機(jī)器人技術(shù)二、齊次坐標(biāo)變換

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1、齊 次 坐 標(biāo) 變 換主 講 ： 吳 海 彬福 州 大 學(xué) 機(jī) 械 工 程 及 自 動(dòng) 化 學(xué) 院第 二 講 主 要 內(nèi) 容引 言點(diǎn) 的 向 量 表 示單 位 向 量點(diǎn) 和 向 量 的 齊 次 表 示坐 標(biāo) 系 的 位 姿剛 體 的 位 姿平 移 變 換旋 轉(zhuǎn) 變 換一 般 變 換 相 對(duì) 參 考 坐 標(biāo) 系 的 變 換相 對(duì) 自 身 坐 標(biāo) 系 的 變 換 引 言 (Introduction) 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 解 決 的 基 本 問 題 ： 正 向 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 逆 向 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 機(jī) 器 人 機(jī) 構(gòu) 一 個(gè) 自 由 度 情 況 多 個(gè) 自 由 度 情 況 誤 差 的 反 饋 點(diǎn) 、

2、向 量 和 坐 標(biāo) 系 的 傳 統(tǒng) 表 示 坐 標(biāo) 軸 的 定 義kcjbiaP zyx zyxcbaP或kcjbiaP zyx zyxcbaP或 Pzaon Paon PaonT zzz yyyy xxxx非 方 陣 相 乘 結(jié) 果 的 維 數(shù) 發(fā) 生 變 化 點(diǎn) 、 向 量 和 坐 標(biāo) 系 的 齊 次 表 示 在 三 維 向 量 中 加 入 一 比 例 因 子 w； 其 物 理 意 義 是 ， 隨 著 W的 改 變 ， 向 量 的 大 小 會(huì) 發(fā) 生 變 化 ， 而 方 向 不 變 ； W大 于 1， 向 量 的 分 量 變 大 ； W小 于 1， 向 量 的 分 量 變 小 ； 若 W

3、1， 各 分 量 大 小 不 變 ； 若 W 0， 則 表 示 一 個(gè) 無 窮 小 的 向 量 ， 其 方 向 不 變 。 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) zyxcbaP wzyxP wxax wyby wzcz 其 中齊 次 坐 標(biāo) 與 傳 統(tǒng) 坐 標(biāo) 的 關(guān) 系 點(diǎn) 、 向 量 和 坐 標(biāo) 系 的 齊 次 表 示 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 因 此 ， 習(xí) 慣 上 用 W 1表 示 向 量 的 長(zhǎng) 度 ， 用 W 0表 示 向 量 的 方向 ， 而 且 方 向 向 量 一 般 表 示 成 單 位 向 量 的 形 式 。 形 式 如 下 ： 1 zyxcbaP 0 222 222

4、 222 zyx z zyx y zyx x cba c cba b cba aP 例 ： 有 一 向 量 P（ 3， 5， 2） ， 請(qǐng) 按 如下 要 求 表 示 成 矩 陣 形 式 ：1、 比 例 因 子 為 2；2、 表 示 為 方 向 的 單 位 向 量 。 點(diǎn) 、 向 量 和 坐 標(biāo) 系 的 齊 次 表 示 原 點(diǎn) 重 合 情 況坐 標(biāo) 系 的 齊 次 表 示 是 由 坐 標(biāo) 系 的 三 個(gè) 方 向 向 量 和 原 點(diǎn) 位 置齊 次 坐 標(biāo) 組 成 ： 1000 zzzz yyyy xxxx Paon Paon PaonF例 ： 如 圖 所 示 為 F坐 標(biāo) 系 位 于 參 考 坐

5、標(biāo)系 中 （ 3， 5， 7） 的 位 置 ， 它 的 n軸 與 x軸 平 行 ， o軸 相 對(duì) 于 y軸 的 角 度 為 45度 ， a軸相 對(duì) 于 z的 角 度 為 45度 。 請(qǐng) 寫 出 該 坐 標(biāo) 的齊 次 表 達(dá) 形 式 。 點(diǎn) 、 向 量 和 坐 標(biāo) 系 的 齊 次 表 示 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)剛 體 的 表 示 一 個(gè) 剛 體 在 空 間 的 表 示 可 以 這 樣 實(shí) 現(xiàn) ： 通 過 在 它 上 面 固 連 一 個(gè) 坐 標(biāo) 系 ， 再 將 該固 連 的 坐 標(biāo) 系 在 空 間 表 示 出 來 。 由 于 這 個(gè) 坐 標(biāo) 系 一 直 固 連 在 該 剛 體 上 ，

6、所 以 該 剛 體相 對(duì) 于 坐 標(biāo) 系 的 位 姿 是 已 知 的 。 因 此 ， 只 要 這 個(gè) 坐 標(biāo) 系 可 以 在 空 間 表 示 出 來 ， 那 么這 個(gè) 剛 體 相 對(duì) 于 固 定 坐 標(biāo) 系 的 位 姿 也 就 已 知 了 。 由 此 可 知 ， 剛 體 在 參 考 坐 標(biāo) 系 的 表示 與 坐 標(biāo) 系 是 完 全 一 樣 的 。 1000 zzzz yyyy xxxxobject Paon Paon PaonF 圖 約 束 變 量點(diǎn) 、 向 量 和 坐 標(biāo) 系 的 齊 次 表 示 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)由 剛 體 （ 坐 標(biāo) 系 ） 在 參 考 坐 標(biāo) 系 的 齊

7、 次 矩 陣 表 達(dá) 可 知 ， 該 矩陣 有 12個(gè) 變 量 ， 但 描 述 剛 體 位 姿 只 需 要 6個(gè) 變 量 （ 自 由 度 ） 就足 夠 了 ， 因 此 ， 齊 次 矩 陣 中 12個(gè) 變 量 之 間 并 不 是 相 互 獨(dú) 立 的 ，而 是 有 約 束 的 ， 約 束 條 件 為 ：1、 三 個(gè) 方 向 向 量 相 互 垂 直 ；2、 每 個(gè) 單 位 向 量 的 長(zhǎng) 度 均 為 1。 即 ： 0on 0an 0oa1n 1o 1a 已 知 兩 個(gè) 向 量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向 量 的 點(diǎn) 積 是 標(biāo) 量

8、。 用 “ ”來 定 義 向 量 點(diǎn) 積 ， 即 a b = ax bx + ay by + az bz 向 量 的 叉 積 是 一 個(gè) 垂 直 于 由 叉 積 的 兩 個(gè) 向 量 構(gòu) 成 的 平 面 的 向 量 。用 “ ”表 示 叉 積 ， 即 a b = ( a y bz az by ) i + ( az bx ax bz ) j + ( ax by ay bx ) k 可 用 行 列 式 表 示 為 i j k a b = ax ay az bx by bz 例 題 點(diǎn) 、 向 量 和 坐 標(biāo) 系 的 齊 次 表 示 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)對(duì) 于 下 列 坐 標(biāo) 系 ， 求

9、 解 所 缺 元 素 的 值 ， 并 用 矩 陣 來 表 示 這 個(gè) 坐 標(biāo) 系 。 1000 20? 3?707.0 5?0?F kajaiaooo nnn kji zyxzyx zyx aon 注 ： 三 個(gè) 點(diǎn) 積 約 束 條 件 可 以 用 叉 積 代 替 ， 即 ：進(jìn) 一 步 有 齊 次 變 換 矩 陣 變 換 定 義 為 空 間 的 一 個(gè) 運(yùn) 動(dòng) ； 當(dāng) 空 間 的 一 個(gè) 坐 標(biāo) 系 （ 向 量 、 剛 體 、 運(yùn) 動(dòng) 坐標(biāo) 系 ） 相 對(duì) 于 固 定 的 參 考 坐 標(biāo) 系 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) ， 這一 運(yùn) 動(dòng) 可 以 用 類 似 于 表 示 坐 標(biāo) 系 的 方 式 來 表示 ； 變

10、 換 有 如 下 幾 種 形 式 ： 純 平 移 ， 純 旋 轉(zhuǎn) ， 平 移 和 旋 轉(zhuǎn) 的 結(jié) 合 。 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 純 平 移 齊 次 變 換 矩 陣 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)特 點(diǎn) ： 運(yùn) 動(dòng) 過 程 中 姿 態(tài) 不 變 ， 坐 標(biāo) 方 向 單 位 向 量 保 持 同 一 方 向 不 變 。),(1000 100 010 001 zyxzyx dddTransdddT 變 換 矩 陣 可 表 示 為 100010001000 100 010 001 zzzzz yyyyy xxxxxzzzz yyyy xxxxzyxnew dPaon dPaon dPao

11、nPaon Paon PaondddF變 換 過 程 為 ：注 ： 相 對(duì) 固 定 坐 標(biāo) 系 的 平 移 ， 變 換 矩 陣左 乘 ， 公 式 為 oldzyxnew FdddTransF ),( 例 純 旋 轉(zhuǎn) (相 對(duì) 坐 標(biāo) 繞 參 考 坐 標(biāo) X軸 ）齊 次 變 換 矩 陣 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)nx PP sincos21 aoy PPllP cossin43 aoz PPllP aonzyx PPPPPP cossin0 sincos0 001 例 必 須 從 原 點(diǎn) 開 始 變 換 ！ 純 旋 轉(zhuǎn) 齊 次 變 換 矩 陣 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)noaxy

12、z PxRotP ),( cossin0 sincos0 001),(xRot cos0sin 010 sin0cos),(yRot 100 0cossin 0sincos),( zRot也 就 相 當(dāng) 于 旋 轉(zhuǎn) 變 換 前 在 固 定 參 考 坐 標(biāo) 系 的 初 始 位 置 。式 中 noaP PTP RRUU 圖 、 例注 ： 相 對(duì) 固 定 坐 標(biāo) 系 的 旋 轉(zhuǎn) ， 變 換 矩 陣 左 乘 ， 公 式 為繞 x軸 旋 轉(zhuǎn) 可 簡(jiǎn) 寫 成其 中 同 理 純 旋 轉(zhuǎn) 例 題齊 次 變 換 矩 陣 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)旋 轉(zhuǎn) 坐 標(biāo) 系 中 有 一 點(diǎn) P（ 2， 3， 4）

13、 ， 此 坐 標(biāo) 系 繞 參 考 坐 標(biāo) 系 x軸 旋 轉(zhuǎn) 90度 。 求 旋 轉(zhuǎn) 后 該 點(diǎn) 相 對(duì) 于 參 考 坐 標(biāo) 系 的 坐 標(biāo) 。 復(fù) 合 變 換 齊 次 變 換 矩 陣 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)特 點(diǎn) ： 既 有 平 移 ， 又 有 旋 轉(zhuǎn) ， 而 且 可 以 多 次 。假 設(shè) 坐 標(biāo) 系 （ n， o， a） 相 對(duì) 于 參 考 坐 標(biāo) 系 （ x， y， z） 依 次 進(jìn) 行 如 下 變 換 ：1、 繞 x軸 旋 轉(zhuǎn) 角 ；2、 平 移 ；3、 再 繞 y軸 旋 轉(zhuǎn) 角 。 321 lll noaxyz PxRotlllTransyRotP ),(),(),( 32

14、1 注 ： 矩 陣 的 順 序 不 能 變 ； 相 對(duì) 固 定 坐 標(biāo) 系 的 平 移 和 旋 轉(zhuǎn) ， 變 換 矩 陣 左 乘 。 例 復(fù) 合 變 換 例 題 齊 次 變 換 矩 陣 相 對(duì) 坐 標(biāo) 系 的 齊 次 矩 陣固 連 在 坐 標(biāo) 系 （ n， o， a） 上 的 點(diǎn) P（ 7， 3， 2） 經(jīng) 歷 如 下 變 換 ， 求 出 變換 后 該 點(diǎn) 相 對(duì) 于 參 考 坐 標(biāo) 系 的 坐 標(biāo) 。1、 繞 z軸 旋 轉(zhuǎn) 90度 ；2、 接 著 繞 y軸 旋 轉(zhuǎn) 90度 ；3、 接 著 再 平 移 （ 4， -3， 7） 。 復(fù) 合 變 換 例 題 齊 次 變 換 矩 陣 第 二 章 機(jī) 器

15、 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)假 設(shè) （ n， o， a） 坐 標(biāo) 系 上 的 點(diǎn) P（ 7， 3， 2） 也 經(jīng) 歷 相 同 變 換 ， 但 變 換 順 序 按 如 下進(jìn) 行 ， 求 出 變 換 后 該 點(diǎn) 相 對(duì) 于 參 考 坐 標(biāo) 系 的 坐 標(biāo) 。1、 繞 z軸 旋 轉(zhuǎn) 90度 ；2、 接 著 平 移 （ 4， -3， 7） ；3、 接 著 再 繞 y軸 旋 轉(zhuǎn) 90度 。 相 對(duì) 動(dòng) 坐 標(biāo) 系 的 變 換齊 次 變 換 矩 陣 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)相 對(duì) 運(yùn) 動(dòng) 坐 標(biāo) 系 的 變 換 與 相 對(duì) 固 定 參 考 坐 標(biāo) 系 不 同 ， 這 時(shí) 需要 右 乘 變 換 矩 陣 而 不

16、 是 左 乘 。相 對(duì) 自 身 的 運(yùn) 動(dòng) 即 是 相 對(duì) 動(dòng) 坐 標(biāo) 。相 對(duì) 動(dòng) 坐 標(biāo) 是 指 動(dòng) 坐 標(biāo) 系 本 身 相 對(duì) 自 身 的 運(yùn) 動(dòng) ， 而 不 是 動(dòng) 坐標(biāo) 系 中 的 點(diǎn) 相 對(duì) 動(dòng) 坐 標(biāo) 系 的 運(yùn) 動(dòng) 。如 果 在 一 個(gè) 變 換 過 程 中 ， 既 有 相 對(duì) 固 定 坐 標(biāo) 系 的 變 換 ， 也 有相 對(duì) 于 動(dòng) 坐 標(biāo) 系 的 變 換 ， 則 應(yīng) 先 寫 出 第 一 個(gè) 變 換 因 子 ， 在 根 據(jù)變 換 的 具 體 過 程 ， 依 次 左 乘 或 右 乘 變 換 因 子 ， 最 后 乘 以 被 變 換的 對(duì) 象 （ 點(diǎn) 或 坐 標(biāo) ） 。 相 對(duì) 動(dòng)

17、坐 標(biāo) 系 的 變 換 例 題齊 次 變 換 矩 陣 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)假 設(shè) 與 上 例 相 同 的 點(diǎn) 現(xiàn) 在 進(jìn) 行 相 同 的 變 換 ， 但 所 有 變 換 都 是 相 對(duì) 當(dāng) 前 運(yùn) 動(dòng) 坐 標(biāo)系 的 ， 具 體 變 換 如 下 ， 求 變 換 完 成 后 該 點(diǎn) 相 對(duì) 于 參 考 坐 標(biāo) 系 的 坐 標(biāo) 。1、 繞 a軸 旋 轉(zhuǎn) 90度 ；2、 然 后 沿 n、 o、 a軸 平 移 （ 4， -3， 7） ；3、 接 著 繞 o軸 旋 轉(zhuǎn) 90度 。 相 對(duì) 動(dòng) 坐 標(biāo) 系 的 變 換 例 題齊 次 變 換 矩 陣 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)坐 標(biāo) 系

18、B繞 x軸 旋 轉(zhuǎn) 90度 ， 然 后 沿 當(dāng) 前 坐 標(biāo) 系 a軸 做 了 3英 寸的 平 移 ， 然 后 再 繞 z軸 旋 轉(zhuǎn) 90度 ， 最 后 沿 當(dāng) 前 坐 標(biāo) 系 o軸 做 5英 寸 的 平 移 。1、 寫 出 描 述 該 運(yùn) 動(dòng) 的 方 程 ；2、 求 坐 標(biāo) 系 中 的 點(diǎn) P（ 1， 5， 4） 相 對(duì) 于 參 考 坐 標(biāo) 系 的 最 終位 置 。提 示 ： 先 求 ， 再 求 BUT PTP BBUU 變 換 矩 陣 的 逆 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)鉆 孔 點(diǎn) 位 置 的 描 述 ： EPPUEHHRRUEU TTTTTT 式 中 ： 只 有 是 未 知 的 ，

19、其 它 都 可 以 通 過 傳 感 器 獲 得 ， 或本 身 就 是 已 知 的 。 因 此 ， 通 過 求 逆 陣 就 可 以 求 得 。HRT HRT 求 矩 陣 逆 例 題變 換 矩 陣 的 逆 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)在 一 個(gè) 具 有 六 自 由 度 的 機(jī) 器 人 的 第 五 個(gè) 連 桿 上 裝 有 照 相 機(jī) ，照 相 機(jī) 觀 察 物 體 并 測(cè) 定 它 相 對(duì) 于 照 相 機(jī) 坐 標(biāo) 系 的 位 置 ， 然后 根 據(jù) 以 下 數(shù) 據(jù) 來 確 定 末 端 執(zhí) 行 器 要 到 達(dá) 物 體 所 必 須 完 成的 運(yùn) 動(dòng) 。 1000 5001 0010 31005 camT

20、 1000 4100 0001 00105 HT 1000 4010 2001 2100objcamT 1000 3100 0010 0001EHT objcamcamRobjEEHHR TTTTTTT 5555 objET提 示 ： 根 據(jù) 求 ， 這 可 以 用 于 測(cè) 距 變 換 矩 陣 的 逆求 逆 陣 的 步 驟 ： 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)1、 計(jì) 算 矩 陣 的 行 列 式 ；2、 將 矩 陣 轉(zhuǎn) 置 ；3、 將 轉(zhuǎn) 置 矩 陣 的 每 個(gè) 元 素 用 它 的 子 行 列 式 （ 伴 隨 矩 陣 ） 代 替 ；4、 用 轉(zhuǎn) 換 后 的 矩 陣 除 以 行 列 式AAA

21、*1 即 cossin0 sincos0 001),(xRot例 ： 求 的 逆 陣 。滿 足 TAA 1 的 矩 陣 稱 為 酉 矩 陣 。 齊 次 矩 陣 的 逆變 換 矩 陣 的 逆 第 二 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 對(duì) 于 4X4齊 次 變 換 矩 陣 ， 可 以 將 矩 陣 分 成 兩 部 分 求 逆 。其 旋 轉(zhuǎn) 部 分 仍 是 酉 矩 陣 ， 只 需 要 簡(jiǎn) 單 的 轉(zhuǎn) 置 ； 矩 陣 的 位 置部 分 是 向 量 P分 別 與 n、 o、 a向 量 點(diǎn) 積 的 取 反 。 10001 aPaaa oPooo nPnnnT zyx zyx zyx 1000 zzzz yyyy

22、xxxx Paon Paon PaonT即 的 逆 陣 為 1000 5010 25.00866.0 3866.005.0T例 ： 求 的 逆 陣 。 圖 2.12所 示 為 點(diǎn) A繞 任 意 過 原 點(diǎn) 的 單 位 矢 量 此 旋 轉(zhuǎn) 角 的 情況 。 kx， ky， kz分 別 為 此 矢 量 在 固 定 參 考 系 坐 標(biāo) 軸 X、 Y、Z上 的 三 個(gè) 分 量 ， 可 以 證 得 ， 繞 任 意 過 原 點(diǎn) 的 單 位 矢 量 k轉(zhuǎn) 角 的 旋 轉(zhuǎn) 齊 次 變換 公 式 為 式 (2-18)稱 為 一 般 旋 轉(zhuǎn) 齊 次 變 換 通 式 ， 它 概 括了 繞 X軸 、 Y軸 、 Z軸

23、進(jìn) 行 旋 轉(zhuǎn) 齊 次 變 換 的 各 種特 殊 情 況 ， 例 如 ： 當(dāng) kx=1， 即 ky=kz=0時(shí) ， 則 由 式 (2-18)可 得 到 式(2-16)； 當(dāng) ky=1， 即 kx=kz=0時(shí) ， 則 由 式 (2-18)可 得 到 式(2-17)； 當(dāng) kz=1， 即 kx=ky=0時(shí) ， 則 由 式 (2-18)可 得 到 式(2-15)。 反 之 ， 若 給 出 某 個(gè) 旋 轉(zhuǎn) 齊 次 矩 陣則 可 根 據(jù) 式 (2-18)求 出 其 等 效 矢 量 k及 等 效轉(zhuǎn) 角 式 中 ： 當(dāng) 取 0到 180。 之 間 的 值 時(shí) ， 式 中 的 符 號(hào) 取 +號(hào) ；當(dāng) 轉(zhuǎn) 角

24、時(shí) 很 小 時(shí) ， 公 式 很 難 確 定 轉(zhuǎn) 軸 ； 當(dāng) 接 近 0。 或180。 時(shí) ， 轉(zhuǎn) 軸 完 全 不 確 定 。 與 平 移 變 換 一 樣 ， 旋 轉(zhuǎn) 變 換 算 子 公 式 (2-15)、 (2-16)、 (2-17)以 及 一 般 旋 轉(zhuǎn) 變 換 算 子 公 式 (2-18)， 不 僅僅 適 用 于 點(diǎn) 的 旋 轉(zhuǎn) 變 換 ,而 且 也 適 用 于 矢 量 、 坐 標(biāo) 系 、物 體 等 旋 轉(zhuǎn) 變 換 計(jì) 算 。 若 相 對(duì) 固 定 坐 標(biāo) 系 進(jìn) 行 變 換 ,則算 子 左 乘 ； 若 相 對(duì) 動(dòng) 坐 標(biāo) 系 進(jìn) 行 變 換 ， 則 算 子 右 乘 。 例 2-5 已 知 坐 標(biāo) 系 中 點(diǎn) U的 位 置 矢 量 u=7 3 2 1T 將 此 點(diǎn) 繞 Z軸 旋 轉(zhuǎn) 90， 再 繞 Y軸 旋 轉(zhuǎn) 90， 如 圖 2-13所 示 ，求 旋 轉(zhuǎn) 變 換 后 所 得 的 點(diǎn) W。 2-6 如 圖 2-14所 示 單 臂 操 作 手 ， 手 腕 也 具 有 一個(gè) 自 由 度 。 已 知 手 部 起 始 位 姿 矩 陣 為若 手 臂 繞 Z0軸 旋 轉(zhuǎn) +90， 則 手 部 到 達(dá) G2若 手 臂 不 動(dòng) ，僅 手 部 繞 手 腕 Z l軸 旋 轉(zhuǎn) +90,則 手 部 到 達(dá) G3。 寫 出 手 部坐 標(biāo) 系 G2及 G3的 矩 陣 表 達(dá) 式 。