分式計算及方法

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1、分式計算及方法 分式運算的一般方法就是按分式運算法則和運算順序進行運算。但對莫些 較復(fù) 雜的題目，使用一般方法有時計算M太大，導(dǎo)致出錯，有時甚至算不出來 ,下面列舉 幾例介紹分式運算的幾點技巧。 ?分段分步法 11 族 4, 例 1.計算：a-運 a+K a2 + z2 a4-/ 解：原式 (a+ z) - (a - z) 2 戈 4z5 2 5 — _7 2 ~ ~4 4 a -x a +x a -x 2x(a2 + x5)- 2x(a 2-x2) 4x5 4 4 a -x ~~4 4~ a x 4 4 4 4 a _ x a _ x =0 依次通分構(gòu)

2、成平方差公式, 說明：若一次通分，計算M太大，注意到相鄰分母之間, 采用分段分步法，則可使問題簡單化。 x + 2 z + 3 z — 5 乂- 4 - -- + — 同類方法練習(xí)題：計算送 "2 z-4 —3 16 （答案：嚴(yán)T） 二.分裂整數(shù)法 x + 2 x + 3 x - 5 x -4 、 -p 、— 例 2?計算：H +1 x + 2 x-4 K -3 解：原式= x+1+1 x + 2+ 1 x-4 -1 x+1 =0 + —!—)-(i+ X + 1 x- 4 x- 3-1 1111 + x + 1 x+ 2 x-

3、4 x- 3 x+2-(x+l)-X-3-(x-4) (x + l)(x + 2) (x - 4)(x - 3) 1 1 (x + l)(x + 2) (x - 3)(x - 4) (x _ 3)(x _ 4) _ (x - l)(x + 2) (x + l)(x + 2)(x - 3)(x - 4) (x + l)(x + 2)(x - 3)(x - 4) -lOx+10 (x + l)(x + 2)(x - 3)(x - 4) 說明：當(dāng)算式中各分式的分子次數(shù)與分母次數(shù)相同次數(shù)時，一般要先利用分裂 整數(shù) 法對分子降次后再通分；在解莫些分式方程中，也可使用分裂整數(shù)法。

4、 同類方法練習(xí)題：有一些“幸?！迸频目ㄆㄆ瑪?shù)目不為零），團團的卡片 比這 些多6張，圓圓的卡片比這些多2張，且知團團的卡片是圓圓的整數(shù)倍， 求團團和 圓圓各多少張卡片？（答案：團團 8張，圓圓4張） 三.拆項法 1 1 1 1 例 3?計算：x2 + x x2 + 3x+ 2 x 2 + 5x + 6 x 2 + 7x +12 UH 布區(qū):原式 x(x + 1) * (x + l)(x + 2) + (x + 2)(x + 3) + (x + 3)(x + 4) 1 _ 1 (一二 -) + ( x x+ 4 n +4 1 x + L -x x(x + 4) 4

5、 x (x + 4) 1/1 1 )+(— 1 、 + ( - ) 煙1）,各個分式拆 項法。 K+ 2 V ?卜 2 x + 3 至 說明：對形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式丁 k 項，正負抵消一部分，再通分。在解莫些分式方程中，也可使用拆 同類 ±+±+±+±+± "十一1 一 1x2 2x3 3x4 4x5 6x7 2007x2008 2007 （答案：2008） 四.活用乘法公式 例4?計算：曲軟…右）（…土）…十護…】）2）解：當(dāng)且滬H時, 原式=【仗-X+拆2+護′凝+和？+卻際g弓 =[3 一去）（尹+ _Lxx4 + 士府+ 士）（沙+占

6、）]（P _1 ”于=仗益一寺）？簽 5TT< 說明：在本題中，原式乘以同一代數(shù)式，之后再除以同一代數(shù)式還原，就可連 續(xù)使 用平方差公式，分式運算中若恰當(dāng)使用乘法公式，可使計算簡便。 同類方法練習(xí)題：計算：(2 + 1) (2卞+ 1) (2*+1)(於+ 1)人(2脅+ 1) (答案：220?-1) 2a2 五.巧選運算順序 例5.計算： /Q+b-b 著 xa- b + bA2 解： 原式■'匕PV」一尹了 a2( a2 2 a2 (a+b)2 * (a_b)2 _@ + b)@_b) a2 [(a - b)2 + (a + b)2 - 2(a + b)(a -

7、b)] (a + b) 2(a-b)2 a2 (a2 - 2ab + b 2 + a2 十 2ab + b 2 - 2a2 + 21]2) (a + b) 2(a-b)2 4b2 (a+b)2(a-b)2 4a2b2 (a+b)2(a-kF 說明：此題若按兩數(shù)和(差)的平方公式展開前后兩個括號，計算將很麻煩 ,一般 兩個分式的和(差)的平方或立方不能按公式展開，只能先算括號內(nèi)的。 同類方法練習(xí)題：解方程血-1)—血-廳=24 (答案：x = l) 六.見繁化簡 例 6?計算：x ^ (x_ 1)仗— 2)仗一 3) 說明：若運算中的分式不是最簡分式， 可先約分，再選

8、用適當(dāng)方法通分，可使運算簡便。 同類方法練習(xí)題：解方程…"2十尹7 .3 (答案：一) 在分式運算中，應(yīng)根據(jù)分式的具體特點，靈活機動，活用方法。方能起 到事半功倍的效率。 - 3z + 2 - K - 6 x2 -4x + 3 _ 2 仗.I) _ z 十 2 _ zj.3 解：原式 (N-3)(N+2)(K-3)(K- 1) _ 2 _ 1 _ 1 x-2 x-3 龍一1 _ 2(x2 -4x + 3)- (z 2 - 3k + 2) - (K2 ——張十 6) (n - l)(x- 2)(x - 3) 異分母分式計算七技巧 異分母分式計舁前關(guān)鍵是通分■但在計算中如

9、不假思雷一味地 尋求 最簡公分母來通分，有時會給計算帶耒不便或計算出錯。下面舉 幾例來說 明異分母分式計算時的一些特殊技巧。 一、巧遞進 例1 :計算存存去rj 分祈：本題采用逐步通分的方法”比直接通分要簡便得多， 解：原式二廠7_沖_> 4 4 二 FN『 產(chǎn) 耳 一 二、巧分組 1 1 1 | 1 例 2:計算 7+T 7+3 x + 3 *十4 分析：若直接通分計算量較大.可堀艮據(jù)題目特點耒用分組通分 的方法。 『-1_., 解：原式=工+ 1耳+2 1 1 二(上午1) 0十2) — ￡＞十3)(上亍用 4x +10 =+1 ) (* + 2/

10、x + + 4) 三巧添“w 例弘計算斗占A x - 2/ 4/ 一 X 能分 分析：通分口寸，應(yīng)將整式的整體看成分母是“廣的式子，而不 咸幾個分母是r ”的式子。 錚原式=警+觴+站 F 4xy …. 亍---y ? 2x\y _ jr* - 4y : x ? 2y x* - 4/* 2j） _ x: （2 2 玖工一 2 尸）i + 2/ 四.巧忝項 厲I a二官1 例 4? Trff — * a + b 2& 4a ■ Za + ~~ rr ■■$? / +b a w 若添 解題途徑 分祈」濯直接通分出垃g難，通過視察及仔2田分祈題目

11、特征, 上土就可以轉(zhuǎn)化為例1的形式比較好計算了。于杲有了趴下的 五.工麻分=0 7_ g_c)[ + ( E_&)，3_Q#(b_C 4M 鏡-

12、次 例 6 :計算 J + 2 x + 3 x +4 x + 5 X +1 i + 2 x+3 x+4 分你當(dāng)分子的次數(shù)達到或超過分母味將分式化為整式與最簡 分式的和，可以降低難？度 黑原式以“占…士） 占心士）  (x+lXJi+2) 0 + 3)(*+ 4) +10 j aa (X + 1XX+2XX4-J)(X +4) 例。計七.巧提取 算 + + b) (b-AX X ■) (X - d)(A ■ b)( ￡3 哂” 分析：若找出最簡公分母后通分，計算難度大。2甜觀察發(fā)現(xiàn)后 b-G 解：原式嚴(yán) X- c b-c (? 兩個分式可以提出式子狂，將計算簡化。 d-a x-f b-c (一鎖鼻-鎖(x- (X-? iX7 弋 x - a