高考數學總復習 第十章 算法初步、復數與選考內容 第4講 幾何證明選講課件 文

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1、第 4 講 幾 何 證 明 選 講 考 綱 要 求 考 情 風 向 標1.了 解 平 行 線 截 割 定 理 ， 會 證 直 角 三角 形 射 影 定 理 .2.會 證 圓 周 角 定 理 、 圓 的 切 線 的 判 定定 理 及 性 質 定 理 .3.會 證 相 交 弦 定 理 、 圓 內 接 四 邊 形 的性 質 定 理 與 判 定 定 理 、 切 割 線 定 理 .4.了 解 平 行 投 影 的 含 義 ， 通 過 圓 柱 與平 面 的 位 置 關 系 了 解 平 行 投 影 ； 會 證平 面 與 圓 柱 面 的 截 線 是 橢 圓 (特 殊 情形 是 圓 ).5.幾 何 證 明 選 講

2、 考 綱 要 求 (5) (8)略 . 從 近 幾 年 的 高 考 試 題 來看 ， 幾 何 證 明 選 講 作 為 選 考內 容 基 本 沒 有 變 化 ， 都 是 二選 一 ， 主 要 考 查 平 行 線 截 割定 理 、 射 影 定 理 、 圓 周 角 定理 、 弦 切 角 定 理 、 相 交 弦 定理 、 切 割 線 定 理 ， 內 容 很 多 ，但 考 試 還 是 側 重 圓 內 的 邊 角運 算 ， 因 此 在 備 考 時 也 應 該有 所 側 重 ！ 1 平 行 線 分 線 段 成 比 例 定 理三 條 平 行 線 截 兩 條 直 線 ， 所 得 對 應 線 段 成 比 例 推

3、論 1： 平 行 于 三 角 形 的 一 邊 的 直 線 截 其 他 兩 邊 (或 兩 邊 的延 長 線 )， 所 得 的 對 應 線 段 成 比 例 推 論 2： 平 行 于 三 角 形 的 一 邊 ， 并 且 和 其 他 兩 邊 相 交 的 直線 ， 所 截 得 的 三 角 形 的 三 邊 與 原 三 角 形 的 三 邊 對 應 成 比 例 2 射 影 定 理 的 結 論直 角 三 角 形 一 條 直 角 邊 的 平 方 等 于 該 直 角 邊 在 斜 邊 上 射 影與 斜 邊 的 乘 積 ， 斜 邊 上 的 高 的 平 方 等 于 兩 條 直 角 邊 在 斜 邊 上 射影 的 乘 積 B

4、DDC在 Rt ABC 中 ， BAC 90 ， AD BC 于 點 D，則 AB2 BDBC； AC2 CDCB； AD2 _.3 相 似 三 角 形 的 判 定 與 性 質(1)相 似 三 角 形 的 判 定 定 理 ： 預 備 定 理 ： 平 行 于 三 角 形 一 邊 的 直 線 與 其 他 兩 邊 (或 兩 邊的 延 長 線 )相 交 ， 所 構 成 的 三 角 形 與 原 三 角 形 相 似 判 定 定 理 1： 兩 角 對 應 相 等 ， 兩 三 角 形 相 似 判 定 定 理 2： 兩 邊 對 應 成 比 例 且 夾 角 相 等 ,兩 三 角 形 相 似 判 定 定 理 3：

5、三 邊 對 應 成 比 例 的 兩 個 三 角 形 相 似 判 定 定 理 4： 如 果 兩 個 直 角 三 角 形 的 斜 邊 和 直 角 邊 對 應成 比 例 ， 那 么 它 們 相 似 (2)相 似 三 角 形 的 性 質 定 理 ：相 似 三 角 形 對 應 高 的 比 、 對 應 中 線 的 比 和 對 應 角 平 分 線 的比 都 等 于 相 似 比 ； 周 長 的 比 等 于 相 似 比 ； 面 積 的 比 等 于 相 似 比的 _平 方4 圓 內 接 四 邊 形 的 性 質 與 判 定(1)圓 內 接 四 邊 形 的 對 角 互 補 (2)圓 內 接 四 邊 形 的 外 角 等

6、 于 它 的 內 角 的 對 角 (3)如 果 四 邊 形 的 對 角 互 補 ,那 么 這 個 四 邊 形 的 四 個 頂 點 共 圓 .5 直 線 與 圓 一 半(1)圓 周 角 定 理 、 圓 心 角 定 理 ： 圓 上 一 條 弧 所 對 的 圓 周 角 等于 它 所 對 的 圓 心 角 的 _ 圓 心 角 的 度 數 等 于 它 所 對 弧 的 度 數 (2)弦 切 角 定 理 ： 弦 切 角 等 于 它 所 夾 的 弧 所 對 的 圓 周 角 (3)相 交 弦 定 理 ： 圓 內 的 兩 條 相 交 弦 ， 被 交 點 分 成 的 兩 條 線段 長 的 積 相 等 (4)切 割 線

7、 定 理 ： 從 圓 外 一 點 引 圓 的 切 線 和 割 線 ， 切 線 長 是這 點 到 割 線 與 圓 交 點 的 兩 條 線 段 長 的 比 例 中 項 10圖 10-4-1 圖 10-4-22 如 圖 10-4-2， DB， DC 是 O 的 兩 條 切 線 ， 點 A 是 圓 上一 點 已 知 D 46 ， 則 BAC _.67 3 (2014 年 廣 東 肇 慶 二 模 )如 圖 10-4-3， ABC 的 外 角 平 分線 AD 交 外 接 圓 于 點 D， BD 4， 則 CD _.4 圖 10-4-4 98a 考 點 1 相 似 三 角 形例 1： (1)(2014 年

8、廣 東 )如 圖 10-4-5， 在 平 行 四 邊 形 ABCD中 ， 點 E 在 AB 上 ， 且 EB 2AE， AC 與 DE 交 于 點 F， 則 CDF 的 周 長 AEF 的 周 長 _.圖 10-4-5 解 析 ： 3 (2)如 圖 10-4-6， 在 梯 形 ABCD 中 ， AB CD， AB 4， CD 2， E， F 分 別 為 AD， BC 上 的 點 ， 且 EF 3， EF AB， 則 梯形 ABFE 與 梯 形 EFCD 的 面 積 比 為 _圖 10-4-6 答 案 ： 75【 規(guī) 律 方 法 】 解 本 題 第 (2)小 題 的 關 鍵 在 于 延 長 AD

9、， BC，交 點 為 P， 從 而 將 我 們 不 太 熟 悉 的 梯 形 轉 化 為 三 角 形 來 解 決 ，反 復 運 用 相 似 三 角 形 的 面 積 之 比 等 于 相 似 比 的 平 方 .證 明 三 角形 相 似 的 主 要 方 法 ： 兩 角 相 等 ； 兩 邊 對 應 成 比 例 ， 且 夾 角相 等 ； 三 邊 對 應 成 比 例 . 【 互 動 探 究 】1 (2013 年 陜 西 )如 圖 10-4-7， AB 與 CD 相 交 于 點 E， 過 E作 BC 的 平 行 線 與 AD 的 延 長 線 相 交 于 點 P.已 知 A C， PD 2DA 2， 則 PE

10、_.圖 10-4-76 考 點 2 與 圓 有 關 的 角例 2： 如 圖 10-4-8， 已 知 點 C 在 圓 O 直 徑 BE 的 延 長 線 上 ，CA 切 圓 O 于 A 點 ， DC 是 ACB 的 平 分 線 并 交 AE 于 點 F、 交AB 于 D 點 ， 求 ADF 的 大 小 圖 10-4-8思 維 點 撥 ： 根 據 直 徑 上 的 圓 周 角 是 直 角 、 弦 切 角 定 理 以 及三 角 形 內 角 和 定 理 等 通 過 角 的 關 系 求 解 解 ： 設 EAC ， 根 據 弦 切 角 定 理 ， ABE . 根 據 三 角 形 外 角 定 理 ， AEC 9

11、0 . 根 據 三 角 形 內 角 和 定 理 ， ACE 90 2. 由 于 CD是 ACB的 內 角 平 分 線 ， 所 以 FCE 45 . 再 根 據 三 角 形 內 角 和 定 理 ， CFE 180 (90 ) (45 ) 45 . 根 據 對 頂 角 定 理 ， AFD 45 . 由 于 DAF 90 ， 所 以 ADF 45 . 【 規(guī) 律 方 法 】 借 用 等 弦 或 等 弧 所 對 的 圓 周 角 相 等 ， 所 對 的圓 心 角 相 等 ， 可 進 行 角 的 等 量 代 換 ； 同 時 也 可 借 在 同 圓 或 等 圓中 ， 相 等 的 圓 周 角 (或 圓 心 角

12、 )所 對 的 弧 相 等 ， 可 進 行 弧 (或 弦 )的 等 量 代 換 . 【 互 動 探 究 】2 如 圖 10-4-9， EB， EC 是 O 的 兩 條 切 線 ， B， C 是 切點 ， A， D 是 O上 兩 點 ， 如 果 E 46 ， DCF 32 ， 則 A的 度 數 是 _. 圖 10-4-9 答 案 ： 99 圖 D43 3 (2012 年 廣 東 廣 州 二 模 )如 圖 10-4-10， O 的 直 徑 AB6， 點 P 是 AB 延 長 線 上 的 一 點 ， 過 點 P 作 O 的 切 線 ， 切 點 為C， 連 接 AC.若 PC 3 ， 則 CPA _.

13、30圖 10-4-10解 析 ： PC 2 PBPA 27 PB(PB 6) PB2 6PB 27 0，得 PB 3.連 接 OC， 在 Rt OPC 中 ， OC 3， OP 6， 則 CPA 30 . 3 考 點 3 與 圓 有 關 的 比 例 線 段例 3： (2014 年 新 課 標 )如 圖 10-4-11， P 是 O 外 一 點 ，PA 是 切 線 ， A 為 切 點 ， 割 線 PBC 與 O 相 交 于 點 B， C， PC2PA ， D 為 PC 的 中 點 ， AD 的 延 長 線 交 O 于 點 E， 證 明 ：(1)BE EC；(2)ADDE 2PB2. 圖 10-4

14、-11 證 明 ： (1)如 圖 10-4-12， 連 接 AB， AC.由 題 設 知 PA PD，故 PAD PDA.因 為 PDA DAC DCA， PAD BAD PAB， DCA PAB，所 以 DAC BAD. 圖 10-4-12因 此 BE EC.(2)由 切 割 線 定 理 ， 得 PA2 PBPC.因 為 PC 2PA， 所 以 PA 2BP.所 以 PD 2PB，所 以 BD PB.所 以 BDDC PB2PB.由 相 交 弦 定 理 ， 得 ADDE BDDC.所 以 ADDE 2PB 2. 【 規(guī) 律 方 法 】 相 交 弦 定 理 為 圓 中 證 明 等 積 式 和

15、有 關 計 算 提供 了 有 力 的 方 法 和 工 具 ， 應 用 時 一 方 面 要 熟 記 定 理 的 等 積 式 的結 構 特 征 ， 另 一 方 面 在 與 定 理 相 關 的 圖 形 不 完 整 時 ， 要 用 輔 助線 補 齊 相 應 部 分 .在 實 際 應 用 中 ， 見 到 圓 的 兩 條 相 交 弦 就 要 想 到相 交 弦 定 理 ； 見 到 圓 的 兩 條 割 線 就 要 想 到 割 線 定 理 ； 見 到 圓 的切 線 和 割 線 就 要 想 到 切 割 線 定 理 . AB2 AC AD mn AB .【 互 動 探 究 】4 (2012 年 廣 東 )如 圖 1

16、0-4-113， 直 線 PB 與 圓 O 相 切 于 點B， D 是 弦 AC 上 的 點 ， PBA DBA.若 AD m， AC n， 則AB _ . 圖 10-4-13 CAB， 得 ABAC ADABmn mn 解 析 ： PBA DBA ACB， BAD CAB BAD 易 錯 、 易 混 、 易 漏 審 題 不 清 造 成 漏 解例 題 ： 過 不 在 O 上 的 一 點 A 作 直 線 交 O 于 B， C， 且ABAC 64， OA 10， 則 O 的 半 徑 等 于 _ 【 失 誤 與 防 范 】 點 A 不 在 O 上 ， 則 點 A 有 可 能 在 圓 外 ，也 有 可 能 在 圓 內 ， 對 于 沒 有 給 出 圖 形 的 問 題 要 認 真 審 題 ， 并 想清 楚 各 種 可 能 ， 本 題 很 容 易 思 維 定 勢 地 認 為 點 A 在 圓 外 而 出 錯 .