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圖1 帶式輸送機(jī)減速器 齒輪減速器的最優(yōu)化設(shè)計(jì) 張?jiān)迫A （長(zhǎng)江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北荊州 434023） 齒輪減速器是機(jī)械產(chǎn)品中最常用的通用減速裝置， 其性能好壞直接影響機(jī)械產(chǎn)品的技術(shù)性能。傳統(tǒng)的減速 器設(shè)計(jì)通常是選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，進(jìn)行反復(fù)的試湊、校核確 定設(shè)計(jì)方案，但也不一定是最佳設(shè)計(jì)方案；而優(yōu)化設(shè)計(jì)的 方法則通過(guò)設(shè)計(jì)變量的選取、目標(biāo)函數(shù)和約束條件的確 定，建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)求解得到滿足條件的最優(yōu)解，同 時(shí)縮短設(shè)計(jì)周期。本文介紹了單級(jí)斜齒圓柱齒輪減速器 優(yōu)化設(shè)計(jì)的過(guò)程和方法，建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，并利用 MATLAB進(jìn)行尋優(yōu)求解。 1 數(shù)學(xué)模型的建立 首先建立減速器齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后針 對(duì)具體問(wèn)題，編程計(jì)算得到最優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。 1.1 確定目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計(jì)變量 1，2 根據(jù)不同的已知條件和 設(shè)計(jì)要求，齒輪減速器設(shè)計(jì) 的目標(biāo)和方法是不同的。對(duì) 于全新的設(shè)計(jì)，一般是在給 定轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速和傳動(dòng)比的情 況下，確定主要的傳動(dòng)參數(shù) 和齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)，以使該傳 動(dòng)既能滿足所有的設(shè)計(jì)標(biāo) 準(zhǔn)、規(guī)范和要求，又具有最小的體積和最緊湊的結(jié)構(gòu)。而 體現(xiàn)減速器的體積大小和結(jié)構(gòu)緊湊程度的指標(biāo)之一是減 速器兩傳動(dòng)齒輪的中心距。對(duì)于單級(jí)斜齒圓柱齒輪減速 器，其中心距為： a= （1+u）z 1 m n 2cos （1） 式中，z 1 、u、m n ，分別為小齒輪齒數(shù)、傳動(dòng)比、法面模數(shù)和 螺旋角。 由此可知，單級(jí)斜齒圓柱齒輪減速器設(shè)計(jì)中的獨(dú)立 參數(shù)有三個(gè)，由它們構(gòu)成的設(shè)計(jì)變量是： Xx 1 ，x 2 ，x 3 T =m n ，z 1 ， T （2） 相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為： f（X） （1+u）x 1 x 2 2cosx 3 （3） 1.2 建立約束條件 2，4 齒輪減速器的設(shè)計(jì)首先必須使其中的傳動(dòng)齒輪具有 足夠的承載能力和工作壽命，具體來(lái)說(shuō)就是要滿足齒面 接觸疲勞強(qiáng)度和齒根彎曲疲勞強(qiáng)度條件。其次，傳動(dòng)系統(tǒng) 還必須滿足有關(guān)的結(jié)構(gòu)要求和潤(rùn)滑要求，最后，還必須根 據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)范和要求對(duì)齒輪參數(shù)的取值進(jìn)行必要的限制。 由此形成了如下幾方面的約束條件： （1）齒面接觸疲勞強(qiáng)度條件（簡(jiǎn)稱接觸條件） 由機(jī)械設(shè)計(jì)理論知，齒輪的齒面接觸疲勞強(qiáng)度的校 核公式是： H Z E Z H Z Z 2KT 1 d d 3 1 u+1 u姨 HP （4） 式中，K載荷系數(shù)，與源動(dòng)機(jī)的類型、載荷性質(zhì)、轉(zhuǎn)速大 小、齒寬系數(shù)的大小和制造精度有關(guān)。若減速器由電動(dòng)機(jī) 驅(qū)動(dòng)，齒寬系數(shù)較大，載荷比較平穩(wěn)，齒輪為非對(duì)稱布置， 可取載荷系數(shù)K=1.2；T 1 減速器的輸入轉(zhuǎn)矩，也是高速級(jí) 小齒輪承受的轉(zhuǎn)矩，Nmm； d 齒寬系數(shù)， d =b/d 1 ，b為齒 寬，對(duì)于軟齒面齒輪，一般取 d =1.0；d 1 高速級(jí)小齒輪的 分度圓直徑，d 1 =m n z 1 /cos，mm；Z E 彈性系數(shù)，對(duì)鍛鋼齒輪 摘 要：在齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)建立、設(shè)計(jì)變量選取和約束條件確定的基礎(chǔ)上，建立其優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，利 用MATLAB的優(yōu)化工具箱對(duì)齒輪減速器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并通過(guò)實(shí)例與常規(guī)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行了分析。優(yōu)化結(jié)果表明采用 MATLAB算法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，算法有效可靠且優(yōu)于常規(guī)設(shè)計(jì)。 關(guān)鍵詞：MATLAB；圓柱齒輪減速器；優(yōu)化設(shè)計(jì) 中圖分類號(hào)：TH132.41 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：10022333（2008）11008003 The Optimal Design of Gear Speed Reducer ZHANG Yun-hua （School of Mechanical Engineering，Yangtze University，Jingzhou 434023，China） Abstract： Based on establishment of target function, choice of parameters and confirmation of constraint conditions of the Cylindrical Speed Reducer, its optimum mathematical model is set up. Cylindrical speed reducer is designed by MATLAB optimal toolbox. Finally, a comparison between optimum design and conventional design is conducted and analyzed based on industrial cases. The result shows that by using the MATLAB arithmetic, the mechanical design is not only reliable but also effective, and is excelled the conventional design. Key words： MATLAB; cylindrical speed reducer; optimum design Z4 Z3 Z1 Z2 軸3 軸2 軸1 仿真 /建模 /CAD/CAM/CAE/CAPP 制造業(yè)信息化 MANUFACTURING INFORMATIZATION 機(jī)械工程師 2008年第11期 80 Z E =189.8MPa；Z H 結(jié)點(diǎn)區(qū)域系數(shù)，是螺旋角的函數(shù)，可由 有關(guān)的圖表查出，記作Z H （）；Z 重合度系數(shù)，Z 1 姨 ， 其中為接觸線長(zhǎng)度變化系數(shù)， 為端面重合度系數(shù)，對(duì) 斜齒輪=0.91.0， 1.88-3.2（ 1 z 1 + 1 z 2 ）cos，故重合度 系數(shù)可記作Z （z 1 ，u，）；Z 螺旋角系數(shù)，Z = cos姨 ； HP 許用接觸應(yīng)力，由式 HP Hlim S Hmin Z N 計(jì)算，其中 Hlim 為材料 的接觸極限應(yīng)力，是硬度HBS的函數(shù)，記作 Hlim （HBS）； Z N 為接觸壽命系數(shù)，是轉(zhuǎn)速n（r/min）和工作壽命t（h）的 函數(shù)，記作 Z N （n，t）；S Hmin 為最小接觸安全系數(shù)，一般取 1.051.1。 由此可得齒輪的齒面接觸強(qiáng)度條件的約束條件為： 189.8 cos姨 Z H （）Z （z 1 ，u，） 2KT 1 cos 3 m 3 n z 3 1 u+1 u姨 HP （5） 即： Z H （x 3 ）Z （x 2 ，u，x 3 ）cos 2 x 3 （1/u+1）KT 1 x 3 1 x 3 2姨 - 3.72610 -3 HP 0 （6） 其中部分系數(shù)經(jīng)整理或函數(shù)擬合后為 2，3 ： 節(jié)點(diǎn)區(qū)域系數(shù)Z H （）2.9027-0.3702e 接觸極限應(yīng)力 Hlim （HBS）=495+0.889（HBS-150） 接觸壽命系數(shù) Z N （n，t）= 1.6， 60nt10 5 2.75-0.1006ln（60nt），10 5 510 7 （2）齒根彎曲疲勞強(qiáng)度條件（簡(jiǎn)稱彎曲強(qiáng)度條件） 齒根彎曲強(qiáng)度的校核公式是 F 2KT 1 d d 2 1 mn Y Fa Y Sa Y Y FP （7） 式中，Y Fa 、Y Sa 、Y 和Y 分別為齒形系數(shù)、應(yīng)力修正系數(shù)、 重合度系數(shù)和螺旋角系數(shù)，它們都是齒數(shù)Z和螺旋角 的函數(shù)，分別記作Y Fa （z，）、Y Sa （z，）、Y （z，）和Y （z，）。 FP 代表許用彎曲應(yīng)力，其值由下式計(jì)算： FP Flim Y ST S Flim Y N （8） 其中， Flim 齒輪材料的彎曲極限應(yīng)力，可由機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè) 中查得，MPa；S Flim 彎曲強(qiáng)度的安全系數(shù)，對(duì)軟齒面齒輪 一般取1.35；Y ST 應(yīng)力修正系數(shù)，一般取2.0；Y N 彎曲強(qiáng) 度計(jì)算的壽命系數(shù)，與應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N有關(guān)，可從有關(guān)圖 表中查得。 由此可得小齒輪和大齒輪的彎曲強(qiáng)度條件為： 2KT 1 cos 3 z 2 1 m 3 n Y Fa （z 1 ，）Y Sa （z 1 ，）Y （z 1 ，）Y （z 1 ，） FP 0 （9） 即： cos 2 x 3 x 2 2 x 3 1 KT 1 Y Fa （x 2 ，x 3 ）Y Sa （x 2 ，x 3 ）Y （x 2 ，x 3 ）Y （x 2 ，x 3 ）- 0.5 FP1 0 （10） cos 2 x 3 （ux 2 ） 2 x 3 1 KT 1 Y Fa （ux 2 ，x 3 ）Y Sa （ux 2 ，x 3 ）Y （ux 2 ，x 3 ）Y （ux 2 ，x 3 ）- 0.5 FP2 0 （11） 其中，經(jīng)過(guò)整理或函數(shù)擬合后的相關(guān)系數(shù)為 2，3 ： 齒形系數(shù)Y Fa =3.8193-0.3628ln（z v ）（z v 為當(dāng)量齒數(shù)） 應(yīng)力修正系數(shù)Y Sa =1.1233+0.146ln（z v ） 彎曲極限應(yīng)力 Flim （HBS）170+0.3（HBS150） 彎曲壽命系數(shù) Y N （n）= 2.5， 60nt10 4 5.06-0.2728ln（60nt），10 4 310 6 螺旋角系數(shù)Y （z，）=1.0-2.6510 -3 ztan （3）結(jié)構(gòu)約束條件 為保證緊湊的結(jié)構(gòu)，大齒輪的直徑不能太大，若取最 大直徑為350mm，則有： d 2 -3500 （12） 為使模數(shù)取標(biāo)準(zhǔn)值，建立以下離散性約束： 2m n -round（2m n ）-0.0010 （13） （4）設(shè)計(jì)變量取值范圍約束 傳遞動(dòng)力的齒輪，模數(shù)不能小于2，中小型齒輪減速 器中齒輪模數(shù)一般不大于4，故取： 2m n 4 （14） 對(duì)于軟齒面齒輪，小齒輪的齒數(shù)應(yīng)選得大些為好，一般的 選取范圍是2040，于是有： 20z 1 40 （15） 斜齒輪的螺旋角一般選在820，考慮到最后還需對(duì)計(jì) 算的數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整，故?。?816 （16） 2 MATLAB優(yōu)化理論和編程求解 3 MATLAB是由美國(guó)Mathwork公司開發(fā)，集強(qiáng)大的科 學(xué)計(jì)算、數(shù)據(jù)可視化和程序設(shè)計(jì)為一體的科技應(yīng)用軟件， 分總包和若干工具箱，包括信號(hào)處理、圖像處理、小波分 析、系統(tǒng)識(shí)別、通信仿真、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、工程優(yōu)化、 統(tǒng)計(jì)分析等現(xiàn)代工程技術(shù)學(xué)科內(nèi)容。其中優(yōu)化工具箱含 有一系列的優(yōu)化算法函數(shù)，可方便、快捷地解決線性、非 線性極小值、非線性系統(tǒng)的方程求解、曲線擬合、二次規(guī) 劃和大規(guī)模優(yōu)化等工程實(shí)際問(wèn)題。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)多數(shù)是非線性約束最小化問(wèn)題。在 MATLAB中，采用序列二次規(guī)劃法進(jìn)行優(yōu)化，算法可靠且 不用編寫大量的算法程序，設(shè)計(jì)效率高。本文中單級(jí)斜齒 圓柱齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)屬于帶約束條件的非線性優(yōu)化 設(shè)計(jì)問(wèn)題，由優(yōu)化工具箱中的fmincon函數(shù)實(shí)現(xiàn)。該問(wèn)題 的數(shù)學(xué)模型可做如下描述： min f（x） s.t：Axb； 線性不等式約束 Aeqxbeq； 線性等式約束 C（x）0； 非線性不等式約束 Ceq（x）=0； 非線性等式約束 lboundxubound fmincon 函數(shù)的調(diào)用格式：x，fval=fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq， lb，ub，nonlcon，options） 為便于與常規(guī)齒輪設(shè)計(jì)方法比較，以文獻(xiàn)2第216 81 機(jī)械工程師 2008年第11期 制造業(yè)信息化 仿真 /建模 /CAD/CAM/CAE/CAPP MANUFACTURING INFORMATIZATION 4 結(jié) 語(yǔ) 本文借助 CAE技術(shù)，即 MoldFlow 的分析,優(yōu)化澆注 系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。從填充時(shí)間、熔接痕、氣穴、流動(dòng)前沿的溫度 和鎖模力方面綜合分析了最優(yōu)的澆口位置，即采用側(cè)澆 口。進(jìn)而進(jìn)行了合理的模具設(shè)計(jì)，以注塑出最佳的塑料制 品，保證制品能全部充滿，大大縮短了模具制造的時(shí)間， 降低了模具的生產(chǎn)成本。 （編輯立 明） 作者簡(jiǎn)介：趙鳳國(guó)（1958-），助理講師，高級(jí)技師，主要研究方向?yàn)闄C(jī) 械優(yōu)化設(shè)計(jì)。 收稿日期：2008-09-16 頁(yè)例題10-2為例進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，基本數(shù)據(jù)與之相同，輸入轉(zhuǎn) T 1 9.94810 4 Nmm，輸入轉(zhuǎn)速n 1 =500r/min，傳動(dòng)比u=3.2。 根據(jù)以上建立的單級(jí)斜齒圓柱齒輪減速器的數(shù)學(xué)模 型，用 MATLAB 語(yǔ)言編制的求解程序由以下 4 個(gè)函數(shù) （主程序和子程序）組成： 減速箱齒輪傳動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)主程序（geardesign.m） sigmahp，sigmafp=gearparameter（rat）； x0=3，24，14； options=optimset（display，iter）； lb=2，20，8； ub=4，40，16； x，f，exitflag，output=fmincon(gearobjfun，x0，lb，ub， gearconstr，options） 目標(biāo)函數(shù)子程序（gearobjfun.m） function f=gearobjfun(x）； f=x（1）*（1+rat）*x（2）/(2*cos（x（3）*pi/180）； 約束條件子程序（gearconstr.m） functionc，ceq=gearconstr（x） c（1）=zh*zep*（cos（beta）2*sqrt（1 +1/rat）/（x（1）*x（2）3）*sqrt （kk*T1）-3.726e-3*sigmahp（1）； c（2）=（cos（beta）2/x（2）2/x（1）3*yfa（1）*ysa（1） *yep*ybeta*kk*T1-0.5*sigmafp（1）； c（3）=（cos（beta）2/（rat*x（2）2/x（1）3*yfa（2）*ysa（2） *yep*ybeta*kk*T1-0.5*sigmafp（2）； c（4）=d2-350； c（5）=abs（2*x（1）-round（2*x（1）-0.001； ceq=； 許用應(yīng)力計(jì)算程序（gearparameter.m） functionsigmahp，sigmafp=gearparameter（rat） for i=1:2 sigmah（i）=495+0.889*（HBS（i）-150）； sigmaf（i）=170+0.3*（HBS（i）-150）； end for i=1:2 sigmahp（i）=sigmah（i）*zn（i）/1.1； sigmafp（i）=sigmaf（i）*yn（i）*1.48； end 運(yùn)行上述最優(yōu)化設(shè)計(jì)程序，計(jì)算中采用序列二次規(guī) 劃算法和一維搜索算法，共經(jīng)過(guò)7次規(guī)劃子問(wèn)題的求解。 當(dāng)相鄰兩次二次規(guī)劃子問(wèn)題解的函數(shù)值之差與最大不滿 足約束的值都滿足給定計(jì)算精度 10 -6 之后程序運(yùn)行結(jié) 束。輸出最優(yōu)解如下： x=2.4995 20.0000 13.9136 f=108.1522 經(jīng)過(guò)適當(dāng)圓整和標(biāo)準(zhǔn)化修正后的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì) 參數(shù)如下： x=2.5 20 14 f=108.15 而對(duì)比常規(guī)設(shè)計(jì)得到的參數(shù)：Xx 1 ，x 2 ，x 3 T m n ，z 1 ， T 2，31，14 T ，目標(biāo)函數(shù)值 a=133.98mm，優(yōu)化后，減速 器目標(biāo)函數(shù)值下降了19.3%?？梢姡瑑?yōu)化后的設(shè)計(jì)在保證 滿足約束的條件下盡量減少了尺寸富裕量，極大地節(jié)約 了資源。 3 結(jié)束語(yǔ) 通過(guò)對(duì)實(shí)例的計(jì)算和對(duì)計(jì)算結(jié)果的分析，證明了應(yīng) 用MATLAB優(yōu)化工具箱進(jìn)行減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)求解，具 有編程工作量小、初始參數(shù)輸入簡(jiǎn)單、設(shè)計(jì)效率高等優(yōu) 點(diǎn)，尤其是對(duì)于某些工程問(wèn)題，用一種預(yù)先選定的方法很 可能得不到最優(yōu)解，運(yùn)用MATLAB語(yǔ)言優(yōu)化工具箱來(lái)求 解優(yōu)化問(wèn)題就顯得簡(jiǎn)便可靠。但是，在實(shí)際工程中僅對(duì)單 目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化是不夠的，還需對(duì)多目標(biāo)的優(yōu)化加以研究， 不斷探索出更好的優(yōu)化方法。 參考文獻(xiàn) 1 陳杰MATLAB寶典M北京：電子工業(yè)出版社，2007. 2 濮良貴，紀(jì)名剛機(jī)械設(shè)計(jì)M第七版北京：高等教育出版社，2000. 3 唐軍，等減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)J重型科技機(jī)械，2005（4）：15-17. 4 王文斌，等機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)M.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005. （編輯黃 荻） 作者簡(jiǎn)介：張?jiān)迫A（1971-），男，講師，研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)。 收稿日期：20080910 仿真 /建模 /CAD/CAM/CAE/CAPP 制造業(yè)信息化 MANUFACTURING INFORMATIZATION 機(jī)械工程師 2008年第11期 82 圖14 變光蓋板注射模 1.動(dòng)模板 2.定模板 3.定模座板 4.澆口套 5.定模 6.導(dǎo) 柱 7.導(dǎo)套 8.動(dòng)模 9.支承板 10.限位銷 11.推板 12.推 板固定板 13.推桿 14.復(fù)位桿 15.墊塊 16.推板導(dǎo)套 17. 推板導(dǎo)柱 18.拉料桿 19.內(nèi)六角螺釘 20.動(dòng)模 （上接第133頁(yè)） 3333333333 333333333333333333333333333 3333333333 2 3 4 5 6 7 1 18 17 16 1 9 0 15 14 13 12 11 10 9 8 19 20 2 9 0 200