海淀區(qū)初三年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中重點(diǎn)試題含答案解析

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1、 海淀區(qū) 2019 初三年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中重點(diǎn)試題 ( 含答案解析 ) 海淀區(qū) 2019 初三年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中重點(diǎn)試題 ( 含答案 解析 ) 一、選擇題 1．方程 的根的情況是 A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D. 無(wú)法確定是否有實(shí)數(shù)根 2. 在 Rt△ABC中，∠ C=90o， ，則 的值為 A. B. C. D. 3. 若右圖是某個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾 何體是 A. 長(zhǎng)方體 B. 正方體 C. 圓柱 D. 圓錐

2、4. 小丁去看某場(chǎng)電影，只剩下如圖所示的六個(gè)空座位供他選 擇，座位號(hào)分別為 1 號(hào)、 4 號(hào)、 6 號(hào)、 3 號(hào)、 5 號(hào)和 2 號(hào)．若小丁從中隨機(jī)抽取一個(gè)，則抽到的座位號(hào)是偶數(shù)的概率是 A. B. C. D. 5．如圖，△ ABC 和△ A1B1C1是以點(diǎn) O為位似中心的位似三角形，若 C1 為 OC的中點(diǎn)， AB=4，則 A1B1的長(zhǎng)為 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6．已知點(diǎn) A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) 是反比例函數(shù) 的圖象上的 兩點(diǎn)，若 x1＜0＜ x2，則下列結(jié)論正確的是 A． y1＜0＜ y2

3、B ． y2＜0＜ y1 C ． y1＜ y2＜ 0 D ．y2＜ y1 第 1 頁(yè) ＜ 0 7．如圖， AB是半圓 O的直徑， AC為弦， OD⊥AC 于 D，過(guò)點(diǎn)O作 OE∥AC 交半圓 O于點(diǎn) E，過(guò)點(diǎn) E 作 EF⊥AB 于 F．若 AC=2，則 OF的長(zhǎng)為 A． B ． C ． 1 D ． 2 8．如圖 1，在矩形 ABCD中， ABBC， AC，BD交于點(diǎn) O．點(diǎn) E 為線段 AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 連接 DE，BE，過(guò) E 作 EF⊥BD 于 F．設(shè) AE=x，圖 1 中某條線段的長(zhǎng)為

4、y，若表示 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系 的圖象大致如圖 2 所示，則這條線段可能是圖 1 中的 圖 1 圖 2 A．線段 EF B ．線段 DE C ．線段 CE D ．線段 BE 二、填空題（本題共 16 分，每小題 4 分） 9．若扇形的半徑為 3cm，圓心角為 120，則這個(gè)扇形的面積為 __________ cm2． 10．在某一時(shí)刻，測(cè)得一根高為 2m的竹竿的影長(zhǎng)為 1m，同 時(shí)測(cè)得一棟建筑物的影長(zhǎng)為 12m，那么這棟建筑物的高度為 m. 11．如圖，拋物線 與直線 y＝bx＋ c 的兩個(gè)交

5、點(diǎn)坐標(biāo)分別 為 ， ，則關(guān)于 x 的方程 的解為 __________． 12．對(duì)于正整數(shù) ，定義 ，其中 表示 的首位數(shù)字、末位數(shù) 字的平方和．例如： ， ． 第 2 頁(yè) 規(guī)定 ， （ 為正整數(shù)）．例如： ， ． （ 1）求： ____________ ， ______________ ； （ 2）若 ，則正整數(shù) m的最小值是 _____________． 三、解答題（本題共 30 分，每小題 5 分） 13. 計(jì)算： . 14. 如圖，△ ABC中， AB=AC

6、， D 是 BC中點(diǎn)， BE⊥AC 于 E. 求 證：△ ACD∽△ BCE． 15. 已知 是一元二次方程 的實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式 的值． 16. 拋物線 平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn) ， ，求平移后的拋物線的表達(dá)式． 17. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，正比例函數(shù) 與反比例函數(shù) 的圖象交于 A，B 兩點(diǎn)， A 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2，AC⊥x軸于點(diǎn) C，連接 BC. （ 1）求反比例函數(shù)的解析式； （ 2）若點(diǎn) P 是反比例函數(shù) 圖象上的一點(diǎn)，且滿足△ OPC 與△ABC的面積相等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 18. 如圖，

7、△ ABC中，∠ ACB=90， ， BC=8， D 是 AB中點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn) B 作直線 CD的垂線，垂足為 E． （ 1）求線段 CD的長(zhǎng)； （ 2）求 的值． 四、解答題（本題共 20 分，每小題 5 分） 19．已知關(guān)于 x 的一元二次方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ． （ 1）求 m的取值范圍； 第 3 頁(yè) （ 2）若 ，且 ，求整數(shù) m的 ． 20. 某工廠生 的某種 品按 量分 10 個(gè)檔次，據(jù) 研 示，每個(gè)檔次的日 量及相 的 件利 如下表所示（其

8、 中 x 正整數(shù)，且 1≤x≤10）： 量檔次 1 2 ? x ? 10 日 量（件） 95 90 ? ? 50 件利 （萬(wàn)元） 6 8 ? ? 24 了便于 控，此工廠每天只生 一個(gè)檔次的 品．當(dāng)生 量檔次 x 的 品 ，當(dāng)天的利 y 萬(wàn)元． （ 1）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）工廠 得最大利 ， 生 哪個(gè)檔次的 品？并求出當(dāng)天利 的最大 ． 21. 如 ，四 形 ABCD是平行四 形，點(diǎn) A，B，C 在⊙O上， AD與⊙O相切，射 AO交 BC于

9、點(diǎn) E，交⊙O于點(diǎn) F．點(diǎn) P 在射 AO上，且∠ PCB=2∠BAF． （ 1）求 ：直 PC是⊙O的切 ； （ 2）若 AB= ， AD=2，求 段 PC的 ． 22． 下面材料： 小明 察一個(gè)由 正方形點(diǎn) 成的點(diǎn) ， 中水平與 直方向上任意兩個(gè)相 點(diǎn) 的距離都是 1．他 一個(gè)有趣 第 4 頁(yè) 的問(wèn)題：對(duì)于圖中出現(xiàn)的任意兩條端點(diǎn)在點(diǎn)陣上且互相不垂 直的線段，都可以在點(diǎn)陣中找到一點(diǎn)構(gòu)造垂直，進(jìn)而求出它 們相交所成銳角的正切值． 請(qǐng)回答： （ 1

10、）如圖 1， A、 B、C 是點(diǎn)陣中的三個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)邳c(diǎn)陣中找到點(diǎn) D，作出線段 CD，使得 CD⊥AB； （ 2）如圖 2，線段 AB與 CD交于點(diǎn) O．為了求出 的 正切值，小明在點(diǎn)陣中找到了點(diǎn) E，連接 AE，恰好滿足 于 F，再作出點(diǎn)陣中 的其它線段，就可以構(gòu)造相似三角形，經(jīng)過(guò)推理和 計(jì)算能夠使問(wèn)題得到解決． 請(qǐng)你幫小明計(jì)算： OC=_______________； = _______________； 參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題： 如圖 3，計(jì)算： =_______________ ． 五、解答題（本題共 22 分，

11、第 23 題 7 分，第 24 題 7 分，第 25 小題 8 分） 23. 在平面直角坐標(biāo)系 中，反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) ， . （ 1） 求代數(shù)式 mn的值； （ 2） 若二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) B，求代數(shù)式 的值； （ 3） 若反比例函數(shù) 的圖象與二次函數(shù) 的圖象只有一個(gè)交 點(diǎn)，且該交點(diǎn)在直線 的下方，結(jié)合函數(shù)圖象，求 的取值范圍 . 第 5 頁(yè) 24．如圖 1，在△ ABC 中， BC=4，以線段 AB為邊作△ ABD，使得 AD=BD， 連接 DC，

12、再以 DC為邊作△ CDE，使得 DC= DE， ∠CDE=∠ADB=α． （ 1）如圖 2 ，當(dāng)∠ ABC=45且 α=90時(shí)，用等式表示線 段 AD， DE之間的數(shù)量關(guān)系； （ 2）將線段 CB沿著射線 CE的方向平移，得到線段 EF，連接 BF， AF． ① 若 α=90，依題意補(bǔ)全圖 3， 求線段 AF 的長(zhǎng)；②請(qǐng)直接寫出線段 AF 的長(zhǎng)（用含 α 的式子表示） ． 25. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，設(shè)點(diǎn) ， 是圖形 W上的任意兩點(diǎn)． 定義圖形 W的測(cè)度面積：若 的最大值為 m， 的最大值為 n，則 為圖形 W

13、的測(cè)度面積． 例如，若圖形 W是半徑為 1 的⊙ O．當(dāng) P， Q分別是⊙O 與 x 軸的交點(diǎn)時(shí)，如圖 1， 取得最大值，且最大值 m=2；當(dāng) P，Q分別是⊙O 與 y 軸的交點(diǎn)時(shí)，如圖 2， 取得最大值，且最大值 n=2．則圖形 W的測(cè)度面積 ． （ 1）若圖形 W是等腰直角三角形 ABO，OA=OB=1. ①如圖 3，當(dāng)點(diǎn) A，B 在坐標(biāo)軸上時(shí)， 它的測(cè)度面積 S= ； ②如圖 4，當(dāng) AB⊥x軸時(shí)，它的測(cè)度面積 S= ； （ 2）若圖形 W是一個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的正方形 ABCD，則此圖形測(cè) 第 6 頁(yè)

14、 度面積 S 的最大值為 ； （ 3）若圖形 W是一個(gè)邊長(zhǎng)分別為 3 和 4 的矩形 ABCD，求它 的測(cè)度面積 S 的取值范圍． 海淀區(qū) 2019 初三年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中重點(diǎn)試題 ( 含答案解析 ) 參考答案及評(píng)分參考 閱卷須知 : 1. 為便于閱卷 , 本試卷答案中有關(guān)解答題的推導(dǎo)步驟寫的較為詳細(xì) , 閱卷時(shí) , 只要考生將主要過(guò)程正確寫出即可 . 2. 若考生的解法與給出的解法不同 , 正確者可參照評(píng)分參考相應(yīng)給分 . 3. 評(píng)分參考中所注分?jǐn)?shù) , 表示考生正確做到步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。

15、 一、選擇題（本題共 32 分，每小題 4 分） 題 號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 A A D C B B C B 二、填空題（本題共 16 分，每小題 4 分） 9． ； 10 ． 24 ； 11． ； 12 ． （ 1） 37， 26； （每個(gè)答案 1 分）（2） 6. （ 2 分） 三、解答題：（本題共 30 分，每小題 5 分） 13．（本小題滿分 5 分） 解：原 第 7 頁(yè) 式 ????????????????

16、??????? ???4 分 ． ???????????????????????? ??????5 分 14. （本小 分 5 分） 明：∵ AB=AC， D 是 BC中點(diǎn)， ∴AD⊥BC， ∴∠ ADC=90．??? ??????????????? ??????????1 分 ∵BE⊥AC， ∴∠ BEC=90． ∴∠ ADC=∠BEC． ????????????????? ?????????2 分 在△ ACD和△ BCE中， ∴△ ACD∽△

17、 BCE．????????????????? ??????????5 分 15. （本小 分 5 分）解：由已知，可 得 ．?????????????????????1 分 ∴ ． ?????????????????????? ?????2 分 ∴原式 = ．??????????????????5 分 第 8 頁(yè) 16. （本小 分 5 分） 解： 平移后拋物 的表達(dá)式 為 ．???????????????1 分 ∵平移后的拋物 點(diǎn) ， ，

18、 ∴ ???????????????????????? ???3 分 解 得 ??????????????????????? ?????4 分 所以平移后拋物 的表達(dá)式 為 ．??????????????5 分 解二：∵平移后的拋物 點(diǎn) ， ， ∴平移后的拋物 的 稱 直 線 . ????????????????1 分∴ 平移后拋物 的表達(dá)式 為 ．?????????????2 分 ∴ ．. ?????????????????????? ??3分

19、 ∴ ．. ?????????????????????? ????????4 分所以平移后拋物 的表達(dá)式 為 ． ?????????????5 分 第 9 頁(yè) 17. （本小 分 5 分） 解：（ 1）將 代入 中，得 ． ∴點(diǎn) A 坐 為 ．??????????????????????? ?1分 ∵點(diǎn) A 在反比例函數(shù) 的 象上， ∴ ．??????????????????????? ???2 分 ∴反比例函數(shù)的解析式

20、為 ．???????????????????3 分 （ 2） 或 ．???????????????????????5 分 18. （本小 分 5 分） 解：（ 1）∵△ ABC中，∠ ACB=90， ， BC=8， ∴ ．??????????????????????1 分∵△ABC中，∠ ACB=90， D 是 AB中點(diǎn)， ∴ ．??????????????????????? ??2分 （ 2）法一： 點(diǎn) C 作 CF⊥AB 于 F，如 ． ∴∠ CFD=90． 在 Rt△ABC中，由勾股定理得

21、 ． 第 10 頁(yè) ∴ ．????????????3 分 ∵BE⊥CE， ∴∠ BED=90． ∵∠ BDE=∠CDF， ∴∠ ABE=∠DCF．???????????????4 分 ∴ ． ?????????????5 分 法二：∵D 是 AB中點(diǎn)， AB=10， ∴ ．??????????????????????? ???3 分 在 Rt△ABC中，由勾股定理得 ． ∴ ． ??????????????????4 分 ∵BE⊥CE，

22、 ∴∠ BED=90． ∴ ．????????????????????5 分 四、解答 （本 共 20 分，每小 5 分） 19．（本小 分 5 分） 解：（ 1）由已知，得 且 ， ∴ 且 ．??????????????????????? ??2分 （ 2）原方程的解 ． ∴ 第 11 頁(yè) 或 ． ?????????????????????? ???3 分 又∵ ， ∴ ．???????????????

23、???????? ???4 分 ∵m是整數(shù)， ∴ ．??????????????????????? ?????5 分 20. （本小 分 5 分） 解：（ 1） ． ???????????2 分 （ 且 x 整數(shù)）． （ 2）∵ ．??????????3 分又∵ 且 x 整數(shù)， ∴當(dāng) ，函數(shù)取得最大 1210． 答：工廠 得最大利 ， 生 第 9 檔次的 品，當(dāng)天的 最大利 1210 萬(wàn)元． ??????????????????????

24、??5 分 21. （本小 分 5 分）解：（ 1） 接 OC． ∵AD與⊙O相切于點(diǎn) A， ∴FA⊥AD． ∵四 形 ABCD是平行四 形， 第 12 頁(yè) ∴AD∥BC， ∴FA⊥BC． ∵FA 心 O， ∴F是 的中點(diǎn)， BE=CE， ∠OEC=90．??????????????1 分 ∴∠ COF=2∠BAF． ∵∠ PCB=2∠BAF， ∴∠ PCB=∠COF． ∵∠ OCE+∠COF=180 - ∠OEC=90

25、， ∴∠ OCE+∠PCB=90． ∴OC⊥PC． ∵點(diǎn) C 在⊙O上， ∴直 PC是⊙O的切 ．??????????????????????2 分 （ 2） ∵四 形 ABCD是平行四 形，∴BC=AD=2． ∴BE=CE=1． 在 Rt△ABE中，∠ AEB=90， AB= ， ⊙O的半徑 r ， ， ． 在 Rt△OCE中，∠ OEC=90， 解 得 ．??????????????????????? 第 13 頁(yè)

26、 ?????3 分 ∵∠ COE=∠PCE，∠ OEC=∠CEP =90． ∴△ OCE∽△ CPE．????????????????? ?????????4 分 ∴ ．??????????????????????? ??????5 分 22. （本小 分 5 分） （ 1）如 ， 段 CD即 所求；????????1 分 （ 2） OC= ， =5 ；????????3 分 （ 3） = ．?????????????5 分 五、解答 ：（本 共 22 分，第 23 題

27、7 分，第 24 題 8 分，第 25 題 7 分） 23．（本小 分 7 分） 解：（ 1）∵反比例函數(shù) 的 象 點(diǎn) ， ∴ ．??????????????????????? ????1 分 ∴反比例函數(shù)的解析式 ． ∵反比例函數(shù) 的 象 點(diǎn) ， ∴ ．??????????????????????? ????2 分 （ 2）∵二次函數(shù) 的 象 點(diǎn) ， ∴ ．??????????????????????? 第 14 頁(yè) ??3分

28、由（ 1）得 ， ∴原式 ．???????????????????????? ??4分 （ 3）由（ 1）得反比例函數(shù)的解析式 ． 令 ，可得 ，解得 ． ∴反比例函數(shù) 的 象與直 交于 點(diǎn) ， ．??????????5 分 當(dāng)二次函數(shù) 的 象 點(diǎn) ，可得 ； 當(dāng)二次函數(shù) 的 象 點(diǎn) ，可得 ． ∵二次函數(shù) 的 點(diǎn) ， ∴由 象可知，符合 意的 的取 范 是 或 ．????7 分（注：只寫 或只寫 ， 減 1 分 . ）

29、 24. （本小 分 7 分） （ 1） AD+DE=4．????????????????1 分 （ 2）① 全 形，如右 所示．????????2 分解： 設(shè) DE與 BC相交于點(diǎn) H， 接 AE， 交 BC于點(diǎn) G，如 ． ∠ADB=∠CDE =90， ∴∠ ADE=∠BDC． 在 △ADE與△ BDC中， 第 15 頁(yè) ∴△ ADE ≌△ BDC．??????????????3 分 ∴AE= BC ，∠ AED=∠BCD． DE與 BC相交于點(diǎn) H，∴∠ GHE=∠DHC．

30、 ∴∠ EGH=∠EDC=90．??????????????? ?????????????4 分 段 CB沿著射 CE的方向平移，得到 段 EF， ∴EF = CB=4， EF // CB ． ∴AE= EF． CB//EF ，∴∠ AEF=∠EGH=90． AE=EF，∠ AE F=90，∴∠ AFE=45． ∴AF= =4 ． ?????????????????????? ??????5 分 ② ． ?????????????????????? ????????7 分

31、 25. （本小 分 8 分）解：（ 1）① 1；???????????????????????? ??????1 分 ② 1．???????????????????????? ???????2 分 （ 2） 第 16 頁(yè) 2． ??????????????????????? ????????4 分 （ 3）不妨 矩形 ABCD的 AB=4，BC=3．由已知可得，平移 形 W不會(huì)改 其 度面 S 的大小，將矩形 ABCD的其中一個(gè) 點(diǎn) B 平移至 x 上．

32、 當(dāng) 點(diǎn) A，B 或 B，C 都在 x 上 ，如 5 和 6，矩形 ABCD 的 度面 S 就是矩形 ABCD的面 ，此 S 取得最小 ， 且最小 12． ????????????5 分 當(dāng) 點(diǎn) A， C 都不在 x 上 ，如 7． 過(guò) A 作直 AE⊥x 于點(diǎn) E， C 作直 CF⊥x 于點(diǎn) F，過(guò) D 作直 GH∥x ，與直 AE， CF分 交于點(diǎn) H 和點(diǎn) G， 可得四 形 EFGH是矩形． 當(dāng)點(diǎn) P， Q分 與點(diǎn) A， C 重合 ， 取得最大 ， 且最大 ；

33、 當(dāng)點(diǎn) P，Q分 與點(diǎn) B，D 重合 ， 取得最大 ，且最大 ． ∴ 形 W的 度面 ． ∵∠ ABC=90， ∴∠ ABE+∠CBF=90． ∵∠ AEB=90， ∴∠ ABE+∠BAE=90． ∴∠ BAE=∠CBF． 第 17 頁(yè) 又∵ ， ∴△ ABE∽△ BCF．????????????????? ???????????6 分 設(shè) ， ， 在 Rt△ABE中，由勾股定理得 ． ∴ ．即 ．∵ ，∴ 易 △ ABE≌△ CDG． ∴ ． ∴當(dāng) ，即 ， 度面 S 取得最大 ．????7 分 ∵ ，∴ ．∴ ． ∴當(dāng) 點(diǎn) A，C 都不在 x 上 ， S 的范 ． 上所述， 度面 S 的取 范 是 ．?? 第 18 頁(yè)