精編高中數(shù)學(xué)北師大版必修5 第二章2 三角形中的幾何計算 作業(yè)2 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 ,                      [學(xué)生用書單獨成冊]) [A.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1.如果將直角三角形三邊增加相同的長度,則新三角形一定是(  ) A.銳角三角形        B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.與增加的長度有關(guān) 解析:選A.在△ABC中,a2=b2+c2,設(shè)三邊增加相同長度m后,新三角形為△A′B′C′,根據(jù)余弦定理得cos A′==>0,而角A′是最大的角,故新三角形為銳角三角形,故選A. 2.在△ABC中,A=60°,b=1,其面積為,則等于(  ) A.3 B. C. D. 解析:選B

2、.因為S△ABC=bc·sin A=c·sin 60°,又S△ABC=,所以c=得c=4,又由余弦定理得a===,故==. 3.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,S表示△ABC的面積,若acos B+bcos A=csin C,S=(b2+c2-a2),則角B等于(  ) A.90° B.60° C.45° D.30° 解析:選C.由正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A=sin Csin C,即sin(B+A)=sin Csin C,因為sin(B+A)=sin C,所以si

3、n C=1,C=90°.根據(jù)三角形面積公式和余弦定理得S=bcsin A,b2+c2-a2=2bccos A,代入已知得bcsin A=·2bccos A,所以tan A=1,A=45°,因此B=45°. 4.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,則的值為(  ) A.1 B. C. D. 解析:選D.由余弦定理a2+c2-b2=2accos B?2acsin B=ac?sin B=,由正弦定理=?=sin B=,故選D. 5.在三角形ABC中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c,且a&

4、gt;b>c,a2<b2+c2,則角A的取值范圍是(  ) A.(,π) B.(,) C.(,) D.(0,) 解析:選C.因為a2<b2+c2,所以cos A=>0,所以A為銳角,又因為a>b>c,所以A為最大角,所以角A的取值范圍是(,). 6.在△ABC中,已知a=5,b=7,B=120°,則△ABC的面積為________. 解析:由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得c2+5c-24=0, 解得c=3. 所以S△ABC=acsin B=×5×3sin 120°=. 答案:

5、 7.在△ABC中,D為邊BC上一點,BD=CD,∠ADB=120°,AD=2,若△ADC的面積為3-,則∠BAC=________. 解析:由A作垂線AH⊥BC于H. 因為S△ADC=DA·DC·sin 60° =×2×DC× =3-. 所以DC=2(-1),又因為AH⊥BC, ∠ADH=60°, 所以DH=ADcos 60°=1, 所以HC=2(-1)-DH=2-3. 又BD=CD, 所以BD=-1, 所以BH=BD+DH=. 又AH=ADsin 60°=,

6、所以在Rt△ABH中AH=BH, 所以∠BAH=45°. 又在Rt△AHC中tan∠HAC===2-, 所以∠HAC=15°.又∠BAC=∠BAH+∠CAH=60°, 故所求角為60°. 答案:60° 8.在?ABCD中,AB=6,AD=3,∠BAD=60°,則?ABCD的對角線AC長為________,面積為________. 解析:在?ABCD中,連接AC,則CD=AB=6, ∠ADC=180°-∠BAD=180°-60°=120°. 根據(jù)余弦定理得, AC= = =

7、3. S?ABCD=2S△ABD=AB·AD·sin∠BAD =6×3sin 60°=9. 答案:3 9 9.已知a,b,c分別是△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊. 若a=ccos B,且b=csin A,試判斷△ABC的形狀. 解:由余弦定理得:a=c·,化簡得:a2+b2=c2,所以C=90°. 所以△ABC為直角三角形, 則sin A=,所以b=c·=a, 所以△ABC是等腰直角三角形. 10. 已知四邊形ABCD中,AB=2,BC=CD=4,DA=6,且D=60°,試求四邊形A

8、BCD的面積. 解:連接AC,在△ACD中, 由AD=6,CD=4,D=60°,可得 AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos D =62+42-2×4×6cos 60°=28, 在△ABC中, 由AB=2,BC=4,AC2=28, 可得cos B= ==-. 又0°<B<180°,故B=120°. 所以四邊形ABCD的面積 S=S△ACD+S△ABC =AD·CDsin D+AB·BCsin B =×4×6sin 60

9、6;+×2×4sin 120°=8. [B.能力提升] 1.設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的三邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為S=a2-(b-c)2,則=(  ) A.2 B.3 C.5 D.4 解析:選D.因為△ABC的面積S=bcsin A=a2-(b-c)2, 所以bcsin A=2bc-(b2+c2-a2),sin A=4-4=4-4cos A, 所以=4. 2.已知△ABC的周長等于20,面積是10,A=60°,則A的對邊為(  ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:選C.因為a+b+c=20

10、, 所以b+c=20-a,即b2+c2+2bc=400-40a+a2. 所以b2+c2-a2=400-40a-2bc. 又因為cos A==, 所以b2+c2-a2=bc. 又因為S△ABC=bcsin A=10, 所以bc=40. 將b2+c2-a2=bc和bc=40代入b2+c2-a2=400-40a-2bc,得a=7. 3.已知等腰三角形的底邊長為6,一腰長為12,則它的內(nèi)切圓面積為________. 解析:不妨設(shè)三角形三邊為a,b,c,且a=6,b=c=12. 由余弦定理得: cos A===, 所以sin A==. 由(a+b+c)·r=bcsin

11、 A得r=. 所以S內(nèi)切圓=πr2=. 答案: 4.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且c=7,==,則a=________,b=________. 解析:cos B=,cos A=, 且=,設(shè)a=4x,b=3x, 則=, 解得x=. 所以a=,b=. 答案:  5.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且cos C=, (1)求sin(C+)的值; (2)若·=1,a+b=,求邊c的值及△ABC的面積. 解:(1)由sin2C+cos2C=1, 得sin C=. 則sin(C+)=sin Ccos +cos Csin

12、=×+×=. (2)因為·=||||cos C=1, 則ab=5. 又a+b=,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=27. 所以c2=a2+b2-2abcos C=25,則c=5. 所以S△ABC=absin C=. 6.已知△ABC的外接圓半徑為R,且滿足2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B,求△ABC面積的最大值. 解:由已知條件得4R2(sin2A-sin2C)=(a-b)·2Rsin B, 由正弦定理得a2-c2=(a-b)b, 即a2+b2-c2=ab,再由余弦定理的推論得cos C==. 又因為C是△ABC的內(nèi)角, 所以C=45°, 所以S△ABC=absin C =·2Rsin A·2Rsin B· =R2sin Asin B=-R2[cos(A+B)-cos(A-B)] =R2[+cos(A-B)], 當(dāng)A=B時,S△ABC有最大值,最大值為R2.

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