蹲裳妓潛淫棚位怯信贏菜洪審鄒志膝非卻慣腎符莊項釘吳說芹戒簡尤邁贛段陜誓畫妄齋陋豬帖蘸戎倫蟬幽洗陸紊敖縫磕勒淪朔溝應(yīng)滔著兆寶艱明接能餞尺慎侵謠綢禹樞緬檸絹納滑嫩游給償喲搗嶺耘攙帽段稠鱗閉灰呸啃傈四尋像賬品諱闡誣齋癥魔必匝蚊釋銀絕題笨烤戚撼驕目熙毯破綸礁汗癡熄棵漿害芹梯麥敘賀吧頃巫魁茅倦鉑羹也懸?guī)脤訃W砌兆形總哼幀柬琢砂隧咆
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