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1、第八章 模態(tài)分析 2 2.1 直梁 2.1.1梁有限元模型 2.1.2節(jié)點位移與節(jié)點載荷 2.1.3單元剛度矩陣 2.1.4單元剛度矩陣的疊加 2.1.5邊界條件 2.1.6工程實例 2.2 平面剛架 2.2.1有限元法基本思想節(jié)點位移與節(jié)點載荷 2.2.2單元剛度矩陣 2.2.3單元剛度矩陣的坐標變換 2.2.4總的剛度矩陣疊加 2.2.5位移法基本方程 2.3工程實例 2.2.1有限元法基本思想節(jié)點位移與節(jié)點載荷 2.2.2單元剛度矩陣 2.2.3單元剛度矩陣的坐標變換 2.2.4總的剛度矩陣疊加 2.2.5位移 3 第一節(jié)： 模態(tài)分析的定義和目的 第二節(jié)： 對模態(tài)分析有關的概念 、 術語
2、以及 模態(tài)提取方 法的討論 第三節(jié)： 學會如何在 ANSYS中做模態(tài)分析 第四節(jié)： 做幾個模態(tài)分析的練習 第五節(jié)： 學會如何做具有預應力的模態(tài)分析 第六節(jié)： 學會如何在模態(tài)分析中利用循環(huán)對稱性 4 第一節(jié)： 定義和目的 什么是模態(tài)分析 ? 模態(tài)分析是用來確定結構的振動特性的一種技術： 自然頻率 振型 振型參與系數(shù) （即在特定方向上某個振型在多大程 度上 參與了振動） 模態(tài)分析是所有動力學分析類型的最基礎的內容。 5 模態(tài)分析的好處： 使結構設計避免共振或以特定頻率進行振動（例如揚聲器）； 使工程師可以認識到結構對于不同類型的動力載荷是如何響應 的； 有助于在其它動力分析中估算求解控制參數(shù)（如時
3、間步長）。 建議： 由于結構的振動特性決定結構對于各種動力載荷的響應 情況，所以在準備進行其它動力分析之前首先要進行模 態(tài)分析。 6 通用運動方程： 假定為自由振動并忽略阻尼： 假定為諧運動： 這個方程的根是 i， 即特征值， i 的范圍從 1到自由度 的數(shù)目， 相應的向量是 uI， 即特征向量 。 第二節(jié)： 術語和概念 02 uMK 0 uKuM tFuKuCuM 模態(tài)分析假定結構是線性的 (如 , M和 K保持為常數(shù) ) 簡諧運動方程 u = u0cos(wt), 其中 w 為自振圓周頻率 (弧度 /秒 ） 注意 : 7 特征值的平方根是 wi ， 它是結構的自然圓周頻率（弧度 / 秒），
4、并可得出自然頻率 fi = wi /2p 特征向量 ui 表示振型， 即假定結構以頻率 fi振動時的形 狀 模態(tài)提取 是用來描述特征值和特征向量計算的術語 8 在 ANSYS中有以下幾種提取模態(tài)的方法： Block Lanczos法 子空間法 PowerDynamics法 縮減法 不對稱法 阻尼法 使用何種模態(tài)提取方法主要取決于模型大?。ㄏ?對于計算機的計算能力而言）和具體的應用場合 9 模態(tài)提取方法 - Block Lanczos法 Block Lanczos 法可以在大多數(shù)場合中使用： 是一種功能強大的方法，當提取中型到大型模型（ 50.000 100.000 個自由度）的大量振型時（ 4
5、0+），這 種方法很有效； 經(jīng)常應用在具有實體單元或殼單元的模型中； 在具有或沒有初始截斷點時同樣有效。（允許提取高于 某個給定頻率的振型）； 可以很好地處理剛體振型； 需要較高的內存。 10 模態(tài)提取方法 - 子空間法 子空間法比較適合于提取類似中型到大型模型的較少 的振型 （ 40） 需要相對較少的內存； 實體單元和殼單元應當具有較好的單元形狀，要 對任何關于單元形狀的警告信息予以注意； 在具有剛體振型時可能會出現(xiàn)收斂問題； 建議在具有約束方程時不要用此方法。 11 模態(tài)提取方法 - PowerDynamics法 PowerDynamics 法適用于提取很大的模型（ 100.000個自由度
6、以 上）的較少振型 （ 20） 。這種方法明顯比 Block Lanczos 法或 子空間法快，但是： 需要很大的內存； 當單元形狀不好或出現(xiàn)病態(tài)矩陣時，用這種方法可能不收斂 ； 建議只將這種方法作為對大模型的一種備用方法。 子空間技術使用 Power求解器 (PCG)和 一直質量矩陣； 不執(zhí)行 Sturm序列檢查 (對于遺漏模態(tài) ); 它可能影響多個重復頻率 的模型； 一個包含剛體模態(tài)的模型 , 如果你使用 PowerDynamics方法 ,必須執(zhí) 行 RIGID命令 (或者在分析設置對話框中指定 RIGID設置 )。 注 : PowerDynamics方法 12 模態(tài)提取方法 - 縮減法
7、如果模型中的集中質量不會引起局部振動，例如象梁和桿那樣， 可以使用縮減法： 它是所有方法中最快的； 需要較少的內存和硬盤空間； 使用矩陣縮減法，即選擇一組主自由度來減小 K 和 M 的大 ??； 縮減 的剛度矩陣 K 是精確的，但縮減的質量矩陣 M是近 似的，近似程度取決于主自由度的數(shù)目和位置； 在結構抵抗彎曲能力較弱時不推薦使用此方法，如細長的梁 和薄殼。 注意 : 選擇主自由度的原則請參閱 . 13 模態(tài)提取方法 - 不對稱法 不對稱法適用于聲學問題（具有結構藕合作用）和其它類似 的具有不對稱質量矩陣 M和剛度矩陣 K 的問題： 計算以復數(shù)表示的特征值和特征向量 實數(shù)部分就是自然頻率 虛數(shù)部
8、分表示穩(wěn)定性，負值表示穩(wěn)定，正值表示不確定 注意 : 不對稱方法采用 Lanczos算法 ,不執(zhí)行 Sturm序列檢查 ,所 以遺漏高端頻率 . 14 模態(tài)提取方法 - 阻尼法 在模態(tài)分析中一般忽略阻尼，但如果阻尼的效果比較明顯，就要 使用阻尼法： 主要用于回轉體動力學中，這時陀螺阻尼應是主要的； 在 ANSYS的 BEAM4和 PIPE16單元中，可以通過定義實常數(shù)中 的 SPIN（ 旋轉速度，弧度 /秒）選項來說明陀螺效應； 計算以復數(shù)表示的特征值和特征向量。 虛數(shù)部分就是自然頻率； 實數(shù)部分表示穩(wěn)定性，負值表示穩(wěn)定，正值表示不確定。 注意 : 該方法采用 Lanczos算法 不執(zhí)行 St
9、urm序列檢查 ,所以遺漏高端頻率 不同節(jié)點間存在相差 響應幅值 = 實部與虛部的矢量和 15 1. 平板中央開孔模型的模態(tài)分析 一步一步地描述了如何進行模態(tài)分析； 2. 對模型飛機幾機翼進行模態(tài)分析 第四節(jié) 模態(tài)分析的實例 16 模態(tài)分析中的四個主要步驟： 建模 選擇分析類型和分析選項 施加邊界條件并求解 評價結果 建模： 必須定義密度 只能使用線性單元和線性材料，非線性性質將被 忽略 參看第一章中有關建模要考慮的因素 作模態(tài)分析單位： 如材料是 Q235鋼：質量密度 質量密度 = 7.8 10 9 kg/mm3； 彈性模 2 105N/mm2 17 建模的典型命令流 /PREP7 ET，
10、. MP， EX， . MP， DENS， ! 建立幾何模型 ! 劃分網(wǎng)格 18 選擇分析類型和選項 3 建模 選擇分析類型和選項： 進入求解器并選擇模態(tài)分析 模態(tài)提取選項 * 模態(tài)擴展選項 * 其它選項 * *將于后面討論。 典型命令： /SOLU ANTYPE， MODAL 19 選擇分析類型和選項 模態(tài)提取選項： 方法： 建議對大多數(shù)情況使用 Block Lanczos 法 振型數(shù)目： 必須指定（縮減法除 外） 頻率范圍： 缺省為全部，但可以 限定于某個范圍內 （ FREQB to FREQE） 振型歸一化： 將于后面討論 處理約束方程： 主要用于對稱循 環(huán)模態(tài)中 （以后討論） 典型命令
11、 MODOPT， . 20 選擇分析類型和選項 振型歸一化： 因為自由度解沒有任何實際意義，它只表明了振型，即各 個節(jié)點相對于其它節(jié)點是如何運動的； 振型可以或者相對于質量矩陣 M或者相對于單位矩陣 I 進行歸一化：。 對振型進行相對于質量矩陣 M的歸一化處理是缺省選 項，這種歸一化也是譜分析或將接著進行的振型疊加分 析所要求的 如果想較容易的對整個結構中的位移的相對值進行比較 ，就選擇對振型進行相對于單位矩陣 I進行歸一化 21 選擇分析類型和選項 模態(tài)擴展： 對于縮減法而言，擴展意味著從縮減振型中計算出全部振 型； 對于其它方法而言，擴展意味著將振型寫入結果文件中； 如果想進行下面任何一項
12、工作，必須擴展模態(tài)： 在后處理中觀察振型； 計算單元應力； 進行后繼的頻譜分析。 典型命令： MXPAND， . 22 選擇分析類型和選 項 模態(tài)擴展 （接上頁）： 建議： 擴展的模態(tài)數(shù)目應當與提取的模態(tài)數(shù)目相等，這 樣做的代價最小。 23 選擇分析類型和選項 其它分析選項： 集中質量矩陣： 主要用于細長梁或薄殼，或者波傳播問題； 對 PowerDynamics 法，自動選擇集中質量矩陣。 預應力效應： 用于計算具有預應力結構的模態(tài)（以后討論）。 阻尼： 阻尼僅在選用阻尼模態(tài)提取法時使用； 可以使用阻尼比 阻尼和 阻尼； 對 BEAM4 和 PIPE16 單元，允許使用陀螺阻尼。 24 選擇分
13、析類型和選項的典型命令 LUMPM， OFF or ON PSTRES， OFF or ON ALPHAD， . BETAD， . DMPRAT， . 25 施加邊界條件并求解 3 建模 3 選擇分析類型和選項 施加邊界條件并求解： 位移約束： 下面討論 外部載荷： 因為振動被假定為自由振動，所以忽略外部載 荷。然而， ANSYS程序形成的載荷向量可以在隨后的模態(tài) 疊加分析中使用 求解：以后討論 26 施加邊界條件并求解 位移約束： 施加必需的約束來模擬實際的固定情況； 在沒有施加約束的方向上將計算剛體振型； 不允許有非零位移約束。 典型命令 : DK， 或 D或 DSYM DL， . DA，
14、 . 27 施加邊界條件并求解 位移約束（接上頁）： 對稱邊界條件只產生對稱的振型，所以 將會丟失一些振型。 對稱邊界 反對稱邊界 完整模型 28 施加邊界條件并求 解 位移約束（接上頁）： 對于一個平板中間有孔的模型，全部模型和四分之一模型 的最小非零振動頻率如下所示。在反對稱模型中，由于沿 著對稱邊界條件不為零，所以它丟失了頻率為 53Hz的振型 。 29 施加邊界條件并求 解 求解： 通常采用一個載荷步； 為了研究不同位移約束的效果，可以采用多 載荷步（例如，對稱邊界條件采用一個載荷 步，反對稱邊界條件采用另一個載荷步）。 典型命令 : SOLVE 30 觀察結果 3 建模 3 選擇分析
15、類型和選項 3 施加邊界條件并求解 觀察結果 進入通用后處理器 POST1 列出各自然頻率 觀察振型 觀察模態(tài)應力 31 觀察結果 列出自然頻率： 在通用后處理器菜單中選擇 “ Results Summary”； 注意，每一個模態(tài)都保存在單獨的子步中。 典型命令 : /POST1 SET， LIST 32 觀察結果 觀察振型： 首先采用“ First Set”、 “ Next Set” 或“ By Load Step” 然后繪制模態(tài)變形圖： shape： General Postproc Plot Results Deformed Shape 注意圖例中給出了振型序 號 （ SUB = ） 和
16、頻率 （ FREQ = ）。 33 觀察結果 觀察振型 （接上頁）： 振型可以制作動畫： Utility Menu PlotCtrls Animate Mode Shape. 34 觀察結果的典型命令 SET， 1， 1 ! First mode ANMODE， 10， .05 ! 動畫 10幀 ， 幀間 間隔 0.05秒 SET， 1， 2 ! 第二模態(tài) ANMODE， 10， .05 SET， 1， 3 ! 第三模態(tài) ANMODE， 10， .05 35 模態(tài)應力： 如果在選擇分析選項時激活了單元應力計算選項，則可 以得到模態(tài)應力 應力值并沒有實際意義，但如果振型是相對于單位矩陣 歸一的，
17、則可以在給定的振型中比較不同點的應力，從 而發(fā)現(xiàn)可能存在的應力集中。 典型命令 : PLNSOL， S， EQV ! 畫 von Mises應力等值圖 36 相對于單位 矩陣歸一的 振型 37 模態(tài)分析步驟 3 建模 3 選擇分析類型和選項 3 施加邊界條件并求解 3 觀察結果 38 第五節(jié) 有預應力的模態(tài)分析 什么是有預應力的模態(tài)分析？ 為什么要做有預應力的模態(tài)分析 ? 具有預應力結構的模態(tài)分析； 同樣的結構在不同的應力狀態(tài)下表現(xiàn)出不同的動力特性。 例如，一根琴弦隨著拉力的增加，它的振動頻率也隨之 增大。 渦輪葉片旋轉時，由于離心力引起的預應力的作用，它 的自然頻率逐漸具有增大的趨勢。 為了
18、恰當?shù)卦O計這些結構，必須要做具有預應力和無預 應力的模型的模態(tài)分析。 39 有預應力的模態(tài)分析步驟 三個主要步驟： 建模 在靜態(tài)分析中給模型施加預應力 做具有預應力的模態(tài)分析 建模： 與普通模態(tài)分析要考慮的問題一樣 必須定義密度 40 建模的典型命令流 /PREP7 ET， . MP， EX， . MP， DENS， ! 建立幾何模型 ! 劃分網(wǎng)格 41 有預應力的模態(tài)分析步驟 Pre-stress the Model 3 建模 在靜態(tài)分析中給模型施加預應力選擇 分析類型和選項： 必須激活預應力 選項。 載荷： 施加引起預應力的載荷。 后處理： 觀察結果，確認已經(jīng)施加 了合適的載荷。 42 有
19、預應力的模態(tài)分析步驟 典型命令 /SOLU ANTYPE， STATIC ! 靜力分析 PSTRES， ON ! 激活預應力效應 ! 加載 . ! 求解 SOLVE ! 結果處理 /POST1 PLDISP， 2 PLNSOL， S， EQV FINISH 43 給模型施加預應力 44 有預應力的模態(tài)分 析 3 建模 3 在靜態(tài)分析中給模型施加預應力 做具有預應力的模態(tài)分析： 除了在分析選項中必須激活預應 力效果選項外，其它步驟與普通 模態(tài)分析的步驟一樣。 45 有預應力的模態(tài)分析步驟 -典型命令 /SOLU ANTYPE， MODAL MODOPT， MXPAND， PSTRES， ON S
20、OLVE 46 具有預應力的平板 無預應力的平板 比較： 47 /POST1 SET， LIST SET， 1， n ! n 是模態(tài)號 PLDISP， 2 FINISH 有預應力的模態(tài)分析步驟 -典型命令 48 有預應力的模態(tài)分析步驟 3 建模 3 在靜態(tài)分析中給模型施加預應力 3 做具有預應力的模態(tài)分析 49 有預應力的模態(tài)分析地實例 在以下的實例中，學員給如圖所示的盤片施加預應力，然 后計算它的自然頻率。如果時間允許，計算沒有預應力的 盤片的自然頻率和振型。 詳細情況請參考動力學實例補充材料。 50 第六節(jié) 循環(huán)對稱結構的模態(tài)分析 什么是循環(huán)對稱結構的模態(tài)分析 ? 利用循環(huán)對稱的模態(tài)分析；
21、 可以只模擬結構的一個扇形區(qū)，然后觀察整個結構的振型 。 節(jié)省了建模時間 不需要模擬整個結構。 節(jié)省了計算時間和硬盤空間 只需要較少的單元和自 由度。 應用： 可用于任何具有循環(huán)對稱的結構：如渦輪、葉輪。 51 循環(huán)對稱結構的模態(tài)分析步驟 七個主要步驟： 基本扇區(qū)的建模 確定循環(huán)對稱平面 復制一個基本扇區(qū) 在兩個扇區(qū)上施加邊界條件 指定分析類型和選項 用 CYCSOL命令求解 將求解結果擴展到 3600，對結果進行評價 52 循環(huán)對稱結構的模態(tài)分析 基本扇區(qū)的建模 基本扇區(qū)： 必須在全局柱坐標系中： X為 徑向， Y 沿著 向， Z 為軸 向 循環(huán)對稱面 （或邊）： 必須要有相匹配的節(jié)點分 布
22、，可以通過規(guī)定線的分 布來保證這一點 可以是彎曲的 只要 360/是整數(shù)， 扇區(qū)角 可以是任何值 53 建模的典型命令流 (接上頁 ) /PREP7 ET， . MP， EX， . MP， DENS， ! 建立幾何模型 ! 劃分網(wǎng)格 54 循環(huán)對稱結構的模態(tài)分析 指定循環(huán)對稱面 3 基本扇區(qū)的建模 指定循環(huán)對稱面： 沿著最小的 角選擇節(jié)點。 創(chuàng)建節(jié)點組： Utility Menu Select Comp/Assembly Create Component 盡管不需要對對應的邊建立節(jié)點 組，但這樣做可能有用。 確認在完成確定循環(huán)對稱面這一 步時選擇了所有有關項。 Components ND0 a
23、nd ND36 55 典型命令 ： NSEL， ! 選擇一個對稱面 CM， name， NODE ! Name是組名 NSEL， ALL ! 選擇所有節(jié)點 56 循環(huán)對稱結構的模態(tài)分析 復制一個基本扇區(qū) 3 基本扇區(qū)的建模 3 指定循環(huán)對稱面 復制一個基本扇區(qū)： 循環(huán)對稱結構的模態(tài)分析 需要兩個相同 的基本扇區(qū) 確認選擇了基本扇區(qū)中的全部節(jié)點和單元 運行宏 CYCGEN Preprocessor Cyclic Sector 僅僅復制了有限元元素實體，并沒有復制 固體模型 57 典型命令： ALLSEL CYCGEN 58 3 基本扇區(qū)的建模 3 指定循環(huán)對稱面 3 復制一個基本扇區(qū) 在兩個扇區(qū)
24、上施加邊界條件： 主要是位移約束； 僅在各節(jié)點上施加約束（因為第二個扇區(qū)只包括節(jié)點和單 元）； 根據(jù)位置選擇節(jié)點，而不是根據(jù)編號； 不需要施加對稱邊界條件（除非是進行靜態(tài)分析以施加預 應力）。 循環(huán)對稱結構的模態(tài)分析 在兩個扇區(qū)上施加邊界條件 59 典型命令 : CSYS， 1 NSEL， LOC， D， ALL， NSEL， ALL 60 3 基本扇區(qū)的建模 3 指定循環(huán)對稱面 3 復制一個基本扇區(qū) 3 在兩個扇區(qū)上施加邊界條件 指定分析類型和選項： 模態(tài)分析 選項： 建議使用 Block Lanczos 法； 提取的節(jié)點數(shù)目（ NMODE） 是節(jié)徑數(shù)（以后解釋）； 約束方程處理 - 以后討
25、論； 擴展的模態(tài)數(shù)目應和提取的模態(tài)數(shù)目一樣多。 61 典型命令 : /SOLU ANTYPE， MODAL MODOPT， LANB， 5， ， 2 ! 5階模態(tài) ， 精確的拉格朗日方法 MXPAND， 5 62 處理約束方程方法： 大約有幾百個甚至幾千個約束方程，在循環(huán)對稱面上回自 動產生； 缺省的處理約束方程法是直接消去法，但這種方法的效果 可能并不好； 建議使用拉格朗日乘子法，有兩個選項： 快速求解法 是快速的，但對于高階頻率可能給不出精 確的特征值； 精確求解法 是精確的，但是要慢一些。 63 循環(huán)對稱結構的模態(tài)分析 用 CYCSOL命令求解 3 基本扇區(qū)的建模 3 指定循環(huán)對稱面 3
26、 復制一個基本扇區(qū) 3 在兩個扇區(qū)上施加邊界條件 3 指定分析類型和選項 用 CYCSOL命令求解 CYCSOL 是一個能產生必需的約束方程 并得到模態(tài)解的宏； 菜單路徑是： Solution Modal Cyclic Sym NMODE modes are extracted for each nodal diameter. Explained next. 64 典型命令 : CYCSOL， 0， 4， 10， ND0 ! 節(jié)徑 0-4， 10 扇區(qū) ， 組件 ND0 FINISH 65 節(jié)徑 振動中位移為零的線 一條節(jié)徑通常在周向引起一個振動波，即一條橫穿零位 移平面的線，兩條節(jié)徑引起的兩
27、個振動波，如此類推； 每條節(jié)徑有許多振型，應當注意一條給定節(jié)徑的高階振 型可能在周向出現(xiàn)更多的振動波。 66 一條節(jié)徑 注意，下面的位移 UZ等值線圖中有一條零位移 的徑向線，右圖表示的是振型的側視圖。 67 兩條節(jié)徑 68 三條節(jié)徑 69 四條節(jié)徑 70 零節(jié)徑 （軸對稱模型） 71 為什么節(jié)徑范圍很重要 ? 由于只模擬了一個基本扇區(qū)，所以 ANSYS需 要知道將要提取哪些振型。是提取對某一給 定節(jié)徑的所有振型還是提取所給節(jié)徑范圍內 的前幾階振型？ 結構的低階振型通常是前幾節(jié)徑的前幾階振 型； 通常，只需對前面少數(shù)幾條節(jié)徑提取少數(shù)幾 階振型。 72 循環(huán)對稱結構的模態(tài)分析 將求解結果擴展到
28、360， 對結果進行評價。 3 基本扇區(qū)的建模 3 指定循環(huán)對稱面 3 復制一個基本扇區(qū) 3 在兩個扇區(qū)上施加邊界條件 3 指定分析類型和選項 3 用 CYCSOL命令求解 將求解結果擴展到 360 ， 對結果進行評價。 進入后處理器 （ POST1） 四個主要步驟： 列出自然頻率 說明為了擴展至 360所需的扇區(qū)數(shù)量 讀入所需振型的結果 對此振型做動畫 73 列出頻率： General Postproc Results Summary 每一條節(jié)徑都作為一個單獨的載荷步進行保存 節(jié)徑 0， 模態(tài) 1-5 節(jié)徑 1， 模態(tài) 1-5 節(jié)徑 2， 模態(tài) 1-5 節(jié)徑 3， 模態(tài) 1-5 節(jié)徑 4，
29、模態(tài) 1-5 典型命令： /POST1 SET， LIST 74 說明為了擴展至 360所需的扇區(qū)數(shù)量： 輸入命令 EXPAND， n ， 其中 n是扇區(qū)數(shù)量 ； 在讀入結果時，實際擴展即已完成。 使用 SET命令或菜單中的 “ By Load Step”， 可以讀入所 需振型。 節(jié)徑。 LSTEP=1 意味著零節(jié)徑 振型數(shù)目 典型命令 : EXPAND， 10 ! 如果建立了一個 36度扇區(qū)模型 SET， 1， 2 ! 節(jié)徑為 0， 模態(tài) 2 75 制作振型動畫： PlotCtrls Animate Mode Shape. 典型命令： ANMODE， 10， 0.05 76 77 78 79 80 注意，頻率較低的振型是 每條節(jié)徑的前幾階振型； 左表采用 36對稱循環(huán)的 模型，具有 560個單元， 1960個自由度。右表采用 的完整模型，具有 2800個 單元， 18560個自由度； 在一臺 PC機上，對這兩種 模型的計算時間分別為 37 秒和 75.3秒； 結果文件大小分別為 1.3Mb和 4.2Mb。 36 對稱模型 完整模型 比較循環(huán)對稱解和完整模型解： 兩種求解法中頻率吻合的很好； 81 循環(huán)對稱結構模態(tài)分析的實例 在這個實例中，只需要模擬它的一個 齒
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