【備戰(zhàn)】高中數(shù)學(xué) 第68講 數(shù)學(xué)證明配套試題（含解析）理 新人教B版

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1、1 第第 6868 講講數(shù)學(xué)證明數(shù)學(xué)證明 (時(shí)間：45 分鐘分值：100 分)基礎(chǔ)熱身1下列符合三段論推理形式的為()A如果pq，p真，則q真B如果bc，ab，則acC如果ab，bc，則acD如果ab，c0，則acbc22013鄭州檢測 類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?)各棱長相等， 同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角都相等； 各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；各面都是面積相等的三角形，同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角都相等ABCD32013太原檢測 已知p是q的充分不必要條件，則綈q是綈p的()A充分不必要條件B必

2、要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件42013石家莊模擬 已知ai，biR R(i1，2，3，n)，a21a22a2n1，b21b22b2n1，則a1b1a2b2anbn的最大值為()A1B2Cn2D2n能力提升52013泰州模擬 設(shè)a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出下列判斷：(ab)2(bc)2(ca)20；ab，ab及ab中至少有一個(gè)成立；ac，bc，ab不能同時(shí)成立其中正確判斷的個(gè)數(shù)為()A1 個(gè)B2 個(gè)C3 個(gè)D4 個(gè)6已知c1，ac1c，bcc1，則正確的結(jié)論是()AabBabCabDa，b大小關(guān)系不定7已知函數(shù)f(x)12x，a，bR R，Afab2，Bf(ab)，Cf2ab

3、ab，則A，B，2C的大小關(guān)系為()AABCBABBC8用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)中正確的是()A假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)B假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)C假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)是偶數(shù)D假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)是偶數(shù)9觀察數(shù)列 1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，則數(shù)26將出現(xiàn)在此數(shù)列的第()A21 項(xiàng)B22 項(xiàng)C23 項(xiàng)D24 項(xiàng)102013河南示范性高中檢測 如圖 K681，對大于或等于 2 的自然數(shù)m的n次冪進(jìn)行如下方式的“分裂”：圖 K681仿此，52的“分裂”中最大的數(shù)是_，53的

4、“分裂”中最小的數(shù)是_11 2013哈爾濱模擬 已知等比數(shù)列an中，a2a31， 則使不等式a11a1a21a2a31a3an1an0 成立的最大自然數(shù)n是_12如圖 K682 所示，由若干個(gè)點(diǎn)組成形如三角形的圖形，每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n1，nN N)個(gè)點(diǎn)，每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)記為an，則9a2a39a3a49a4a59a2 010a2 011_圖 K682132013開封模擬 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，xn，都有f（x1）f（x2）f（xn）nfx1x2xnn.若ysinx在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，那么在ABC中，sinAsinBsinC的最大

5、值是_14(10 分)已知a0，b0，求證：b2aa2bab.315(13 分)2013湖北卷 (1)已知函數(shù)f(x)rxxr(1r)(x0)，其中r為有理數(shù)，且 0r1.求f(x)的最小值；(2)試用(1)的結(jié)果證明如下命題：設(shè)a10，a20，b1，b2為正有理數(shù)若b1b21，則ab11ab22a1b1a2b2；(3)請將(2)中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題注：當(dāng)為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式(x)x1.難點(diǎn)突破16(12 分)2013湖南卷 已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3a4an2，n1，2，.(1)若a11，a

6、25，且對任意nN N*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明： 數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是： 對任意nN N*， 三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列45課時(shí)作業(yè)(六十八)【基礎(chǔ)熱身】1B解析 由三段論的推理規(guī)則可以得到 B 為三段論2C解析 由類比原理和思想，都是合理、恰當(dāng)?shù)?A解析 反證法的原理：“原命題”與“逆否命題”同真假，即：若pq，則綈q綈p.4 A解析 此結(jié)論為“a，b，c，dR R，a2b21，c2d21， 則acbda2c22b2d221”的推廣，類比可得a1b1a2b2anbna21b212

7、a22b222a2nb2n21.【能力提升】5B解析 正確；中，ab，bc，ac可以同時(shí)成立，如a1，b2，c3，故正確的判斷有 2 個(gè)6B解析 假設(shè)ab，即c1ccc1，c1c12c，平方得 2c2c214c，2c2c21，cc21，即c2c21，01，這不可能，假設(shè)不成立，故ab.7A解析ab2ab2abab，又f(x)12x在 R R 上是單調(diào)減函數(shù)，fab2f(ab)f2abab.8B解析 至少有一個(gè)的否定是一個(gè)也沒有，即假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)9C解析 數(shù)列中各項(xiàng)的分子是按照(1)，(1，2)，(1，2，3)，(1，2，3，4)，的規(guī)律呈現(xiàn)的，分母是按照(1)，(2，1)，(3，2，

8、1)，(4，3，2，1)，的規(guī)律呈現(xiàn)的，顯然前五組不可能出現(xiàn)26，我們不妨再寫幾個(gè)對應(yīng)的數(shù)組(1，2，3，4，5，6)，(1，2，3，4，5，6，7)，(6，5，4，3，2，1)，(7，6，5，4，3，2，1)，可以發(fā)現(xiàn)第六組也不可，故只能是第七組的第二個(gè)故這個(gè)數(shù)是第(1262)項(xiàng)，即第 23 項(xiàng)10921解析 由已知中“分裂”可得，故“52”的“分裂”中最大的數(shù)是 9，53的“分裂”中最小的數(shù)是 21.115解析 a2a31，0qa3a21，a11q21，a11a1a21a2a31a3an1an(a1a2an)1a11a21ana1（1qn）1q1a111qn11qa1（1qn）1qq（1q

9、n）a1（1q）qn0，a1（1qn）1qq（1qn）a1（1q）qn.6因?yàn)?0q1，所以，化簡得a211qn1，即q4qn1，4n1，n5，所以n的最大值為 5.12.2 0092 010解析an3(n1)，anan19n(n1)，裂項(xiàng)求和即可13.3 32解析 sinAsinBsinC3sinABC33sin33 32.14證明：b2aa2b(ab)b2aaa2bb（ba） （ba）a（ab） （ab）b(ab)(ab)1b1a1ab(ab)2(ab)，a0，b0，b2aa2bab.15解：(1)f(x)rrxr1r(1xr1)，令f(x)0，解得x1.當(dāng) 0 x1 時(shí)，f(x)0，所以

10、f(x)在(0，1)內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng)x1 時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(1，)內(nèi)是增函數(shù)故函數(shù)f(x)在x1 處取得最小值f(1)0.(2)由(1)知，當(dāng)x(0，)時(shí)，有f(x)f(1)0，即xrrx(1r)若a1，a2中有一個(gè)為 0，則ab11ab22a1b1a2b2成立；若a1，a2均不為 0，又b1b21，可得b21b1，于是在中令xa1a2，rb1，可得a1a2b1b1a1a2(1b1)，即ab11a1b12a1b1a2(1b1)，亦即ab11ab22a1b1a2b2.綜上，對a10，a20，b1，b2為正有理數(shù)且b1b21，總有ab11ab22a1b1a2b2.(3)(2)中命題的推

11、廣形式為：若a1，a2，an為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1，b2，bn為正有理數(shù)若b1b2bn1，則ab11ab22abnna1b1a2b2anbn.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n1 時(shí)，b11，有a1a1，成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，成立，即若a1，a2，ak為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1，b2，bk為正有理數(shù)，且b1b2bk1，則ab11ab22abkka1b1a2b2akbk.當(dāng)nk1 時(shí)，已知a1，a2，ak，ak1為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1，b2，bk，bk1為正有理數(shù)，且b1b2bkbk11，此時(shí) 0bk11，即 1bk10，于是ab11ab22abkkabk1k1(ab11ab22abkk)abk1k1(ab11bk11ab21b

12、k12abk1bk1k)1bk1abk1k1.因b11bk1b21bk1bk1bk11，由歸納假設(shè)可得ab11bk11ab21bk12abk1bk1ka1b11bk1a2b21bk1 akbk1bk1a1b1a2b2akbk1bk1，7從而ab11ab22abkkabk1k1a1b1a2b2akbk1bk11bk1abk1k1.又因(1bk1)bk11，由得a1b1a2b2akbk1bk11bk1abk1k1a1b1a2b2akbk1bk1(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1，從而ab11ab22abkkabk1k1a1b1a2b2akbkak1bk1.故當(dāng)nk1 時(shí)，

13、成立由可知，對一切正整數(shù)n，所推廣的命題成立說明： (3)中如果推廣形式中指出式對n2 成立， 則后續(xù)證明中不需討論n1 的情況【難點(diǎn)突破】16解：(1)對任意nN N*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)是等差數(shù)列，所以B(n)A(n)C(n)B(n)，即an1a1an2a2，亦即an2an1a2a14.故數(shù)列an是首項(xiàng)為 1，公差為 4 的等差數(shù)列于是an1(n1)44n3.(2)必要性：若數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，則對任意nN N*，有an1anq.由an0 知，A(n)，B(n)，C(n)均大于 0，于是B（n）A（n）a2a3an1a1a2anq（a1a2an）a1a2anq，C

14、（n）B（n）a3a4an2a2a3an1q（a2a3an1）a2a3an1q，即B（n）A（n）C（n）B（n）q.所以三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列充分性：若對任意nN N*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列，則B(n)qA(n)，C(n)qB(n)于是C(n)B(n)qB(n)A(n)，得an2a2q(an1a1)，即an2qan1a2qa1.由n1 有B(1)qA(1)，即a2qa1，從而an2qan10.因?yàn)閍n0，所以an2an1錯(cuò)誤錯(cuò)誤!q.故數(shù)列an是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列綜上所述，數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意nN N*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列