《任意角和弧度制》教學(xué)課件（3）

《《任意角和弧度制》教學(xué)課件（3）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《任意角和弧度制》教學(xué)課件（3）（39頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、任 意 角 和 弧 度 制 1.角 的 概 念初 中 是 如 何 定 義 角 的 ？ 從 一 個(gè) 點(diǎn) 出 發(fā) 引 出 的 兩 條 射 線 構(gòu) 成 的 幾何 圖 形 . 這 種 概 念 的 優(yōu) 點(diǎn) 是 形 象 、 直 觀 、 容 易 理解 ， 但 它 是 從 圖 形 形 狀 來 定 義 角 ， 因 此 角 的范 圍 是 0, 360)， 這 種 定 義 稱 為 靜 態(tài) 定 義 ， 其 弊 端 在 于“ 狹 隘 ” . 生 活 中 很 多 實(shí) 例 會 不 在 該 范 圍 。 體 操 運(yùn) 動(dòng) 員 轉(zhuǎn) 體 720， 跳 水 運(yùn) 動(dòng) 員 向 內(nèi) 、向 外 轉(zhuǎn) 體 1080； 經(jīng) 過 1小 時(shí) ， 時(shí) 針

2、 、 分 針 、 秒 針 各 轉(zhuǎn) 了 多少 度 ？ 這 些 例 子 不 僅 不 在 范 圍 0, 360) ， 而 且方 向 不 同 ， 有 必 要 將 角 的 概 念 推 廣 到 任 意 角 ， 想 想 用 什 么 辦 法 才 能 推 廣 到 任 意 角 ？ 關(guān) 鍵 是 用 運(yùn) 動(dòng) 的 觀 點(diǎn) 來 看 待 角 的 變 化 。 2 角 的 概 念 的 推 廣 “ 旋 轉(zhuǎn) ” 形 成 角 一 條 射 線 由 原 來 的 位 置 OA，繞 著 它 的 端 點(diǎn) O按 逆 時(shí) 針 方 向旋 轉(zhuǎn) 到 另 一 位 置 OB， 就 形 成 角 旋 轉(zhuǎn) 開 始 時(shí) 的 射 線 OA叫 做角 的 始 邊 ， 旋

3、 轉(zhuǎn) 終 止 的 射 線OB叫 做 角 的 終 邊 ， 射 線 的 端點(diǎn) O叫 做 角 的 頂 點(diǎn) “ 正 角 ” 與 “ 負(fù) 角 ” 、 “ 0角 ” 我 們 把 按 逆 時(shí) 針 方 向 旋 轉(zhuǎn) 所 形 成 的 角 叫 做正 角 ， 把 按 順 時(shí) 針 方 向 旋 轉(zhuǎn) 所 形 成 的 角 叫 做負(fù) 角 ， 如 圖 ， 以 OA為 始 邊 的 角 =210 ， = 150 ， =660 ， 特 別 地 ， 當(dāng) 一 條 射 線 沒 有 作 任 何 旋 轉(zhuǎn) 時(shí) ，我 們 也 認(rèn) 為 這 時(shí) 形 成 了 一 個(gè) 角 ， 并 把 這 個(gè) 角叫 做 零 度 角 （ 0） 角 的 記 法 ： 角 或 可

4、以 簡 記 成 . 角 的 概 念 擴(kuò) 展 的 意 義 ：用 “ 旋 轉(zhuǎn) ” 定 義 角 之 后 ， 角 的 范 圍 大 大 地 擴(kuò) 大了 角 有 正 負(fù) 之 分 ; 如 ： =210, = 150, =660. 角 可 以 任 意 大 ; 實(shí) 例 ： 體 操 動(dòng) 作 ： 旋 轉(zhuǎn) 2周 （ 360 2=720） 3周 （ 360 3=1080） 還 有 零 角 , 一 條 射 線 ， 沒 有 旋 轉(zhuǎn) . 角 的 概 念 推 廣 以 后 ， 它 包 括 任 意 大 小 的 正角 、 負(fù) 角 和 零 角 要 注 意 ， 正 角 和 負(fù) 角 是 表 示 具 有 相 反 意 義的 旋 轉(zhuǎn) 量 ， 它

5、的 正 負(fù) 規(guī) 定 純 屬 于 習(xí) 慣 ， 就 好 象與 正 數(shù) 、 負(fù) 數(shù) 的 規(guī) 定 一 樣 ， 零 角 無 正 負(fù) ， 就 好象 數(shù) 零 無 正 負(fù) 一 樣 用 旋 轉(zhuǎn) 來 描 述 角 ， 需 要 注 意 三 個(gè) 要 素 （ 旋轉(zhuǎn) 中 心 、 旋 轉(zhuǎn) 方 向 和 旋 轉(zhuǎn) 量 ） （ 2） 旋 轉(zhuǎn) 方 向 ： 旋 轉(zhuǎn) 變 換 的 方 向 分 為 逆 時(shí) 針和 順 時(shí) 針 兩 種 ， 這 是 一 對 意 義 相 反 的 量 ，根 據(jù) 以 往 的 經(jīng) 驗(yàn) ， 我 們 可 以 把 一 對 意 義 相反 的 量 用 正 負(fù) 數(shù) 來 表 示 ， 那 么 許 多 問 題 就可 以 解 決 了 ；（ 1

6、） 旋 轉(zhuǎn) 中 心 ： 作 為 角 的 頂 點(diǎn) . （ 3） 旋 轉(zhuǎn) 量 ： 當(dāng) 旋 轉(zhuǎn) 超 過 一 周 時(shí) ， 旋 轉(zhuǎn) 量 即 超 過 360，角 度 的 絕 對 值 可 大 于 360 .于 是 就 會 出 現(xiàn)720 ， 540等 角 度 . 3 “ 象 限 角 ” 為 了 研 究 方 便 ， 我 們 往 往 在 平 面 直 角 坐 標(biāo)系 中 來 討 論 角 。 角 的 頂 點(diǎn) 重 合 于 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) ， 角 的 始 邊 重 合于 x軸 的 正 半 軸 ， 這 樣 一 來 ， 角 的 終 邊 落 在 第 幾象 限 ， 我 們 就 說 這 個(gè) 角 是 第 幾 象 限 的 角 （ 角 的終

7、 邊 落 在 坐 標(biāo) 軸 上 ， 則 此 角 不 屬 于 任 何 一 個(gè) 象限 ） 例 如 ： 30、 390、 330是 第 象 限 角 ， 300、 60是 第 象 限 角 ， 585、 1300是 第 象 限 角 ， 135 、 2000是 第 象 限 角 等 4 終 邊 相 同 的 角 觀 察 ： 390， 330角 ， 它 們 的 終 邊 都 與30角 的 終 邊 相 同 . 探 究 ： 終 邊 相 同 的 角 都 可 以 表 示 成 一 個(gè) 0到360的 角 與 k(k Z)個(gè) 周 角 的 和 ： 390=30+360(k=1), 330=30360 (k= 1) 30=30+0

8、360 (k=0), 1470=30+4 360(k=4) 1770=305 360 (k= 5) 結(jié) 論 ： 所 有 與 終 邊 相 同 的 角 連 同 在 內(nèi) 可 以 構(gòu)成 一 個(gè) 集 合 ： | =+k360(k Z) 即 ： 任 何 一 個(gè) 與 角 終 邊 相 同 的 角 ， 都 可以 表 示 成 角 與 整 數(shù) 個(gè) 周 角 的 和 注 意 以 下 四 點(diǎn) ： k Z； 是 任 意 角 ； k360與 之 間 是 “ +”號 ， 如 k360 30,應(yīng)看 成 k360+( 30)； 終 邊 相 同 的 角 不 一 定 相 等 ， 但 相 等 的 角 ， 終邊 一 定 相 同 ， 終 邊

9、 相 同 的 角 有 無 數(shù) 多 個(gè) ， 它 們相 差 360的 整 數(shù) 倍 . 例 1. 在 0到 360范 圍 內(nèi) ， 找 出 與 下 列 各 角 終 邊相 同 的 角 ， 并 判 斷 它 是 哪 個(gè) 象 限 的 角 .(1) 120； (2) 640； (3) 95012.解 ： 120= 360+240， 240的 角 與 120的 角 終 邊 相 同 ， 它 是 第 三 象 限 角 640=360+280， 280的 角 與 640的 角 終 邊 相 同 ， 它 是 第 四 象 限 角 95012= 3 360+12948， 12948的 角 與 95012的 角 終 邊 相 同 ，

10、 它 是 第 二 象 限 角 例 2. 寫 出 與 下 列 各 角 終 邊 相 同 的 角 的 集 合 S，并 把 S中 在 360720間 的 角 寫 出 來 ： (1) 60； (2) 21； (3) 36314.解 ： (1) S=| =k360+60 (k Z) , S中 在 360 720間 的 角 是 1 360+60= 280； 0 360+60=60； 1 360+60=420 (2) S=| =k360 21 (k Z) S中 在 360 720間 的 角 是 0 360 21= 21； 1 360 21=339； 2 360 21=699(3) | =k360+ 36314

11、 (k Z) S中 在 360 720間 的 角 是 2 360+36314= 35646； 1 360+36314=314； 0 360+36314=36314 2 已 知 角 的 頂 點(diǎn) 與 坐 標(biāo) 系 原 點(diǎn) 重 合 ， 始 邊落 在 x軸 的 正 半 軸 上 ， 作 出 下 列 各 角 ， 并 指出 它 們 是 哪 個(gè) 象 限 的 角 ？(1)420， (2) 75， (3)855， (4) 510 答 ： (1)第 一 象 限 角 ； (2)第 四 象 限 角 ， (3)第 二 象 限 角 ， (4)第 三 象 限 角 . 二 、 弧 度 制 在 初 中 幾 何 里 ， 我 們 學(xué)

12、習(xí) 過 角 的 度 量 ， 1度 的 角 是 怎 樣 定 義的 呢 ？ 周 角 的 為 1度 的 角 。 1360 這 種 用 1角 作 單 位 來 度 量 角 的 制 度 叫 做角 度 制 ， 今 天 我 們 來 學(xué) 習(xí) 另 一 種 在 數(shù) 學(xué) 和 其他 學(xué) 科 中 常 用 的 度 量 角 的 制 度 弧 度 制 。 1. 圓 心 角 、 弧 長 和 半 徑 之 間 的 關(guān) 系 ： 角 是 由 射 線 繞 它 的 端 點(diǎn) 旋 轉(zhuǎn) 而 成 的 ， 在 旋轉(zhuǎn) 的 過 程 中 射 線 上 的 點(diǎn) 必 然 形 成 一 條 圓 弧 ， 不 同 的 點(diǎn) 所 形 成 的 圓 弧 的 長 度 是 不 同 的

13、 ， 但 都 對 應(yīng) 同 一 個(gè) 圓 心 角 。 AB A Br r =定 值 ， 設(shè) =n， 弧 長 為 l， 半 徑 OA為 r，則 ，可 以 看 出 ， 等 式 右 端 不 含半 徑 ， 表 示 弧 長 與 半 徑 的比 值 跟 半 徑 無 關(guān) ， 只 與 的大 小 有 關(guān) 。 AB2 2,360 360r ll n nr 結(jié) 論 ： 可 以 用 圓 的 半 徑 作 單 位 去 度 量 角 。2.定 義 ：長 度 等 于 半 徑 長 的 圓 弧 所 對 的 圓 心 角 叫 做 1弧度 的 角 ， 弧 度 記 作 rad。 這 種 以 弧 度 為 單 位 來度 量 角 的 制 度 叫 做

14、弧 度 制 。 注 ： 今 后 在 用 弧 度 制 表 示 角 的 時(shí) 候 ， 弧 度 二 字或 rad可 以 略 去 不 寫 。 3. 弧 度 制 與 角 度 制 相 比 ：(1) 弧 度 制 是 以 “ 弧 度 ” 為 單 位 的 度 量 角 的單 位 制 ， 角 度 制 是 以 “ 度 ” 為 單 位 來 度 量 角的 單 位 制 ； 1弧 度 1； （ 2） 1弧 度 是 弧 長 等 于 半 徑 長 的 圓 弧 所 對 的 圓心 角 的 大 小 ， 而 1度 是 圓 周 的 所 對 的 圓 心角 的 大 小 ； 1360 （ 3） 弧 度 制 是 十 進(jìn) 制 ， 它 的 表 示 是 用

15、 一 個(gè) 實(shí)數(shù) 表 示 ， 而 角 度 制 是 六 十 進(jìn) 制 ； （ 4） 以 弧 度 和 度 為 單 位 的 角 ， 都 是 一 個(gè) 與半 徑 無 關(guān) 的 定 值 。 4.公 式 ： ， 表 示 的 是 在 半 徑 為 r的 圓 中 ， 弧 長 為 l的弧 所 對 的 圓 心 角 是 rad。lr 5. 弧 度 制 與 角 度 制 的 換 算 用 角 度 制 和 弧 度 制 度 量 角 ， 零 角 既 是 0角 ， 又 是 0 rad角 ， 同 一 個(gè) 非 零 角 的 度 數(shù) 和弧 度 數(shù) 是 不 同 的 . 平 角 、 周 角 的 弧 度 數(shù) ：平 角 = rad、 周 角 =2 rad

16、. 正 角 的 弧 度 數(shù) 是 正 數(shù) ， 負(fù) 角 的 弧 度 數(shù) 是負(fù) 數(shù) ， 零 角 的 弧 度 數(shù) 是 0. 角 的 弧 度 數(shù) 的 絕 對 值 : （ l為 弧 長 ， r為 半 徑 ） rl 360=2 rad ， 180= rad 1= rad 0.01745rad180 180 57.30 57 18 1 rad 6. 用 弧 度 制 表 示 弧 長 及 扇 形 面 積 公 式 ： 弧 長 等 于 弧 所 對 的 圓 心 角 （ 的 弧 度 數(shù) ）的 絕 對 值 與 半 徑 的 積 . 弧 長 公 式 ： rl由 公 式 ： rl rl比 公 式 簡 單 .180rnl 扇 形

17、面 積 公 式 lRS 21其 中 l是 扇 形 弧 長 ， R是 圓 的 半 徑 。證 明 ： 設(shè) 扇 形 所 對 的 圓 心 角 為 n(rad)， 則 2 21360 2nS R R 又 R=l， 所 以 lRS 21 證 明 2： 因 為 圓 心 角 為 1 rad的 扇 形 面 積 是2 212 2R R 而 弧 長 為 l的 扇 形 的 圓 心 角 的 大 小 是 rad.lR所 以 它 的 面 積 是 lRS 21 例 3. （ 1) 把 11230化 成 弧 度 (精 確 到 0.001)； （ 2） 把 11230化 成 弧 度 （ 用 表 示 ） 。解 ： （ 1） 112

18、30=112.5，1 0.0175180 所 以 11230112.5 0.01751.969rad.(2) 11230=112.5 = .180 58 例 4. 把 化 成 度 。8585 8 180( )5 288 解 ： 1rad= 180( ) 例 5. 填 寫 下 表 ：角 度 0 30 45 60 90 120弧 度角 度 135 150 180 210 225 240弧 度角 度 270 300 315 330 360弧 度 0 26 4 3 2 2334 56 32 例 6. 扇 形 AOB中 ， 所 對 的 圓 心 角 是 60，半 徑 是 50米 ， 求 的 長 l（ 精

19、確 到 0.1米 ） 。 ABAB解 ： 因 為 60= ,所 以3l=r= 5052.5 .3答 ： 的 長 約 為 52.5米 .AB 例 7. 在 半 徑 為 R的 圓 中 ， 240的 中 心 角 所 對 的弧 長 為 ， 面 積 為 2R2的 扇 形 的中 心 角 等 于 弧 度 。解 ： （ 1） 240= ， 根 據(jù) l=R， 得4343l R（ 2） 根 據(jù) S= lR= R2， 且 S=2R2. 21 21所 以 =4. 例 8.與 角 1825的 終 邊 相 同 ， 且 絕 對 值 最 小的 角 的 度 數(shù) 是 ， 合 弧 度 。 解 ： 1825= 5 360 25， 所 以 與 角 1825的 終 邊 相 同 ， 且 絕 對 值最 小 的 角 是 25.合 5 36 例 9. 已 知 一 半 徑 為 R的 扇 形 ， 它 的 周 長 等 于所 在 圓 的 周 長 ， 那 么 扇 形 的 中 心 角 是 多 少 弧度 ？ 合 多 少 度 ？ 扇 形 的 面 積 是 多 少 ？ 解 ： 周 長 =2R=2R+l， 所 以 l=2( 1)R.所 以 扇 形 的 中 心 角 是 2( 1) rad.合 ( ) 360( 1) 扇 形 面 積 是 2( 1)R