《孤立奇點(diǎn)留數(shù)習(xí)題課》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《孤立奇點(diǎn)留數(shù)習(xí)題課（43頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),#,1,一、重點(diǎn)與難點(diǎn),重點(diǎn)：,難點(diǎn)：,留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理,留數(shù)定理在定積分計(jì)算上的應(yīng)用,2,二、內(nèi)容提要,留數(shù),計(jì)算方法,可去奇點(diǎn),孤立奇點(diǎn),極點(diǎn),本性奇點(diǎn),函數(shù)的零點(diǎn)與,極點(diǎn)的關(guān)系,對(duì)數(shù)留數(shù),留數(shù)定理,留數(shù)在定積,分上的應(yīng)用,輻角原理,路西原理,3,1,）,定義,如果,函數(shù),在,不解析,但,在,的某一去心鄰域,內(nèi)處處解析,則稱,為,的孤立奇點(diǎn),.,1.,孤立奇點(diǎn)的概念與分類,孤立奇點(diǎn),奇點(diǎn),2,）,孤立奇點(diǎn)的分類,依據(jù),在其孤立奇點(diǎn),的去心鄰域,內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的情況分為三類,:,i,),可去奇點(diǎn),;,ii,
2、),極點(diǎn),;,iii,),本性奇點(diǎn),.,4,定義,如果洛朗級(jí)數(shù)中不含,的負(fù)冪項(xiàng),那末,孤立奇點(diǎn),稱為,的可去奇點(diǎn),.,i,),可去奇點(diǎn),5,ii,),極點(diǎn),定義,如果洛朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè),的,負(fù)冪項(xiàng),其中關(guān)于,的最高冪為,即,級(jí)極點(diǎn),.,那末孤立奇點(diǎn),稱為函數(shù),的,或?qū)懗?6,極點(diǎn)的判定方法,在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi),其中 在 的鄰域內(nèi)解析,且,的負(fù)冪項(xiàng)為有,的洛朗展開(kāi)式中含有,限項(xiàng),.,(a),由定義判別,(b),由定義的等價(jià)形式判別,(c),利用極限,判斷,.,7,如果洛朗級(jí)數(shù)中含有無(wú)窮多個(gè),那末孤立奇點(diǎn),稱為,的本性奇點(diǎn),.,的負(fù)冪項(xiàng),注意,:,在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi),不存在且不,為,iii,
3、),本性奇點(diǎn),8,i,),零點(diǎn)的定義,不恒等于零的解析函數(shù),如果,能表示成,其中,在,解析且,m,為某一正整數(shù),那末,稱為,的,m,級(jí)零點(diǎn),.,3),函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系,ii,),零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系,如果,是,的,m,級(jí)極點(diǎn),那末,就是,的,m,級(jí)零點(diǎn),.,反過(guò)來(lái)也成立,.,9,2.,留數(shù),記作,定義,如果,的一個(gè)孤立奇點(diǎn),則沿,內(nèi)包含,的,任意一條簡(jiǎn)單閉曲線,C,的積分,的值除,后所得的數(shù)稱為,以,10,1),留數(shù)定理,設(shè)函數(shù),在區(qū)域,D,內(nèi)除有限個(gè)孤,外處處解析,C,是,D,內(nèi)包圍諸奇,點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,那末,立奇點(diǎn),留數(shù)定理將沿封閉曲線,C,積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù),在,C,內(nèi)各孤立
4、奇點(diǎn)處的留數(shù),.,11,(1),如果,為,的可去奇點(diǎn),則,如果 為 的一級(jí)極點(diǎn),那末,a),(2),如果,為,的本性奇點(diǎn),則需將,成洛朗級(jí)數(shù)求,展開(kāi),(3),如果,為,的極點(diǎn),則有如下計(jì)算規(guī)則,2),留數(shù)的計(jì)算方法,12,c),設(shè),及,在,如果,那末,為一級(jí)極點(diǎn),且有,都解析，,如果 為 的 級(jí)極點(diǎn),那末,b,),13,也可定義為,記作,1.,定義,設(shè)函數(shù),在圓環(huán)域,內(nèi)解析,C,為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,那末積分,值為,在,的留數(shù),.,的值與,C,無(wú)關(guān),則稱此定,3),無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù),14,如果函數(shù),在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè),孤立奇點(diǎn),那末,在所有各奇點(diǎn),(,包括,點(diǎn),),的留
5、數(shù)的總和必等于零,.,定理,15,3.,留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用,1,）三角函數(shù)有理式的積分,當(dāng),歷經(jīng)變程,時(shí),z,沿單位圓周,的,正方向繞行一周,.,16,17,2,）無(wú)窮積分,18,3,）混合型無(wú)窮積分,19,特別地,20,4.,對(duì)數(shù)留數(shù),定義,具有下列形式的積分,:,內(nèi)零點(diǎn)的總個(gè)數(shù),P,為,f,(,z,),在,C,內(nèi)極點(diǎn)的總個(gè)數(shù),.,其中,N,為,f,(,z,),在,C,且,C,取正向,.,21,如果,f,(,z,),在簡(jiǎn)單閉曲線,C,上與,C,內(nèi)解析,且在,C,上不等于零,那么,f,(,z,),在,C,內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),等于,乘以當(dāng),z,沿,C,的正向繞行一周,f,(,z,),的輻角的改變
6、量,.,輻角原理,路西定理,22,三、典型例題,解,23,解,24,25,例,2,求函數(shù) 的奇點(diǎn)，并確,定類型,.,解,是奇點(diǎn),.,是二級(jí)極點(diǎn),;,是三級(jí)極點(diǎn),.,26,例,3,證明 是 的六級(jí)極點(diǎn),.,證,27,例,4,求下列各函數(shù)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù),.,解,(1),在 內(nèi),28,解,29,解,為奇點(diǎn),當(dāng) 時(shí) 為一級(jí)極點(diǎn)，,30,31,解,的一級(jí)極點(diǎn)為,32,例,5,計(jì)算積分,為一級(jí)極點(diǎn)，為七級(jí)極點(diǎn),.,解,33,由留數(shù)定理得,34,例,6,解,在 內(nèi),35,36,解,例,7,計(jì)算,37,38,例,8,計(jì)算,解,令,39,極點(diǎn)為：,40,例,9,計(jì)算積分,解,極點(diǎn)為,其中,由留數(shù)定理，有,41,42,例,10,計(jì)算積分,解,在上半平面內(nèi)有一級(jí)極點(diǎn),43,放映結(jié)束，按,Esc,退出,.,
孤立奇點(diǎn)留數(shù)習(xí)題課
