高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科： 第7章 立體幾何初步 第5節(jié) 垂直關(guān)系學(xué)案 文 北師大版

《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科： 第7章 立體幾何初步 第5節(jié) 垂直關(guān)系學(xué)案 文 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科： 第7章 立體幾何初步 第5節(jié) 垂直關(guān)系學(xué)案 文 北師大版（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第五節(jié)　垂直關(guān)系 [考綱傳真]　1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第104頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．直線與平面垂直 (1)直線和平面垂直的定義 如果一條直線l與平面α內(nèi)的任何直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直． (2)判定定理與性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 圖形表示 符號(hào)表示 判定定理 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相

2、交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 ?l⊥α 性質(zhì)定理 兩直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行 ?a∥b 2．平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直． (2)判定定理與性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 圖形表示 符號(hào)表示 判定定理 一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直 ?α⊥β 性質(zhì)定理 如果兩個(gè)平面互相垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面 ?l⊥α [知識(shí)拓展] 1．若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也

3、垂直于這個(gè)平面． 2．一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直． 3．兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面． [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(　　) (2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行．(　　) (3)若兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行．(　　) (4)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面．(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)　(4) 2．(教材改編)設(shè)α，

4、β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且lα，mβ.(　　) A．若l⊥β，則α⊥β　　　　 B．若α⊥β，則l⊥m C．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m A　[∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正確．] 3．(20xx浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足 m∥α，n⊥β，則(　　) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n C　[∵α∩β＝l，∴l(xiāng)β. ∵n⊥β，∴n⊥l.] 4．如圖751，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：0009

5、0253】 圖751 4　[∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 則△PAB，△PAC為直角三角形． 由BC⊥AC，且AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAC，從而B(niǎo)C⊥PC． 因此△ABC，△PBC也是直角三角形．] 5．邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，則折疊后AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______． a　[如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連接A′O，CO， 則∠A′OC是二面角A′BDC的平面角． 即∠A′OC＝90，又A′O＝CO＝a， ∴A′C＝＝a，即折疊后AC的長(zhǎng)(A′C)為A．] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第105

6、頁(yè)) 線面垂直的判定與性質(zhì) 　如圖752所示，在四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明： 圖752 (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. [證明]　(1)在四棱錐PABCD中，∵PA⊥平面ABCD， CD平面ABCD，∴PA⊥CD． 又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC．而AE平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60，可得AC＝PA． ∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC． 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD

7、． 又PD平面PCD，∴AE⊥PD． ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB． 又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD， ∴AB⊥PD． 又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. [規(guī)律方法] 1．證明直線與平面垂直的常用方法 (1)利用線面垂直的判定定理． (2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”． (3)利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”． (4)利用面面垂直的性質(zhì)定理． 2．證明線線垂直的常用方法 (1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系． (2)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)． (3)利

8、用勾股定理的逆定理． (4)利用直線與平面垂直的性質(zhì)． [變式訓(xùn)練1]　如圖753所示，在四棱錐PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)，且DF＝AB，PH為△PAD中AD邊上的高． 圖753 (1)證明：PH⊥平面ABCD； (2)證明：EF⊥平面PAB． [證明]　(1)因?yàn)锳B⊥平面PAD，PH平面PAD，所以PH⊥AB． 因?yàn)镻H為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD． 因?yàn)锳B∩AD＝A，AB，AD平面ABCD， 所以PH⊥平面ABCD． (2)如圖所示，取PA的中點(diǎn)M，連接MD，ME. 因?yàn)镋是P

9、B的中點(diǎn)，所以ME綊AB． 又因?yàn)镈F綊AB， 所以ME綊DF， 所以四邊形MEFD是平行四邊形， 所以EF∥MD． 因?yàn)镻D＝AD，所以MD⊥PA． 因?yàn)锳B⊥平面PAD，所以MD⊥AB． 因?yàn)镻A∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB， 所以EF⊥平面PAB． 面面垂直的判定與性質(zhì) 　(20xx鄭州調(diào)研)如圖754，三棱臺(tái)DEFABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)． 圖754 (1)求證：BD∥平面FGH； (2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH. [證明]　(1)如圖所示，連接DG，CD，設(shè)CD∩GF＝M， 連接

10、MH. 1分 在三棱臺(tái)DEFABC中， AB＝2DE，G為AC的中點(diǎn)， 可得DF∥GC，DF＝GC， 所以四邊形DFCG為平行四邊形． 3分 則M為CD的中點(diǎn)， 又H為BC的中點(diǎn)， 所以HM∥BD， 由于HM平面FGH，BD平面FGH， 故BD∥平面FGH. 5分 (2)連接HE，GE，CD， 因?yàn)镚，H分別為AC，BC的中點(diǎn)， 所以GH∥AB． 6分 由AB⊥BC，得GH⊥BC． 又H為BC的中點(diǎn)， 所以EF∥HC，EF＝HC， 因此四邊形EFCH是平行四邊形， 所以CF∥HE. 10分 由于CF⊥BC，所以HE⊥BC． 又HE，GH平面EG

11、H，HE∩GH＝H. 所以BC⊥平面EGH. 又BC平面BCD， 所以平面BCD⊥平面EGH. 12分 [規(guī)律方法]　1.面面垂直的證明的兩種思路： (1)用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線； (2)用面面垂直的定義，即證明兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，把證明面面垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問(wèn)題． 2．垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系： [變式訓(xùn)練2]　(20xx全國(guó)卷Ⅰ)如圖755，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90。 (1)證明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90，且四棱

12、錐PABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積． 圖755 [解]　(1)證明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90， 得AB⊥AP，CD⊥PD． 由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD． 2分 又AB平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAD． 4分 (2)如圖，在平面PAD內(nèi)作PE⊥AD，垂足為E. 由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD， 可得PE⊥平面ABCD． 6分 設(shè)AB＝x，則由已知可得 AD＝x，PE＝x. 故四棱錐PABCD的體積 VPABCD＝ABADPE＝x3. 8分 由題設(shè)得x3＝，故x＝

13、2. 從而結(jié)合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2. 10分 可得四棱錐PABCD的側(cè)面積為 PAPD＋PAAB＋PDDC＋BC2sin 60＝6＋2. 12分 平行與垂直的綜合問(wèn)題 角度1　多面體中平行與垂直關(guān)系的證明 　(20xx濰坊模擬)在如圖756所示的空間幾何體中，EC⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，CE∥BF，且CE＝2BF，G，H，P分別為AF，DE，AE的中點(diǎn)．求證： (1)GH∥平面BCEF； (2)FP⊥平面ACE. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090254】 圖756 [證明]　(1)取EC中點(diǎn)M，F(xiàn)B

14、中點(diǎn)N，連接HM，GN. 則HM綊DC，GN綊AB， 2分 ∵AB∥CD，AB＝CD，∴HM綊GN， ∴HMNG是平行四邊形， ∴GH∥MN， 4分 ∵GH平面BCEF，MN平面BCEF， ∴GH∥平面BCEF； 6分 (2)連接BD，與AC交于O，連接OP，則OP綊FB， ∴PFBO是平行四邊形， 8分 ∴PF∥BO， ∵BO⊥AC，BO⊥EC，AC∩EC＝C，∴BO⊥平面ACE， 10分 ∴FP⊥平面ACE. 12分 [規(guī)律方法]　1.三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化． 2．垂直與平行結(jié)合問(wèn)題，求解時(shí)應(yīng)注意平行

15、、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用． 角度2　平行垂直中探索開(kāi)放問(wèn)題 　(20xx秦皇島調(diào)研)如圖757(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖757(2)所示． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090255】 (1)　　　　　　　　　(2) 圖757 (1)求證：A1F⊥BE； (2)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？并說(shuō)明理由． [證明]　(1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC． 所以DE⊥AC，則DE⊥DC，DE⊥DA1， 因?yàn)镈C∩DA1＝D，

16、 所以DE⊥平面A1DC． 2分 由于A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F. 又因?yàn)锳1F⊥CD，CD∩DE＝D， 所以A1F⊥平面BCDE， 又BE平面BCDE， 所以A1F⊥BE. 5分 (2)線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ. 6分 理由如下： 如圖，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，連接PQ， 則PQ∥BC． 又因?yàn)镈E∥BC，則DE∥PQ. 所以平面DEQ即為平面DEQP. 9分 由(1)知，DE⊥平面A1DC， 所以DE⊥A1C． 又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn)， 所以A1C⊥DP

17、. 又DP∩DE＝D， 所以A1C⊥平面DEQP.從而A1C⊥平面DEQ. 故線段A1B上存在點(diǎn)Q，使得A1C⊥平面DEQ. 12分 [規(guī)律方法]　1.對(duì)命題條件探索性的主要途徑： (1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明； (2)先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性． 2．平行(垂直)中點(diǎn)的位置探索性問(wèn)題：一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問(wèn)題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn)． 線面角的求法與應(yīng)用 　(20xx浙江高考)如圖758，在三棱臺(tái)ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝9

18、0，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3. 圖758 (1)求證：BF⊥平面ACFD； (2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值． [解]　(1)證明：延長(zhǎng)AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，如圖所示. 1分 因?yàn)槠矫鍮CFE⊥平面ABC， 且AC⊥BC， 所以AC⊥平面BCK， 3分 因此，BF⊥AC． 又因?yàn)镋F∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)，則BF⊥CK. 所以BF⊥平面ACFD． 5分 (2)因?yàn)锽F⊥平面ACK，所以∠BDF是直線BD與平面ACFD所成的角. 8分 在Rt△

19、BFD中，BF＝，DF＝，得cos∠BDF＝，所以直線BD與平面ACFD所成角的余弦值為. 12分 [規(guī)律方法]　1.利用綜合法求空間角的步驟： (1)找：根據(jù)圖形找出相關(guān)的線面角或二面角． (2)證：證明找出的角即為所求的角． (3)算：根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，通過(guò)解三角形求出所求角． 2．線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解． [變式訓(xùn)練3]　如圖759，在四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)． 圖759 (1)求PB和平面PAD所

20、成的角的大??； (2)證明：AE⊥平面PCD． [解]　(1)在四棱錐PABCD中， 因?yàn)镻A⊥底面ABCD，AB平面ABCD， 故PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD＝A， 從而AB⊥平面PAD， 2分 故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA， 從而∠APB為PB和平面PAD所成的角． 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45. 所以PB和平面PAD所成的角的大小為45. 5分 (2)證明：在四棱錐PABCD中， 因?yàn)镻A⊥底面ABCD，CD平面ABCD， 故CD⊥PA． 由條件CD⊥AC，PA∩AC＝A， 所以CD⊥平面PAC． 7分 又AE平面PAC，所以AE⊥CD． 由PA＝AB＝BC， ∠ABC＝60，可得AC＝PA． 因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)， 所以AE⊥PC． 10分 又PC∩CD＝C， 故AE⊥平面PCD． 12分