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1、（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料
1.3.2 奇偶性
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義(難點).2.掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法，了解奇偶性與函數(shù)圖象對稱性之間的關(guān)系(重點).3.會利用函數(shù)的奇偶性解決簡單問題(重點)．
預(yù)習(xí)教材P33－P35，完成下面問題：
知識點 函數(shù)的奇偶性
函數(shù)的奇偶性
奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
關(guān)于y軸對稱
奇函數(shù)
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
關(guān)于原點對稱
2、【預(yù)習(xí)評價】 (正確的打“√”，錯誤的打“”)
(1)對于函數(shù)y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)y＝f(x)一定是奇函數(shù)．( )
(2)不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)．( )
(3)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)不是奇函數(shù)，就是偶函數(shù)．( )
提示 (1) 反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函數(shù)f(x)＝x2不是奇函數(shù)；
(2) 存在f(x)＝0，x∈R既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；
(3) 函數(shù)f(x)＝x2－2x，x∈R的定義域關(guān)于原點對稱，但它既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)．
題型一 函數(shù)奇偶性的判斷
【例1
3、】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解 (1)∵函數(shù)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)為偶函數(shù)．
(2)∵函數(shù)f(x)的定義域為{－1,1}，關(guān)于原點對稱，且f(x)＝0，
又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
(3)∵函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠1}，不關(guān)于原點對稱，
∴f(x)是非奇非偶函數(shù)．
(4)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱．
當(dāng)x>0
4、時，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
當(dāng)x<0時，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
綜上可知，對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)為偶函數(shù)．
規(guī)律方法 判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法：
(1)定義法：
(2)圖象法：
【訓(xùn)練1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
解 (1)函數(shù)的定義域為R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函數(shù)．
(2)f(x)的定義域
5、是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．
(3)函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，∴f(x)是非奇非偶函數(shù)．
題型二 奇、偶函數(shù)的圖象問題
【例2】 已知奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示．
(1)畫出在區(qū)間[－5,0]上的圖象．
(2)寫出使f(x)<0的x的取值集合．
解 (1)因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以y＝f(x)在[－5,5]上的圖象關(guān)于原點對稱．由y＝f(x)在[0,5]上的圖象，可知它在[－5,0]上的圖象，如圖所示．
(
6、2)由圖象知，使函數(shù)值f(x)<0的x的取值集合為(－2,0)∪(2,5)．
規(guī)律方法 1.巧用奇偶性作函數(shù)圖象的步驟
(1)確定函數(shù)的奇偶性．
(2)作出函數(shù)在[0，＋∞)(或(－∞，0])上對應(yīng)的圖象．
(3)根據(jù)奇(偶)函數(shù)關(guān)于原點(y軸)對稱得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上對應(yīng)的函數(shù)圖象．
2．奇偶函數(shù)圖象的應(yīng)用類型及處理策略
(1)類型：利用奇偶函數(shù)的圖象可以解決求值、比較大小及解不等式問題．
(2)策略：利用函數(shù)的奇偶性作出相應(yīng)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象直接觀察．
【訓(xùn)練2】 已知偶函數(shù)f(x)的一部分圖象如圖，試畫出該函數(shù)在y軸另一側(cè)的圖象，并比較f(2)，f(4
7、)的大?。?
解 f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，如圖，
由圖象知，f(2)
8、)＝－G(3)，
即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，
∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.
法二 由已知條件，得
①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，
又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26.
答案 D
方向2 利用奇偶性求參數(shù)值
【例3－2】 若函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a＝________.
解析 ∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，顯然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1.
答案?。?
方向3 利用奇偶性求函數(shù)的解析式
【例3－3】 已知函數(shù)f(x)(
9、x∈R)是奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＝2x－1，求函數(shù)f(x)的解析式．
解 當(dāng)x＜0，－x＞0，
∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.
又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，
∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝
規(guī)律方法 1.利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或參數(shù)值的方法：利用函數(shù)的奇偶性的定義f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)可求函數(shù)值，比較f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的系數(shù)可求參數(shù)值．
2．利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的步驟
(1)“求誰設(shè)誰
10、”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè)；
(2)轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．
課堂達(dá)標(biāo)
1．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是( )
A．y＝x B．y＝2x2－3 C．y＝ D．y＝x2，x∈(－1,1]
解析 對于A，f(－x)＝－x＝－f(x)，是奇函數(shù)；對于B，定義域為R，滿足f(x)＝f(－x)，是偶函數(shù)；對于C和D，定義域不關(guān)于原點對稱，則不是偶函數(shù)，故選B．
答案 B
2．若函數(shù)f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)為偶函數(shù)，則m的值是( )
A
11、．1 B．2 C．3 D．4
解析 f(－x)＝(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)，f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，由f(－x)＝f(x)，得m－2＝0，即m＝2.
答案 B
3．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)＝－x2＋－1，則f(－2)＝________.
解析 f(2)＝－22＋－1＝－，又f(x)是奇函數(shù)，故f(－2)＝－f(2)＝.
答案
4．如圖，已知偶函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0，x∈R}，且f(3)＝0，則不等式f(x)<0的解集為________．
解析 由條件利用偶函數(shù)的性質(zhì)，
12、畫出函數(shù)f(x)在R上的簡圖：數(shù)形結(jié)合可得不等式f(x)<0的解集為(－3,0)∪(0,3)．
答案 (－3,0)∪(0,3)
5．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝x＋1，求f(x)的解析式．
解 當(dāng)x<0時，－x>0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝x－1，
又f(0)＝0，所以f(x)＝
課堂小結(jié)
1．定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的一個必要條件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式．
2．奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)．為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要先將函數(shù)進行化簡，或應(yīng)用定義的等價形式：f(－x)＝f(x)?f(－x)?f(x)＝0?＝1(f(x)≠0)．
3．應(yīng)用函數(shù)的奇偶性求值、參數(shù)或函數(shù)的解析式，要根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)對函數(shù)值及函數(shù)解析式進行轉(zhuǎn)換．
高中數(shù)學(xué)人教版A版必修一學(xué)案：第一單元 1.3.2 奇偶性 Word版含答案
