機器人的空間描述與坐標變換.ppt

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1、1 第二章 機器人的空間描述和坐標變換 2.1 位姿和坐標系描述 2.2平移和旋轉(zhuǎn)坐標系映射 2.3平移和旋轉(zhuǎn)齊次坐標變換 2.4物體的變換和變換方程 2.5通用旋轉(zhuǎn)變換 2 z y x A p p p p 2 -1圖 位 置 表 示 2.1位置方位表示與坐標系描述 1.位置描述 矢量 Ap 表示箭頭指向點的位置矢量，其 中右上角標 “A”表示該點是用 A坐標系描述 的。 （ 2-2） 2.方位描述 坐標系 B與機械手末端工具固連，工具的姿態(tài) 可以由坐標系 B的方向來描述。而坐標系 B的方 向可以用沿三個坐標軸的單位矢量來表示 333231 232221 131211 rrr rrr rrr

2、R BABABAAB ZYX X A Z A Y A A P O A 圖 2-2方位表 示 （ 2-1） 旋轉(zhuǎn)矩陣 描述坐標系 B的姿態(tài)，矢量 描述坐標系 B的原點位 置。 3 BoAAB RB p 3.位姿描述 固連坐標系把剛體位姿描述問題轉(zhuǎn)化為坐標系的描述問題。圖 2-3 中坐標系 B可以在固定坐標系 A中描述為 （ 2-3） RAB BoAP 4 1.平移坐標變換 圖 2-3平移變換 A B O B O A A P B O A P B P BP為坐標系 B描述的某一空間位 置，我們也可以用 AP（坐標系 A）描 述同一空間位置。因為兩個坐標系具有 相同的姿態(tài)，同一個點在不同坐標系下 的描

3、述滿足以下關系 A B A BoP P P （ 2-4） 2.2平移和旋轉(zhuǎn)坐標系映 射 旋轉(zhuǎn)坐標變換的任務是已知坐標系 B描述的 一個點的位置矢量 BP和 旋轉(zhuǎn)矩陣 ，求在坐標 系 A下描述同一個點的位置矢量 AP。 5 2.旋轉(zhuǎn)坐標變 換 X A Z A Y A A P ( B P ) X B Y B Z B RAB A B T B xA A B T B yA A B T B zA p p p XP YP ZP （ 2-5） 將（ 2-5）式寫成矩陣形式得： PP Z Y X P BABB T A B T A B T A B A R （ 2-6） 圖 2-4旋轉(zhuǎn)變換 式（ 2-6）即為我們要

4、求的旋轉(zhuǎn)變換關系，該變換是通過兩個坐 標系之間的旋轉(zhuǎn)變換實現(xiàn)的。 6 3.復合變換 A C O B O A A P B O A P B P B 圖 2-5復合變換 如果兩個坐標系之間即存在平移 又存在旋轉(zhuǎn)，如何計算同一個空間點 在兩個坐標系下描述的變換關系？ 為了得到位置矢量 BP和 AP之 間的變換關系，我們建立一個中 間坐標系 C。 PPP BABBCBC RR A C A A B ACo B B oR P P P P P （ 2-7） （ 2-8） 為了得到位置矢量 BP和 AP之間的變換關系，只需坐標系 B 在坐標系 下 A的描述。 是 44矩陣，稱為齊次坐標變換矩陣。可以理解為坐標系

5、 B在固定坐 標系 A中的描述。 7 2.3齊次坐標變換 坐標變換（ 2-8）可以寫成以下形式 1101 PPP B Bo AA B A R （ 2-9） 將位置矢量用 41矢量表示，增加 1維的數(shù)值恒為 1，我們?nèi)匀挥迷?來的符號表示 4維位置矢量并采用以下符號表示坐標變換矩陣 10 Bo AA BA B RT P （ 2-10 ） PP BABA T （ 2-11） TAB 齊次坐標變換的主要作用是表達簡潔，同時在表示多個坐標變換 的時候比較方便。 1.齊次變換 8 2.齊次變換算子 在機器人學中還經(jīng)常用到下面的變換，如圖 2-8，矢量 AP1沿矢量 AQ平移至的 AQ終點，得一矢量 AP

6、2。已知 AP1和 AQ求 AP2的過程稱之為 平移變換，與前面不同，這里只涉及單一坐標系。 A O A Q A P 2 A P 1 A P 1 圖 2-6平移算子 QPP AAA 12 （ 2-12） 可以采用齊次變換矩陣表示平移變換 12 )( PQP AAA T r a n s （ 2-13） )( QATrans 稱為平移算子，其表達式為 1)( 0 QQ A A IT r a n s （ 2-14） 其中 I是 33單位矩陣。例如若 AQ=ai+bj+ck， 其中 i、 j和 k分別表示坐標系 A三個坐標軸的 單位矢量，則平移算子表示為 1000 100 010 001 ),( c

7、b a cbaT r an s 9 X A Y A A P 2 Z A A P 1 q 同樣，我們可以研究矢量在同一坐標系下的旋轉(zhuǎn) 變換，如圖 2-9， AP1繞 Z軸轉(zhuǎn) q角得到 AP2。則 圖 2-7旋轉(zhuǎn)算子 12 ),( PP AA zR o t q （ 2-20） Rot(z,q)稱為旋轉(zhuǎn)算子，其表達式為 1000 0100 00 00 ),( qq qq q cs sc zR o t （ 2-21） 同理，可以得到繞 X軸和 Y軸的旋轉(zhuǎn)算子 1000 00 00 0001 ),( qq qq q cs sc xR ot 1000 00 0010 00 ),( qq qq q cs s

8、c yR ot 10 定義了平移算子和旋轉(zhuǎn)算子以后，可以將它們復合實現(xiàn)復雜的映射 關系。變換算子與前面介紹的坐標變換矩陣形式完全相同，因為所有描 述均在同一坐標系下，所以不需上下標描述（坐標系）。 21AAP T P （ 2-23） TAB ABR BoAP PP BABA T 21AAP T P 齊次坐標變換總結(jié)： 表示坐標系 B在坐標系 A下的描述， 的各列是坐標系 B三個坐標軸方向的單位矢量， 而表示坐標系 B原點位置 。 2. 它是不同坐標系間的坐標變換。如 3.它是同一坐標系內(nèi)的變換算子。 齊次坐標變換是復雜空間變換的基礎，必須認真理解和掌握。具體應 用的關鍵是理解它代表的是上面三種

9、含義的哪一種，而不是簡單的套用 公式！ 1. 它是坐標系的描述。 如圖 2-10表示的三個坐標系，已知坐標系 A、 B和 C之間的變換矩陣 和 位置 矢量 CP，求在坐標系 A下表示同一個點的 位置矢量 AP。 11 3.復合變換 復合變換主要有兩種應用形式，一種是建立了多個坐標系描述機器人 的位姿，任務是確定不同坐標系下對同一個量描述之間的關系；另一種是 一個空間點在同一個坐標系內(nèi)順序經(jīng)過多次平移或旋轉(zhuǎn)變換，任務是確定 多次變換后點的位置。 A C O B O A A P C P B O C 圖 2-10 復合坐標變換 TAB TBC PP CBCB T PPP CBCABBABA TTT

10、（ 2-24） （ 2-25） TTT BCABAC 根據(jù)坐標變換的定義得 （ 2-26） 12 X Y Z u v w (a) ZY順序旋轉(zhuǎn) X Y Z u v w (b) Y Z順序旋轉(zhuǎn) 圖 2-11旋轉(zhuǎn)順序?qū)?變換結(jié)果影響 例 2-3已知點 u=7i+3j+2k，先對它進行繞 Z軸旋轉(zhuǎn) 90o 的變換得點 v，再對點 v進行繞 Y軸旋轉(zhuǎn) 90o的變換得 點 w，求 v和 w。 1 2 7 3 1 2 3 7 1000 0100 0001 0010 )90,( uv ozR o t 1 3 7 2 1 2 7 3 1000 0001 0010 0100 )90,( vw oyR o t 如

11、果只關心最后的變換結(jié)果，可以按下式計算 ( , 9 0 ) ( , 9 0 ) ( , 9 0 )o o oR o t y R o t y R o t zw v u 0 0 1 0 7 2 1 0 0 0 3 7 0 1 0 0 2 3 0 0 0 1 1 1 計算結(jié)果與前面的相同，稱 R= Rot(y,90o) Rot(z,90o) 為復合旋轉(zhuǎn)算子。 13 注：固定坐標系變換，矩陣乘的順序“自右向左” 如果改變旋轉(zhuǎn)順序，先對它進行繞 y軸旋轉(zhuǎn) 90o，再繞 z軸旋轉(zhuǎn) 90o，結(jié) 果如圖 2-11b所示。比較圖 2-11a和圖 2-11b可以發(fā)現(xiàn)最后的結(jié)果并不相同， 即旋轉(zhuǎn)順序影響變換結(jié)果。

12、從數(shù)學角度解釋就是矩陣乘法不滿足交換率， Rot(y,90o) Rot(z,90o) Rot(z,90o) Rot(y,90o)。 和 ， 求 和 給定 計算 14 2.4物體的變換和變換方程 TAB TBA 已知坐標系 B相對坐標系 A的描述 求 坐標系 A相對坐標系 B的描述 一種直接的方法是矩陣求逆，另一種方法是根據(jù)變換矩陣的特點直 接得出逆變換。后一種方法更簡單方便。 即齊次變換的求逆問題。 TAB TBA 等價為：已知 RAB BoAP RBA AoBP 是坐標系 B的原點在 坐標系 B中的描述，顯然為零矢量。 由 （ 2-28）式得 15 根據(jù)前面的討論，旋轉(zhuǎn)矩陣關系為 TABAB

13、BA RRR 1 （ 2-27） 將坐標變換用于坐標系 B的原點得 AoBBoABABoB R PPP （ 2-28） BoBP B B A A T AA o A B o B B oRR P P P（ 2-29） 逆變換可以直接用正變換的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣表示 10 Bo ATA B TA BB A RRT P （ 2-30） 16 A沿 xA平移 3個單位，再繞新的 zA 軸轉(zhuǎn) 180o得 B 1 8 0 1 8 0 0 1 0 0 1 8 0 1 8 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 A B cs R s c 因此 1 0 0 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

14、A BT B沿 z B平移 2個單位，然后繞 yB軸轉(zhuǎn) 90o再繞新 xB軸轉(zhuǎn) 150o得 C 31 22 33 11 2 2 2 2 31 22 90 0 90 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 15 0 15 0 0 1 0 0 0 90 0 90 0 15 0 15 0 1 0 0 0 1 0 0 B C cs R c s s c s c 圖 2-12楔形塊角點坐標 系 例 2-4， 如圖 2-12給出的楔形塊角點坐標系，求齊次坐標變換 ,A B A B C CT T T, 3311 2 2 2 2 33 11 2 2 2 2 1 0 0 3 0 0 0 3 0 1

15、 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 2 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A A B C B CT T T 因此 A沿 xA和 zA平移 3和 2，然后繞 yA軸轉(zhuǎn) 90 ，再繞新 xA軸轉(zhuǎn) -30 得 C 也可以按以下方法計算 31 22 33 11 2 2 2 2 31 22 9 0 0 9 0 1 0 0 0 1 0 0 3 0 3 0 9 0 0 9 0 0 3 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 A C cs R c s s c s c 17 事實上，對于像本例題這種簡單的情況，可以直

16、接利用齊次坐標變換 的定義得到變換矩陣。即直接寫出坐標系 C坐標軸矢量在坐標系 A下表 示得旋轉(zhuǎn)矩陣，平移矢量為坐標系 C的原點在坐標系 A下的矢量表示。 18 變換方程 圖 2-13表示了多個坐標系的關系圖，可以用兩種不 同的方式得到世界坐標系 U下坐標系 D的描述。 B U A D C TTT ADUAUD TTTT CDBCUBUD （ 2-31） （ 2-32） 由（ 2-31）和（ 2-32）可以得到變換方程 圖 2-13坐標變換序列 可以利用變換方程 （ 2-33） 求解其中任意一個未知變換。例如，假設 除 以外其余變換均為已知，則該未知變換可以用下式計算 TU B 11U U A

17、 C BB A D D CT T T T T 在坐標系的圖形表示方法中，從一個坐標系原點指向另一個坐標系原點 的箭頭表示坐標系的描述關系。 TTT BCUBUC （ 2-35） 1U U D DC A A CT T T T （ 2-36） 19 例 2-5假設已知圖機械臂末端工具坐標系 T相對基座 坐標系 B的描述，還已知工作臺坐標系 S相對基座 坐標系 B的描述，并且已知螺栓坐標系 G相對工作 臺坐標系 S的描述。計算螺栓相對機械臂工具坐標 系的位姿。 解：添加從工具坐標系 T原點到螺栓坐標系 G原點 的箭頭，可以得到如下變換方程 TTTT TGBTSGBS （ 2-37） 螺栓相對機械臂工

18、具坐標系的位姿描述為 TTTT SGBSBTTG 1 （ 2-38） 20 x y zf f f f i j k 1.繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換 下面討論繞任意軸 f 旋轉(zhuǎn)矩陣，軸在坐標系 A下表示為 以 f 為 Z 軸建立與 A固連的坐標系 C用 n、 o和 f表示坐標系 C三個坐標 軸的單位矢量，在坐標系 A下表示為 Z A Z C X A Y A Y C X C A p f q 圖 2-18繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換 x y z x y z x y z n n n o o o f f f n i j k o i j k f i j k x x x A C y y y z z z n o f R n o f

19、n o f 因為固連的坐標系 C與 A固連，所以繞 f旋轉(zhuǎn) 等價于繞 ZC旋轉(zhuǎn)。為此我們先將 Ap在坐標系 C下 表示，再繞 ZC旋轉(zhuǎn) q 角，最后再把旋轉(zhuǎn)得到的矢量 用坐標系 A表示。 C A T ACAACRRp p p 1 ( , ) ( , ) AT ACC CR o t z R o t z Rqqp p p Ap1 = Rot(f,q) Ap 2.5通用旋轉(zhuǎn)變換 21 再將 Cp1在坐標系 A下表示 11 ( , )A A A T AAC C C CR R R o t z Rqp p p 0 ( , ) ( , ) 0 0 0 1 x y zx x x A A T C C y y y

20、 x y z z z z x y z x x y y z zx x x y y y x x y y z z z z z x y z n n nn o f cs Ro t R Ro t z R n o f s c o o o n o f f f f n c o s n c o s n c o sn o f n n o f n s o c n s o c n s o c n o f f f f qq q q q q q q q q q q q q q q q q f 1 1 1 2 2 2 3 3 3 oa n o a n o a 因此 1 2 3 x x x x x x x x x x x y

21、y x x y x y x y x z z x x z x z x z n n n c n o s n o s o o c f f n n n c n o s n o s o o c f f n n n c n o s n o s o o c f f q q q q q q q q q q q q 其中一個矢量 上式中的 n和 o各分量是未知的，需要用 f 的各分量表示 22 根據(jù)坐標系的右手規(guī)則知 no = f，叉積可以按下式計算 ( ) ( ) ( )x y z y z z y z x x z x y y x x y z n n n n o n o n o n o n o n o o o

22、o i j k n o i j k ( ) , ( ) , ( )y z z y x x y x z y x y y x zn o n o f n o n o f n o n o f 再根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性可以得 1 , 0 x x x x x x x y x y x yn n o o f f n n o o f f ( , ) , 1 x x x y z x z y x y z y y y z x x z y y z x z z f f v c f f v f s f f v f s R o t f f v f s f f v c f f v f s v c f f v f s f f v

23、f s f f v c q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q f 1 2 3 x x x x x x x x x x x y y x x y x y x y x z z x x z x z x z n n n c n o s n o s o o c f f n n n c n o s n o s o o c f f n n n c n o s n o s o o c f f q q q q q q q q q q q q x x x A C y y y z z z n o f R n o f n o f 將上式對角線相加得 r11+ r22+ r3

24、3=1+2cq cq=( r11+ r22+ r33 -1)/2 23 2.等效轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)角 前面討論了給定轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)角可以得到旋轉(zhuǎn)矩陣，那么是否任意給定的旋轉(zhuǎn) 矩陣都可以確定等效的轉(zhuǎn)軸 f和轉(zhuǎn)角 q哪？也就是兩個坐標原點重合的坐標系可以 通過繞固定軸轉(zhuǎn)一定的角度來實現(xiàn)從一個坐標系轉(zhuǎn)換到另一個坐標系。 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 x x x y z x z y A C x y z y y y z x x z y y z x z z f f v c f f v f s f f v f sr r r R r r r f f v f s f f v c f f

25、 v f s r r r f f v f s f f v f s f f v c q q q q q q q q q q q q q q q q q q 將關于對角線對稱的兩個元素分別相減得 r32-r23=2fxsq, r13-r31=2fysq, r21-r12=2fzsq 將上式平方求和得 ： 4s2q=( r32-r23)2+( r13-r31)2+(r21-r12)2 假設限定繞矢量 f 正向旋轉(zhuǎn)，且 0q180o，則 2 2 23 2 2 3 1 2 3 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) / 2s r r r r r rq 可得 q的值 q=atan(sq/cq) 24 3 2 2 3 1 3 3 1 2 1 1 2 ( ) / 2 ( ) / 2 ( ) / 2 x y z f r r s f r r s f r r s q q q 可得矢量 f 分量的值 在應用中需要注意的是，當轉(zhuǎn)角 q的值接近 0o或 180o時，方向矢量 f 各分量的值計算出現(xiàn)問題，屬于奇異情況。