線性代數(shù) 第4章 向量空間 - 習題詳解

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1、 第4章 向量空間 4.1 向量及其線性組合 練習4.1 1. 設(shè) 求及. 解 2. 設(shè) ,求. 其中 解 由得 3. 將線性方程組 寫成向量形式及矩陣形式. 解 向量形式： 矩陣形式： 4. 設(shè)是已知列向量，若，記矩陣，求線性方程組的一個解. 解 由得方程組的一個解為 5. 問是否可由向量組線性表示？其中 （1） （2） 解 （1）令 由 得有唯一解，從而可由向量組唯一線性表示： （2）令 由 得無解，從而不能由向量組線性表示. 6. 已知 （1）取何值時，不能由的線性

2、表示？ （2）取何值時，可由唯一線性表示式？并寫出表示式. 解 令，考察方程組是否有解. （1）當時，方程組無解，故不能由的線性表示. （2）當時， 繼續(xù)進行初等行變換 得方程組有唯一解： 故可由的唯一線性表示. 表示式為： 7. 用標準坐標向量證明：如果對任意向量有，則是零矩陣. 證 設(shè)是矩陣. 特別地取，則 即. 8. 設(shè)向量組可由向量組線性表示如下： 寫出形如（4.5）的矩陣形式. 解 9. 設(shè) 證明向量組可由向量組線性表示，但向量組不能由向量組線性表示. 證 令， 由 知向量組可由向量組線性表示.

3、 由 知都不能由向量組線性表示，故向量組不能由向量組線性表示. 10. 設(shè) 證明向量組與向量組等價. 方法1 令. 由 知向量組可由向量組線性表示. 知向量組可由向量組線性表示. 所以. 方法2 令，則 ， 記，根據(jù)行等價矩陣的行向量組等價，由上知 所以. 4.2 向量組的線性相關(guān)性 練習4.2 1. 證明：含有零向量的向量組必線性相關(guān). 證 不妨設(shè)向量組為，其中，則 根據(jù)定義線性相關(guān). 2. 證明：含兩個向量的向量組線性相關(guān)的充要條件是它們的分量對應成比例. 問含三個向量的向量組線性相關(guān)的充要條件是不是它們對應的分量

4、成比例？ 證 設(shè)且線性相關(guān). 于是存在不全為零的數(shù)使得，不妨設(shè)，從而，即 即與的對應分量成比例. 反之，如果，則,即，故線性相關(guān). 由三個向量構(gòu)成的向量組如果對應分量成比例，則顯然線性相關(guān). 但線性相關(guān)，它們的對應分量不一定成比例. 如 或 3. 判別下列向量組的線性相關(guān)性： （1）， （2） （3） 解（1） 令，由，知是可逆矩陣，故其列向量組線性無關(guān). （2）類似（1），由 ，得線性相關(guān). (3) 易知向量組 線性無關(guān)，而向量組是向量組的加長向量組，故也線性無關(guān). 4. 設(shè), (1) 問為何值時, 向量組線性相關(guān)？ (2) 問為何

5、值時, 向量組線性無關(guān)？ 解 令，計算得 （1）當時，是不可逆矩陣，其列向量組線性相關(guān). （2）當時，是可逆矩陣，其列向量組線性無關(guān). 5. 證明由階梯矩陣的非零行構(gòu)成的向量組一定線性無關(guān). 證 不妨設(shè)階梯矩陣 其中. 考察下面方程組 顯然該方程組只有零解，故線性無關(guān). 4.3 向量組的秩 練習4.3 1. 設(shè) 求向量組的秩及其一個極大無關(guān)組, 并把其余向量用所求的極大無關(guān)組線性表示. 解 因此是的一個最大無關(guān)組，且 ， 2. 設(shè)向量組 的秩為2，求. 解 記，由于，所以線性相關(guān)，也線性相關(guān). 由 得. 由 得.

6、 3. 證明極大無關(guān)組的定義4.5與定義4.6的等價性. 證 （定義4.5定義4.6） 設(shè)是中任意個向量. 由定義4.5（2）知可由線性表示，由定理4.9，線性相關(guān)，即定義4.6（2）成立. （定義4.6定義4.5）設(shè)是中任意一個向量. 則是個向量，由定義4.6（2），線性相關(guān)，又線性無關(guān)，再由唯一表示定理，可由線性表示，即定義4.5（2）成立. 4.4 矩陣的秩 練習4.4 1. 求下面矩陣的秩 （1），（2）（其中互不相等）. 解 （1）由得 （2）記，由于范德蒙行列式，得 2. （1）設(shè)是矩陣，且，寫出的等價標準形； （2）設(shè)是矩陣，且，寫出的等價標準形.

7、 解 （1），（2） 3. 設(shè) （1）求一個矩陣使得，且; （2）求一個矩陣使得，且. 解 （1）求解方程組得兩個線性無關(guān)的解 令 則，即為所求. （2）解得一個解，解得一個解 令 則，即為所求. 4. 設(shè)，若是可逆矩陣，則. 證 5. 證明：. 方法1 設(shè) ,, 不妨設(shè)是的列向量組的極大無關(guān)組，是的列向量組的極大無關(guān)組. 顯然的列向量可由線性表示，于是 的列秩 證明： 方法2 由 得，從而（用到例題的結(jié)論） 6. 用等價標準形定理證明：的充要條件是 其中. 證 設(shè)，由等價標準形定理，存在可逆矩陣，

8、使得 令是的第一列，是的第一行，顯然，上式就是. 反之，如果，則 4.5 向量空間 練習4.5 1. 設(shè) 證明是的子空間, 不是的子空間. 證 是齊次線性方程組的解集，是非齊次線性方程組的解集，同例題的證明一樣. 2. 設(shè) 證明是的子空間，并求的維數(shù)及的一個基. 證 把中向量改寫為 則，又線性無關(guān)，所以是的一個基，. 3. 設(shè) 求兩個不同的基, 并分別求在所求的基下的坐標. 解 易知，又線性無關(guān)，線性無關(guān)，所以與都是的基. 解方程組得 于是在基下的坐標是. 解方程組得 于是在基下的坐標是. 4. 設(shè)

9、 證明：. 證 只需證 由 知可由線性表示. 由 知可由線性表示. 所以. 5. 已知的兩個基為 及 求由基到基的過渡矩陣. 解 由 得 由基到基的過渡矩陣為 4.6 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 練習4.6 1. 求齊次線性方程組 兩個不同的基礎(chǔ)解系，并寫出通解. 解 記系數(shù)矩陣為，則 同解方程為 分別取得，得基礎(chǔ)解系為 分別取得，得基礎(chǔ)解系為 通解為 或 2. 求一個齊次線性方程組，使它的基礎(chǔ)解系為 解 設(shè)所求方程組為，由題設(shè).記，則即，這說明的列都是方程組的解. 解方程組，

10、即 得基礎(chǔ)解系為 ， 令，即 所求方程組為，即 3. 求下面非齊次方程組的一個解及對應的齊次方程組的基礎(chǔ)解系 解 對增廣矩陣初等行變換化最簡階梯形 等價方程組為 令得方程組的一個解 對應的齊次方程組的等價方程組為 令得基礎(chǔ)解系 4. 設(shè)，求使得方程組有解的所有向量. 解 向量是的列向量的線性組合，即 5. 設(shè)是非齊次方程組的個解向量，令 證明: （1）是非齊次方程組的解的充要條件是； （2）是齊次方程組的解的充要條件是. 證 （1） 是的解 () （2） 是的解 ()

11、 6. 設(shè), 是非齊次方程組的3個解向量, 并且 求方程組的通解. 解 由知，知的基礎(chǔ)解系只含一個向量，取 則是的基礎(chǔ)解系. 從而非齊次方程組的通解為 ，（） 7. 設(shè)矩陣, 其中線性無關(guān), , 向量. 求線性方程組的通解. 解 由假設(shè)易知，從而的基礎(chǔ)解系只含一個向量. 由 得為的基礎(chǔ)解系.由 得為的一個解. 于是的通解是 習題四 1. 設(shè)都是維向量，可由線性表示，但不能由線性表示，證明：可由線性表示. 證 因為可由線性表示，設(shè) 又因為不能由線性表示，所以，因此 即可由線性表示. 2. 設(shè) 確定常數(shù), 使向量

12、組可由向量組線性表示, 但向量組不能由向量組線性表示. 解 記，，由于不能由線性表示，所以，從而 得或. 當時，，故可由線性表示，但不能由線性表示. 所以符合題意. 當時，由 知不能由線性表示，與題設(shè)矛盾. 綜上，. 3. 設(shè)（）線性相關(guān), 線性無關(guān), 討論: （1）能否由線性表示; （2）能否由線性表示. 方法1 （1）因為線性無關(guān)，故線性無關(guān). 又因為線性相關(guān)，由唯一表示定理，可由唯一表示. （2）設(shè)能由線性表示 由（1），又能由線性表示，故也能由線性表示，從而線性相關(guān)，這與假設(shè)矛盾. 故不能由線性表示. 方法2 由假設(shè) ， （

13、1） 由 得 由唯一表示定理，能由唯一表示. （2）由(1)，，而 故 不能由線性表示. 4. 設(shè), （）, , , 證明向量組 線性無關(guān). 證 設(shè) 上式兩邊左乘得，由于，得，因此 上式兩邊左乘，類似可推出. 進而再推出. 5. 設(shè), （）, 如果 , , 證明線性無關(guān). 證 由題設(shè) 設(shè) 兩邊左乘得 再左乘得 由得，往上逐一代入. 故線性無關(guān). 6. 設(shè)向量組線性無關(guān), 能由線性表示, 而不能由線性表示, 證明: （1）向量組線性無關(guān). （2）對, 向量組線性無關(guān). 證 （1）由于

14、線性無關(guān)，而不能由線性表示，故線性無關(guān). 否則，由唯一表示定理，能由唯一表示，與假設(shè)矛盾. （2）由（1） 再由可由線性表示，得 從而 線性無關(guān). 7. 設(shè)（）且, 證明： (1) 不能由線性表示； (2) 如果線性無關(guān), 則也線性無關(guān). 證 (1) 反證. 設(shè)可由線性表示 兩邊左乘得，這與矛盾. (2) 反證. 如果線性相關(guān)，則由唯一表示定理，由唯一表示. 與(1)矛盾. 8. 已知線性無關(guān), 試問常數(shù)滿足什么條件時, 向量組 線性無關(guān)？ 方法1設(shè) 整理得 由于線性無關(guān)，故上式又等價于 線性無關(guān)的

15、充要條件是上面方程組只有零解. 即 方法2 記. 寫成矩陣形式 由例4.14， 線性無關(guān) 9. 已知向量組（）線性無關(guān). 設(shè) 試討論向量組的線性相關(guān)性. 證 把題設(shè)寫成矩陣形式 其中 經(jīng)計算 同上一題完全類似，有兩種方法. 結(jié)論是 線性無關(guān)為奇數(shù)時 線性相關(guān)為偶數(shù)時 10. 設(shè)是滿足的兩個非零矩陣，證明的列向量組線性相關(guān), 且的行向量組線性相關(guān). 方法1 的列向量都是方程組的解，又為非零矩陣，說明存在非零解，所以，從而的列向量組線性相關(guān). 考慮，又知的列向量組即的行向量組線性相關(guān). 方法2 由例題， 又，所以，于是

16、的列向量組線性相關(guān)，且的行向量組線性相關(guān). 11. 證明：. 方法1 把用初等行變換化為階梯矩陣，設(shè) 其中的行向量都是非零行向量. 則 顯然上式右邊也是階梯形矩陣，從而 方法2 設(shè)，有子式，有子式，因此有子式，從而 又 所以 12. 設(shè)是階方陣的伴隨矩陣, 證明： 證 當時，，由行列式的展開定理：，立即知是可逆矩陣，即. 當時，的所有階子式都等于零，這時是零矩陣，故. 當時，，由行列式的展開定理 由例題 再由知有一個階子式不等于零，故至少有一個元素不為零，因此. 綜上，. 13.設(shè), 證明存在矩陣, 使. 方

17、法1 由題設(shè)和例題，對任意的，線性方程組都有解. 特別地取為標準單位向量，方程組 的解記為，令 則 易知 證法2 由題設(shè)（此時），故只用列變換就可將化為標準形，即存在可矩陣使得 把分塊，，則 易知 14. 證明Sylvester不等式: 方法1 設(shè) 由等價標準形定理知有可逆矩陣使 因此 移項得，即 15. 設(shè)，證明. 證法1 記，則 再由習題13，存在矩陣使得. 在兩邊左乘得 從而 綜上，. 證法2 設(shè)是階矩陣，，由Sylvester不等式 從而 16. 設(shè)階矩陣滿

18、足，證明 證 由和例題 又 綜上. 17. 證明滿秩分解定理: 設(shè), 則有如下分解： 其中. 方法1 由等價標準形定理，存在可逆矩陣和使得 令 則，且顯然有. 方法2 不妨設(shè)的列向量組的極大無關(guān)組為，并記矩陣 則的所有列向量都可由線性表示，即存在矩陣使得 又 同理. 18. 證明：. 證 設(shè)，的滿秩分解為 由Sylvester不等式 19. 設(shè)都是的子空間, 令 , 證明與都是的子空間. 舉例說明 不是的子空間. 證 易（略） 20. 證明基的擴張定理定理4.14： 設(shè)是

19、的一個線性無關(guān)組, , 則存在個向量, 使得成為的一個基. 證 由于，故不是的基，從而至少有一個向量不能由線性表示. 則必線性無關(guān)（否則，由唯一表示定理得出矛盾）. 如果，則證畢. 否則，如果，同上知，存在向量使得線性無關(guān). 依此類推，得證. 21. 若矩陣滿足 則稱是嚴格對角占優(yōu)矩陣. 證明嚴格對角占優(yōu)矩陣必是可逆矩陣. 證 反證. 假設(shè)是不可逆矩陣, 則有非零解, 記一個非零解為. 再記 考察的第個方程 即 兩邊取絕對值 這與假設(shè)矛盾. 因此是可逆矩陣. 22. 證明方程組一定有解. 證 只需證方程組系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等. 由例

20、題 故 從而方程組一定有解. 23. 設(shè)與都是元的齊次方程組, 證明下面三個命題等價： （1）與同解； （2）； （3）的行向量組與的行向量組等價. 證 記（I），（II），（III） （1）（2） 由于（I）的解都是（II）的解，所以（I）的解也都是（III）的解. 又顯然（III）的解都是（I）的解. 因此，（I）與（III）同解. 同樣的道理，（II）與（III）也是同解的. 因此它們基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)相等，即 于是 （2）（3） 命題（2）等價于 由定理4.3，的列向組與的列向量組等價. 即的行向量組與的行向量組等價. （3）（

21、1） 這是顯然. 24．設(shè)均是階的方陣，證明的充要條件是方程組與方程組同解. 證 （）顯然的解必是的解. 又，的基礎(chǔ)解系也是的基礎(chǔ)解系. 所以，方程組與方程組同解. （）易 25. 若階矩陣的前個列向量線性相關(guān)，后個列向量線性無關(guān)，，證明： （1）方程組必有無窮多解； （2）若是的任一解，則. 證 （1）由, 知是的一個解. 又，故有無窮多解. （2）線性相關(guān)，存在不全為零的數(shù)使 說明是基礎(chǔ)解系. 的通解為 26. 設(shè)線性方程組 (I) (II) 證明：方程組（I）有解方程組（II）無解. 證 記方程組（I）為，則方程組（II）可寫成

22、 易知 這樣 (II)無解 （I）有解 27. 設(shè)線性方程組 (I) (II) (III) 證明：方程組（I）有解方程組（II）的解都是方程組（III）的解. 證 記， ，， 則三個方程可寫為 (I) ，(II) ，(III) 因此 (I)有解(由例5.2) （II）的解都是（III）的解 28. 設(shè)齊次方程組 解空間的維數(shù)是2, 求其一個基礎(chǔ)解系. 解 由知，系數(shù)矩陣的秩. 由，得. 原方程組的等價方程組為 取 得一個基礎(chǔ)解系為 29. 設(shè)四元齊次線性方程組 (I) 還知道另一齊次線性

23、方程組(II)的通解為 求方程組（I）與（II）的公共解. 解法1 將方程組(II)的通解 代入組方程組(I)得到關(guān)于的線性方程組 令，則，故方程組(I)與方程組(II)的公共解為 （） 解法2 易求方程組(I)的基礎(chǔ)解系為 ， 其通解為 令兩個方程組的通解相等 得關(guān)于的方程組 解之得 因此兩個方程組公共解為 30. 設(shè), , 證明：時, 齊次方程組 的一個基礎(chǔ)解系為 ，（） 其中為的元的代數(shù)余子式（）. 證 由行列式展開定理 （） 所以（）是齊次方程組的解（共個）. 由齊次方程組系數(shù)矩陣的秩為，所以齊次

24、方程組基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為. 再由的個行向量的轉(zhuǎn)置線性無關(guān). 綜上可知，是齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系. 31. 設(shè), 是非齊次方程組的一個特解, 是其對應的齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系. 證明 是解集的一個極大無關(guān)組, 從而. 證 記 顯然中的向量都是的解，即. 下面證明線性無關(guān). 設(shè) 把上式整理為 上式兩邊左乘得 由得 往上代入得 由線性無關(guān)性得 再往上代入又得. 這說明是線性無關(guān)的向量組. 下面再證明中的任一向量都可由線性表示. 由于中的任一向量都可寫為 即 這說明中的任一向量都可由線性表示. 綜上，向量組是解集的一個極大無關(guān)組，. 32. 已知 是方程組 的基礎(chǔ)解系. 證明 是方程組 的基礎(chǔ)解系. 證 記矩陣 ， 則方程組（I）和（II）可分別寫為 （I） 和 （II）（） 因為是方程組的基礎(chǔ)解系，所以，從而線性無關(guān). 而且，線性無關(guān)，. 因此，方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為. 由假設(shè) 知是方程組的個線性無關(guān)的解. 因此，就是方程組的一個基礎(chǔ)解系.