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達標檢測
時間：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．用分析法證明不等式的推論過程一定是( )
A．正向、逆向均可進行正確的推理
B．只能進行逆向推理
C．只能進行正向推理
D．有時能正向推理，有時能逆向推理
解析：在用分析法證明不等式時，是從求證的不等式出發(fā)，逐步探索使結(jié)論成立的充分條件，故只能進行逆向推理．
答案：B
2．已知a>2，b>2，則有( )
A．a(chǎn)b≥a＋b B．a(chǎn)b≤a＋b
C．a(chǎn)b>a＋b
2、 D．a(chǎn)b2，b>2，
∴<，<，∴<＋＝1.
答案：C
3．用反證法證明命題“如果a”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是( )
A.＝ B．<
C.＝且> D．＝或<
解析：與的大小關(guān)系包括>，＝，<，
∴應(yīng)假設(shè)的內(nèi)容為＝或<.
答案：D
4．已知實數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關(guān)系是( )
A．c≥b>a B．a(chǎn)>c≥b
C．c>b>a D．a(chǎn)>c>b
解析：∵c－b＝(a－2)2≥0，∴c≥b.
由題中兩式相減，得b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝2＋
3、>0，
∴b>a，∴c≥b>a.
答案：A
5．已知a>b>c>0，A＝a2ab2bc2c，B＝ab＋cbc＋aca＋b，則A與B的大小關(guān)系是( )
A．A>B B．Ab>c>0，∴A>0，B>0.
∴＝＝aa－baa－cbb－cbb－acc－acc－b
＝a－ba－cb－c.
∵a>b>0，∴>1，a－b>0.
∴a－b>1.
同理b－c>1，a－c>1.
∴>1，∴A>B.
答案：A
6．若0
4、解析：∵y＝3x在R上是增函數(shù)，且0>，∴l(xiāng)ogx3>logy3，故B錯誤．
∵y＝log4 x在(0，＋∞)上是增函數(shù)且0y，故D錯誤．
答案：C
7．設(shè)a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，則不等式a3＋b3＋c3≥3abc成立的一個充要條件是( )
A．a(chǎn)，b，c全為正數(shù) B．a(chǎn)，b，c全為非負實數(shù)
5、
C．a(chǎn)＋b＋c≥0 D．a(chǎn)＋b＋c>0
解析：a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)＝
(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]，而a、b、c不全相等?(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2>0.
∴a3＋b3＋c3－3abc≥0?a＋b＋c≥0.
答案：C
8．若實數(shù)a，b滿足a＋b＝2，則3a＋3b的最小值是( )
A．18 B．6
C．2 D．2
解析：3a＋3b≥2＝2＝23＝6(當且僅當a＝b＝1時，等號成立)．
答案：B
9．要使－<成立，a，b應(yīng)滿足的條件是( )
A．a(chǎn)b<0且a>
6、b
B．a(chǎn)b>0且a>b
C．a(chǎn)b<0且a0且a>b或ab<0且a0時，有<，即b，即b>a.
答案：D
10．已知a，b，c，d都是實數(shù)，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.則ac＋bd的范圍為( )
A．[－1,1] B．[－1,2)
C．(－1,3] D．(1,2]
解析：因為a，b，c，d都是實數(shù)，
所以|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤＋＝＝1.
所以－1≤ac＋bd≤1.
答案：A
11．在△ABC中，A，B，C分別為a，b，c所對的角，且a
7、，b，c成等差數(shù)列，則B適合的條件是( )
A．0N>P>Q B．M >P>N>Q
C．M >P>Q>N D．N>P>Q>M
解析：∵α∈，∴0>sin α>cos α，∴|sin α|<|cos α|，
∴P＝|sin α＋cos α|＝(|sin α|＋
8、|cos α|)>(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M，排除A、B、C，故選D項．
答案：D
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上)
13．設(shè)a＝－，b＝－，c＝－，則a，b，c的大小順序是________．
解析：a－b＝－－＋＝＋－(＋)，
而(＋)2＝8＋2，(＋)2＝8＋2，
∴＋>＋.∴a－b>0，即a>b.
同理可得b>c.∴a>b>c.
答案：a>b>c
14．用反證法證明命題“三角形中最多只有一個內(nèi)角是鈍角”時的反設(shè)是________．
解析：三角形的內(nèi)角中鈍角的個數(shù)可以為0個，1個，最多只有一個即為0個
9、或1個，其對立面是“至少兩個”．
答案：三角形中至少有兩個內(nèi)角是鈍角
15．已知a，b，c，d都為正數(shù)，且S＝＋＋＋，則S的取值范圍是________．
解析：由放縮法，得<<；
<<；
<<；
<<.
以上四個不等式相加，得1
10、c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2，
即要證：a2d2＋b2c2≥2abcd.
②________________________________________________________________.
解析：對于①只有當ac＋bd≥0時，兩邊才能平方，對于②只要接著往下證即可．
答案：①因為當ac＋bd≤0時，命題顯然成立，所以當ac＋bd≥0時
②∵(ab－bc)2≥0，∴a2d2＋b2c2≥2abcd，
∴命題成立
三、解答題(本大題共有6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(12分)求證：a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)．
證明：
11、∵a2＋b2≥2ab，
a2＋3≥2a，b2＋3≥2b；
將此三式相加得
2(a2＋b2＋3)≥2ab＋2a＋2b，
∴a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)．
18．(12分)已知m>0，a，b∈R，求證：2≤.
證明：因為m>0，所以1＋m>0.
所以要證2≤，
即證(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，
即證m(a2－2ab＋b2)≥0，
即證(a－b)2≥0.
而(a－b)2≥0顯然成立，
故2≤.
19．(12分)已知a>b>0，試比較與的大?。?
解析：∵a>b>0，∴>0，>0.
又∵＝
＝＝
＝1＋>1，
∴>.
20．(12分)若0
12、,01，(2－b)c>1，(2－c)a>1
那么≥>1，
①
同理>1，
②
>1，
③
由①＋②＋③得3>3，
上式顯然是錯誤的，
∴該假設(shè)不成立，
∴(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同時大于1.
21．(13分)求證：2(－1)<1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．
證明：∵>＝2(－)，k∈N＋，
∴1＋＋＋…＋
>2[(－1)＋(－)＋…＋(－)]
＝2(－1)．
又<＝2(－)，k∈N＋，
∴1＋＋＋…＋
13、
<1＋2[(－1)＋(－)＋…＋(－)]
＝1＋2(－1)＝2－1<2.
故原不等式成立．
22．(13分)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2＋2n，
數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝2－bn.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2)設(shè)cn＝abn，證明當n≥3時，cn＋1
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