高一數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn) 三角函數(shù)及恒等公式 經(jīng)典題 ?？碱} 50道 含答案及解析

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1、高一數(shù)學(xué) 三角函數(shù)及恒等公式 經(jīng)典題 常考題 共50道 高一數(shù)學(xué) 三角函數(shù)及恒等公式 經(jīng)典題 ?？碱} 50道 一、單選題 1.函數(shù)y=cosx|tanx|（0≤x＜ 且x≠ ）的圖象是下圖中的（ ） A.B. C.D. 【答案】C 【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，正弦函數(shù)的圖象 【解析】【解答】解：當(dāng)0 時(shí)，y=cosxtanx≥0，排除B，D． 當(dāng) 時(shí)，y=﹣cosxtanx＜0，排除A． 故選：C． 【分析】根據(jù)x的范圍判斷函數(shù)的值域，使用排除法得出答案． ====================================

2、====================================== 2.若α，β都是銳角，且 ，則cosβ=（ ） A.B.C.或 D.或 【答案】A 【考點(diǎn)】兩角和與差的余弦函數(shù) 【解析】【解答】解：∵α，β都是銳角，且 ， ∴cosα= = ，cos（α﹣β）= = ， 則cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）= + = ， 故選：A． 【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的三角公式，求得cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]的值． ================

3、========================================================== 3.設(shè) 為銳角，若cos = ，則sin 的值為（ ） A.B.C.D. 【答案】B 【考點(diǎn)】二倍角的正弦 【解析】【解答】∵ 為銳角，cos = ，∴ ∈ ， ∴ = = ． 則sin =2 . 故答案為：B 【分析】根據(jù)題意利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式求出正弦的值，再由二倍角的正弦公式代入數(shù)值求出結(jié)果即可。 ============================================================

4、============== 4.sin15sin105的值是（ ） A.B.C.D. 【答案】A 【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【解答】sin15sin105=sin15cos15= sin30= ， 故答案為：A．【分析】利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化已知的三角函數(shù)關(guān)系式求出結(jié)果即可。 ========================================================================== 5.已知向量 =（1，﹣cosθ）， =（1，2cosθ），且 ⊥ ，則cos2θ等于（ ）

5、 A.﹣1B.0C.D. 【答案】B 【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，二倍角的余弦 【解析】【解答】解：由向量數(shù)量積的性質(zhì)可知， =1﹣2cos2θ=0 即﹣cos2θ=0 ∴cos2θ=0 故答案為：B 【分析】由兩向量垂直時(shí)，兩向量的數(shù)量積為零，可得到1﹣2cos2θ=0，根據(jù)二倍角的余弦公式可得cos2θ=0. ========================================================================== 6.=（ ） A.B.C.- D.- 【答案】A 【考

6、點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【解答】解：sin =sin = ， 故選：A． 【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式化簡所給的三角函數(shù)式，可得結(jié)果． ========================================================================== 7.在△ABC中，若2cosB?sinA=sinC，則△ABC的形狀一定是（ ） A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形 【答案】C 【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù) 【解析】【解答】解析：∵2cosB?sinA=sinC=

7、sin（A+B）?sin（A﹣B）=0， 又B、A為三角形的內(nèi)角， ∴A=B． 答案：C 【分析】在△ABC中，總有A+B+C=π，利用此關(guān)系式將題中：“2cosB?sinA=sinC，”化去角C，最后得到關(guān)系另外兩個(gè)角的關(guān)系，從而解決問題． ========================================================================== 8.設(shè)角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（﹣3，4），那么sinθ+2cosθ=（ ） A.B.C.D. 【答案】C 【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義 【解析】【解答】解

8、：由于角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（﹣3，4），那么x=﹣3，y=4，r=|OP|=5， ∴sinθ= = ，cosθ= =﹣ ，∴sinθ+2cosθ=﹣ ， 故選C． 【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求得sinθ= 和cosθ= 的值，從而求得sinθ+2cosθ 的值． ========================================================================== 9.等于（ ） A.1B.﹣1C.D. 【答案】C 【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【解答】解：sin =sin（504π

9、+ ）=sin = ， 故選：C． 【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式，求得要求式子的值． ========================================================================== 10.已知sinα+cosα=-， ， 則tanα的值是（　?。? A.-B.-C.D. 【答案】B 【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系 【解析】【解答】因?yàn)閟inα+cosα=-， 又sin2α+cos2α=1， 所以sinα=﹣， cosα=， 所以tanα= 故選B． 【分析】通過平方關(guān)系式與已知表

10、達(dá)式，求出sinα，cosα，即可得到結(jié)果． ========================================================================== 11.（2015安徽）已知函數(shù)f（x）=Asin（+）（A,,均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，則下列結(jié)論正確的是 A.f（2）f（-2）f（0）B.f（0）f（2）f（-2） C.f（-2）f（0）f（2）D.f（2）f（0）f(-2) 【答案】A 【考點(diǎn)】三角函數(shù)值的符號(hào)，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 【解析】【解答】由題意

11、f（x）=Asin（+）（A,,均為正的常數(shù)），T==,所以=2，f（x）=Asin（),而當(dāng)x=時(shí)解得= ,kz時(shí)，要比較f（2），f（-2），f（0）的大小，所以f（2）f（-2）f（0） 【分析】對(duì)于三角函數(shù)比較大小的問題，先得出三角函數(shù)解析式，然后比較解析式進(jìn)行判斷，得出函數(shù)圖像特征進(jìn)行判斷。 ========================================================================== 12.已知向量 =（cosθ，sinθ）， =（1，﹣2），若 ∥ ，則代數(shù)式 的值是（ ） A.B.C.5D.

12、 【答案】C 【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，三角函數(shù)的化簡求值 【解析】【解答】解：向量 =（cosθ，sinθ）， =（1，﹣2），若 ∥ ， 可得：sinθ=﹣2cosθ． = =5． 故選：C． 【分析】利用共線向量的關(guān)系，求出正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關(guān)系，代入所求表達(dá)式求解即可． ========================================================================== 13.若sin（π+A）=﹣ ，則cos（ π﹣A）的值是（ ） A.B.

13、C.D. 【答案】C 【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【解答】解：∵sin（π+A）=﹣sinA= ∴sinA= ∵cos（ π﹣A）=cos（π+ π﹣A）=﹣cos（ π﹣A）=﹣sinA= 故答案選C 【分析】先通過誘導(dǎo)公式求出sinA的值，再通過誘導(dǎo)公式化簡cos（ π﹣A）進(jìn)而求值． ========================================================================== 14.下列各式中，值為 的是（ ） A. B. C. D.

14、 【答案】C 【考點(diǎn)】二倍角的正弦，二倍角的余弦 【解析】【解答】 ， ， ， ， 故答案為：C． 【分析】利用二倍角的正與、余弦公式求逐一求出結(jié)果即可。 ========================================================================== 15.已知sin2α= ，則cos2（ ）=（ ） A.B.C.D. 【答案】B 【考點(diǎn)】二倍角的正弦，二倍角的余弦 【解析】【解答】∵sin2α= ，∴cos2（ ）= ． 故答案為：B．【分析】借助二倍角的余弦公式整理化簡

15、原有的代數(shù)式，代入數(shù)值求出結(jié)果即可。 ========================================================================== 16.設(shè)α，β為銳角，且sin α= ，cos β= ，則α+β的值為（ ） A.πB.πC.D. 【答案】C 【考點(diǎn)】兩角和與差的余弦函數(shù) 【解析】【解答】解：∵α，β為銳角，∴α+β∈（0，π），∵sin α= ，cos β= ， ∴cosα= = ，sinβ= = ， ∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ= ? ﹣ ? = ， 故α+

16、β= ， 故選：C． 【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα、sinβ的值，再利用兩角和的余弦公式求得cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ的值，結(jié)合α+β的范圍，可得α+β的值． ========================================================================== 17.已知 ＜ ＜π，3sin2 =2cos ，則 等于（ ） A.B.C.D. 【答案】C 【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【解答】∵ ＜ ＜π，3sin2 =2cos ，∴sin = ，

17、cos = ． ∴ ， 故答案為：C． 【分析】首先由題意借助角的取值范圍再結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系式sin2 α + cos 2 α =1求出cos α 的值，再由誘導(dǎo)公式的公式求出結(jié)果即可。 ========================================================================== 18.設(shè) 為第四象限的角，cos = ，則sin2 =（ ） A.B.C.D. 【答案】D 【考點(diǎn)】二倍角的正弦 【解析】【解答】∵ 為第四象限的角，cos = ，∴sin = = ， 則sin2 =

18、2sin cos = ， 故答案為：D． 【分析】由同角三角函數(shù)的關(guān)系=1求出sin θ 的值，再結(jié)合二倍角的正弦公式代入數(shù)值求出結(jié)果即可。 ========================================================================== 19.已知 則cos(α+β)的值為（ ） A.- B.- C.D. 【答案】B 【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦函數(shù) 【解析】【解答】因?yàn)?， ，所以 ， ， 又因?yàn)?， ，所以 ， ， 故 ，故答案為：B. 【分析】根據(jù)已知角的

19、取值范圍分別得出+α、+β的取值范圍，再借助兩角和差的正弦公式以及同角三角函數(shù)的關(guān)系式求出對(duì)應(yīng)的正弦和余弦值，整理要求的cos ( α + β )運(yùn)用整體思想求出結(jié)果。 ========================================================================== 20.的值為（ ） A.B.C.D. 【答案】D 【考點(diǎn)】二倍角的正弦 【解析】【解答】 = ． 故答案為：D 【分析】利用二倍角的正弦公式分子分母同時(shí)乘以需要的正弦值整理化簡原有的代數(shù)式即可求出結(jié)果。 ========

20、================================================================== 21.已知當(dāng) 時(shí)，函數(shù)y=sinx+acosx取最大值，則函數(shù)y=asinx﹣cosx圖象的一條對(duì)稱軸為（ ） A.B.C.D. 【答案】A 【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的對(duì)稱性 【解析】【解答】解：∵當(dāng) 時(shí)，函數(shù)y=sinx+acosx取最大值， ∴ 解得： ， ∴ ， ∴ 是它的一條對(duì)稱軸， 故選A． 【分析】由題意知當(dāng) 時(shí)，函數(shù)y=sinx+acosx取最大值，把值

21、代入表示出最大值，求出a的值，把求出的值代入三角函數(shù)式，表示出對(duì)稱軸，得到結(jié)果． ========================================================================== 22.已知cos（α﹣ ）+sinα= ，則sin（α+ ）的值是（ ） A.B.﹣ C.﹣ D. 【答案】B 【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù) 【解析】【解答】解：∵cos（α﹣ ）+sinα= cosα+ sinα= sin（α+ ）= ， ∴sin（α+ ）= ， 則sin（α+ ）=﹣sin（α+ ）=﹣ ，

22、故答案為：B． 【分析】由兩角差的余弦公式進(jìn)行化簡可得sin（α+）=，根據(jù)三角形誘導(dǎo)公式可得答案. ========================================================================== 23.如圖圓C內(nèi)切于扇形AOB，∠AOB= ，若在扇形AOB內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在圓C內(nèi)的概率為（ ） A.B.C.D. 【答案】C 【考點(diǎn)】幾何概型，扇形面積公式 【解析】【解答】解：由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，設(shè)圓C的半徑為r， 試驗(yàn)發(fā)生包含的事件對(duì)應(yīng)的是扇形AOB， 滿足條件的事件是圓，其面積為⊙C的面

23、積=π?r2 ， 連接OC，延長交扇形于P． 由于CE=r，∠BOP= ，OC=2r，OP=3r， 則S扇形AOB= = ； ∴⊙C的面積與扇形OAB的面積比是 ． ∴概率P= ， 故選C． 【分析】本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件對(duì)應(yīng)的包含的事件對(duì)應(yīng)的是扇形AOB，滿足條件的事件是圓，根據(jù)題意，構(gòu)造直角三角形求得扇形的半徑與圓的半徑的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)面積的求法求得扇形OAB的面積與⊙P的面積比． ========================================================================== 二

24、、解答題（共20題；） ========================================================================== 24.（2015北京卷）已知函數(shù) （1）求的最小正周期； （2）求在區(qū)間上的最小值． 【答案】（1）解： 的最小正周期為； （2）解： 因?yàn)椋?所以當(dāng)時(shí)，f(x)取得最小值為： 【考點(diǎn)】三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 【解析】【分析】先用降冪公式和輔助角公式進(jìn)行三角恒等變形，把函數(shù)化為 f ( x ) = A sin ( ψ x + φ

25、) + m 形式，再利用周期公式 T = 2 π /ω 求出周期，第二步由于 - π ≤ x ≤ 0 ,則可求出 - 3 π/ 4 ≤ x + π /4 ≤ π /4 ,借助正弦函數(shù)圖像找出在這個(gè)范圍內(nèi)當(dāng) x + π /4 = - π /2 ,即 x = - 3 π /4 時(shí)， f ( x ) 取得最小值為： . ========================================================================== 25.化簡： ． 【答案】解：原式= =1 【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡

26、計(jì)算即可． ========================================================================== 26.已知角 為第三象限角， ,若 ，求 的值. 【答案】解： ，從而 ， 又 為第三象限角，則 ， 即 的值為 【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【分析】由題意利用三角函數(shù)值的誘導(dǎo)公式“奇變偶不變符號(hào)看象限”對(duì)原式進(jìn)行化簡，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出 cos α的值。 =========================================================

27、================= 27.已知α是第三象限角，且f（α）=． （1）化簡f（α）； （2）已知cos（﹣α）=， 求f（α）的值． 【答案】解：（1）∵已知α是第三象限角， ∴f（α）===cosα． （2）∵cos（﹣α）=﹣sinα=，∴sinα=﹣， ∴f（α）=sinα﹣=﹣+5=． 【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【分析】（1）由條件利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，化簡可得所給式子的值，可得結(jié)果． （2）由條件利用誘導(dǎo)公式求得sinα=﹣， 由此可得f（α）=sinα﹣的值． ===================

28、======================================================= 28.已知sinθ= ，求 的值． 【答案】解：∵sinθ= ， ∴原式= =﹣sinθ=﹣ 【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值，運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【分析】原式利用誘導(dǎo)公式化簡，約分后將sinθ的值代入計(jì)算即可求出值． ========================================================================== 29.若sin(-)=， 求cos(-)的值． 【答案】解：∵sin（

29、﹣α）=， ∴cos（﹣α）=cos[π﹣（+α）]=﹣cos（+α）=﹣sin[﹣（+α）]=﹣sin（﹣α）=﹣． 【考點(diǎn)】誘導(dǎo)公式的作用 【解析】【分析】原式中的角度變形后，利用誘導(dǎo)公式化簡，將已知等式代入計(jì)算即可求出值． ========================================================================== 30.已知向量 =（ ，﹣2）， =（sin（ +2x），cos2x）（x∈R）．設(shè)函數(shù)f（x）= ． （1）求 的值； （2）求f（x）的最大值及對(duì)應(yīng)的x值． 【答案】

30、（1）解： ， （2）解： = ．當(dāng) ，即當(dāng) 時(shí)， 【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象 【解析】【分析】（1）根據(jù)f（x）= 得到函數(shù)f（x）的解析式，然后把x=﹣ 代入解析式即可；（2）根據(jù)兩角和與差的正弦函數(shù)公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行整理，再結(jié)合三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值討論即可得到函數(shù)的值域． ========================================================================== 31.已知sinα=， α． 求cos2α的值； 【答案】解：∵已知sinα=，α．，∴cos

31、α=1-sin2α= 【考點(diǎn)】二倍角的余弦 【解析】【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式求得要求式子的值． ========================================================================== 32.已知 為銳角且 . （1）求tan 的值； （2）求 的值． 【答案】（1）解：∵ ， ∴ ，即 ， 解得tan = . （2）解： = = =cos +sin . ∵ 為銳角且tan = ， ∴sin = ，cos = ，可得cos +sin = ．

32、 【考點(diǎn)】兩角和與差的正切函數(shù)，二倍角的余弦 【解析】【分析】(1)根據(jù)題意利用兩角和的正切公式展開求出tan α即可。(2)利用兩角和的正弦公式展開再結(jié)合二倍角的余弦公式整理化簡得到cos α +sin α，借助(1)的結(jié)果求出sin α 、cos α的值，故而得出結(jié)果。 ========================================================================== 33.已知cosα=﹣， 且α為第三象限角． （1）求sinα的值； （2）求f（α）=的值． 【答案】解：（1）∵cosα=﹣，且α為

33、第三象限角． ∴sinα=﹣=﹣=﹣． （2）f（α）===﹣． 【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【分析】（1）由已知及同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求sinα的值． （2）由誘導(dǎo)公式化簡后代入（1）的結(jié)果即可求值． ========================================================================== 34.求值：sin45cos15﹣cos45sin15 【答案】解：sin45cos15﹣cos45sin15=sin（45﹣15）=sin30=． 【考點(diǎn)】兩角和與差的余弦函數(shù) 【解析

34、】【分析】直接利用兩角差的正弦得答案． ========================================================================== 35.（2015湖南）設(shè)的對(duì)邊分別為且為銳角，問：（1）證明： B - A =，（2）求 sin A + sin C 的取值范圍 （1）（1）證明： （2）（2)求的取值范圍 【答案】（1）證明：由 a = b tan A , 及正弦定理，得 sin A /cos A = a /b = sin A/ sin B 所以 sin B = sin (π /2 + A), 又 B 為

35、銳角.因此 π /2 + A ∈( π/ 2 , π )，故 B = π /2 + A 即 B - A = π /2. （2） 【考點(diǎn)】三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦定理 【解析】【解答】（1）由及正弦定理，得所以又為銳角.因此， 故即 （2）由(1)知，所以， 于是=因?yàn)樗?由此可知的取值范圍是 【分析】本題主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等變形等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題，高考解答題對(duì)三角函數(shù)的考查主要以三角恒等變形，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用正余弦定理解三角形為主，難度中等，因此只要掌握基本的解題方法與技巧即可，在三角函數(shù)求值問題中，一般運(yùn)

36、用恒等變換，將未知角變換為已知角求解，在研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)問題時(shí)，一般先運(yùn)用三角恒等變形，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式求解，對(duì)于三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目，要注意通過正余弦定理以及面積公式實(shí)現(xiàn)邊角互化，求出相關(guān)的邊和角的大小. ========================================================================== 36.已知 ，且 = （1）求tan 的值； （2）求 的值． 【答案】（1）解：∵ ，sin = ， ∴cos = = ， ∴tan = = （2）解：∵sin =

37、， ∴原式 【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，二倍角的余弦 【解析】【分析】(1)由題意結(jié)合角的取值范圍利用條件三角函數(shù)的關(guān)系式求出cos α的值代入到正切公式中求出值即可。(2)利用二倍角的余弦公式整理原式代入數(shù)值求出結(jié)果即可。 ========================================================================== 37.設(shè)函數(shù) ，其中0＜ω＜2； （Ⅰ）若f（x）的最小正周期為π，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間； （Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸為 ，求ω的值． 【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=

38、sin2ωx+ =sin（2ωx+ ）+ ． ∵T=π，ω＞0， ∴ ， ∴ω=1． 令 ， 得 ， 所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為： ． （Ⅱ）∵ 的一條對(duì)稱軸方程為 ， ∴ ． ∴ ． 又0＜ω＜2， ∴ ． ∴k=0， ∴ ． 【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式 【解析】【分析】（Ⅰ）利用輔助角公式將f（x）= sin2ωx+ 化為：f（x）=sin（2ωx+ ）+ ，T=π，可求得ω，從而可求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）由f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸為 ，可得到： ，從而可求得ω= k+

39、 ，又0＜ω＜2，從而可求得ω． ========================================================================== 38.已知角α終邊上一點(diǎn)P（4，3 ），求 ． 【答案】解：角α終邊上一點(diǎn)P（4，3 ）， ∴tanα= = ； ∴ = = = =tanα= 【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的化簡求值 【解析】【分析】根據(jù)定義求出tanα的值，再化簡題目中的代數(shù)式并代入求值． ==================================================

40、======================== 39.已知函數(shù)f（x）=4sinxcos（x+ ）+m（x∈R，m為常數(shù)），其最大值為2． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值； （Ⅱ）若f（α）=﹣ （﹣ ＜α＜0），求cos2α的值． 【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=4sinxcos（x+ ）+m（x∈R，m為常數(shù)）， 化簡可得：f（x）=4sinxcosxcos ﹣4sin2xsin +m=sin2x﹣2 sin2x+m =sin2x+ cos2x﹣ +m=2sin（2x+ ）﹣ +m ∵最大值為2． 即2﹣ +m=2， 可得m= ． （Ⅱ）由f（α）=﹣ （﹣ ＜α＜0），

41、即2sin（2α+ ）= ． ∴sin（2α+ ）= ∵﹣ ＜α＜0 ∴ ＜2α+ ＜ ． ∴cos（2α+ ）= ； 那么cos2α=cos[（2α ） ]=cos（2α+ ）cos +sin（2α+ ）sin = 【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象 【解析】【分析】（Ⅰ）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，求出最大值，令其等于2，可得實(shí)數(shù)m的值．（Ⅱ）f（α）=﹣ （﹣ ＜α＜0）帶入計(jì)算，找出等式關(guān)系，利用二倍角公式求解即可． ====================================

42、====================================== 40.如圖，正方形ABCD中邊長為1，P、Q分別為BC、CD上的點(diǎn)，△CPQ周長為2． （1）求PQ的最小值； （2）試探究求∠PAQ是否為定值，若是給出證明；不是說明理由． 【答案】（1）解：設(shè)∠CPQ=θ，則CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ （ ） ∴ ∴ （2）解：分別以AB，AD所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系， 設(shè)Q（x，1），P（1，y），設(shè)∠DAQ=α，∠PAB=β ∴ ，即xy+（x+y）=1 又tanα=x，tanβ=y ∴ ， ∴

43、∴ 【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)，兩角和與差的正切函數(shù)，正弦函數(shù)的定義域和值域 【解析】【分析】（1）根據(jù)△CPQ周長為2，并且△CPQ是直角三角形，設(shè)∠CPQ=θ，根據(jù)三角函數(shù)的定義，CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ，因此可以表示出 ，求該函數(shù)的最小值即可；（2）利用解析法求解：分別以AB，AD所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)Q（x，1），P（1，y），利用兩點(diǎn)間距離公式求出PQ，根據(jù)△CPQ周長為2，找出x，y的關(guān)系，求出∠PAQ的正切值，即可求得結(jié)果． =====================================================

44、===================== 41.已知向量v=（sinx，1）， =（sinx，cosx+1） （I）若 ∥ ，求所有滿足條件的向量 、 的坐標(biāo)； （II）若函數(shù)f（x）= ? ，x∈[﹣ ， ]，求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時(shí)的x值． 【答案】解：（I）由 ∥ ，得sinx（cosx+1）=sinx， ∴sinxcosx=0，又sin2x+cosx2=1， 解得 或 所以滿足條件的向量 ， 有 =（0，1）， =（0，2）或 =（0，1）， =（0，0）或 =（1，1）， =（1，1）或 =（﹣1，1）， =（﹣1，2） （II）函數(shù)f（x

45、）= ? =sin2x+cosx+1=﹣cos2x+cosx+2， ∵x∈[﹣ ， ]， ∴cosx∈[0，1]， 令cosx=t，則f（x）的解析式可化為f（t）=﹣t2+t+2=﹣（t﹣ ）2+ ，t∈[0，1]， 故當(dāng)t= ，即x= 時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，最大值為 【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)向量平行得到sinx（cosx+1）=sinx，再根據(jù)又sin2x+cosx2=1，解得sinx，cosx，即可得到所有滿足條件的向量 、 的坐標(biāo)，（Ⅱ）根據(jù)向量的數(shù)量積公式，和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，利用換元法，根據(jù)二次

46、函數(shù)的性質(zhì)即可求出． ========================================================================== 42.已知cosα= ，cos（α﹣β）= ，且0＜β＜α＜ ， （1）求tan2α的值； （2）求β． 【答案】（1）解：由 ，得 ∴ ，于是 （2）解：由0＜β＜α＜ ，得 ， 又∵ ，∴ 由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）= 所以 ． 【考點(diǎn)】三角函數(shù)值的符號(hào)，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)

47、用，兩角和與差的余弦函數(shù) 【解析】【分析】（1）欲求tan2α的值，由二倍角公式知，只須求tanα，欲求tanα，由同角公式知，只須求出sinα即可，故先由題中cosα的求出sinα 即可；（2）欲求角，可通過求其三角函數(shù)值結(jié)合角的范圍得到，這里將角β配成β=α﹣（α﹣β），利用三角函數(shù)的差角公式求解． ========================================================================== 43.化簡： 【答案】解： = =2． 【考點(diǎn)】誘導(dǎo)公式的作用 【解析】【分析】直接利用誘導(dǎo)公式化簡，即可求出表

48、達(dá)式的值即可． ========================================================================== 三、填空題（共7題；） ========================================================================== 44.已知 ， ，則 ________． 【答案】 【考點(diǎn)】三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值 【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，又∵ ，∴ ， ∴ . 【分析】由題根據(jù)所給條件，運(yùn)用差角公式展開，兩邊平方，

49、結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及所給角的分計(jì)算即可. ========================================================================== 45.△ABC中，若 sin（π-A）=， tan（π+B）=，則cosC ________． 【答案】 【考點(diǎn)】兩角和與差的余弦函數(shù) 【解析】【解答】由 sin（π-A）=得sinA= ，由 tan（π+B）=得tanB= ，所以B為銳角，且 sinB=，cosB=，又sinA＜sinB 。所以 也為銳角cosA= ，故cosC=-cos（A+B）=-cosA+sin

50、AsinB= . 【分析】由題根據(jù)所給條件結(jié)合角的范圍分別計(jì)算其對(duì)應(yīng)的正弦、余弦，然后根據(jù)角的范圍得到對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)運(yùn)用和角公式計(jì)算即可. ========================================================================== 46.化簡 ________ ． 【答案】 【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)，二倍角的正弦 【解析】【解答】 ． 【分析】整理化簡原有的函數(shù)式利用兩角和差的正弦函數(shù)公式以及二倍角的正弦公式代入化簡即可得出結(jié)果。 =====================

51、===================================================== 47.已知 ，且 ，則 ________. 【答案】 【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的正切 【解析】【解答】因?yàn)?，且 ， 所以 ， . 【分析】根據(jù)題意借助同角三角函數(shù)的關(guān)系式求出正弦值，再結(jié)合二倍角的正切公式代入數(shù)值求出結(jié)果即可。 ========================================================================== 48.計(jì)算： =________． 【答案】1 【

52、考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值，兩角和與差的正切函數(shù) 【解析】【解答】解：∵tan60= ， ∴ = =tan（60﹣15） =tan45 =1． 故答案為：1． 【分析】由tan60= ，利用兩角差的正切公式，即可求出答案來． ========================================================================== 49.已知 ，且 ，則 的值為________． 【答案】 【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)，二倍角的正弦 【解析】【解答】 ，由 ，平方得 ，得 ， ， 由于 ， ，代入得 .

53、 【分析】根據(jù)題意利用二倍角的余弦公式以及兩角和差的正弦公式整理原式化簡，再把原有的代數(shù)式兩邊平方結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sin 2 α，進(jìn)而得到sinα+cosα的值。 ========================================================================== 50.已知sin（ +x）= ，則sin2x的值為________． 【答案】﹣ 【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦函數(shù)，二倍角的正弦 【解析】【解答】解：∵sin（ +x）=sin cosx+cos sinx= （sinx+cosx）= ， ∴sinx+cosx= ， 兩邊平方得：（sinx+cosx）2=1+sin2x= ， 解得：sin2x=﹣ ． 故答案為：﹣ 【分析】已知等式左邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，求出sinx+cosx的值，兩邊平方并利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡即可求出sin2x值． Page 24 / 24