第二章軸向拉伸和壓縮

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1、第二章 軸向拉伸和壓縮 知識要點(diǎn)1.軸向拉伸(壓縮)的力學(xué)模型構(gòu)件特征構(gòu)件為等截面直桿。受力特征外力或外力的合力作用線與構(gòu)件的軸線重合。變形特征桿件軸線在受力后均勻伸長(縮短)，即桿件兩橫截面沿桿軸線方向產(chǎn)生相對的平行移動。2軸向拉伸(壓縮)時，橫截面上的內(nèi)力軸力(1)內(nèi)力的定義 由外力作用引起的構(gòu)件內(nèi)部相互之間的作用力。(2)截面法 截面法是求內(nèi)力的一般方法。在需求內(nèi)力的截面處，用一假想平面，沿該截面將桿件截開，取其一部分，將棄去部分對留下部分的作用，代之以內(nèi)力，然后考慮留下部分的平衡，由平衡條件求出該截面上的未知力。(3)軸力 軸向拉、壓時，桿件橫截面上的內(nèi)力，以表示，沿桿件軸線方向。(4

2、)軸力的正負(fù)號規(guī)定 以拉力為正，壓力為負(fù)。(5)軸力圖 表示各橫截面上的軸力沿桿件軸線方向變化規(guī)律的圖線。3軸向拉伸(壓縮)時橫截面上的應(yīng)力(1)應(yīng)力的定義由外力作用所引起的內(nèi)力密度。(2)應(yīng)力的特征應(yīng)力被定義在物體的假想平面或邊界上的一點(diǎn)處。應(yīng)力的量綱為單位面積上的力，應(yīng)力的單位為，或記做Pa(3)軸向拉伸(壓縮)時橫截面上的應(yīng)力應(yīng)力分布規(guī)律：對于等截面直桿，正應(yīng)力在整個截面上均勻分布計算公式： 4軸向拉伸(壓縮)時，斜截面上的應(yīng)力(1)斜截面上的應(yīng)力正應(yīng)力 切應(yīng)力 (2)最大、最小應(yīng)力 ， ， 5。軸向拉伸(壓縮)時的強(qiáng)度低碳鋼的靜拉伸試驗彈性變形與塑性變形a彈性變形：解除外力后，能完全消

3、失的變形。b塑性變形：解除外力后，不能消失的永久變形。變形的四個階段彈性變形階段、屈服階段、強(qiáng)化階段、局部變形階段。力學(xué)性能指標(biāo)a. 強(qiáng)度指標(biāo)：比例極限-應(yīng)力和應(yīng)變成正比時的最高應(yīng)力值彈性極限-只產(chǎn)生彈性變形的最高應(yīng)力值。屈服極限-應(yīng)力變化不大，應(yīng)變顯著增加時的最低應(yīng)力值。強(qiáng)度極限-材料在斷裂前所能承受的最大應(yīng)力值。 b彈性指標(biāo)：彈性模量E= c塑性指標(biāo)：延伸率 截面收縮率 d冷作硬化：材料經(jīng)過預(yù)拉至強(qiáng)化階段，卸載之后，再受拉力時,呈現(xiàn)比例極限提高，塑性降低的現(xiàn)象。 (2)軸向拉伸(壓縮)時的強(qiáng)度條件構(gòu)件的最大應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力 許用應(yīng)力是材料容許承受的最大工作應(yīng)力 強(qiáng)度計算的三類問題

4、 強(qiáng)度較核 截面設(shè)計 許用荷載計算 (由計算) 6軸向拉伸(壓縮)時的變形與位移 (1)變形的定義 受力物體形狀改變時,兩點(diǎn)之間線距離或兩正交直線之間夾角的改變，前者稱為線變形，后者稱為角變形。 (2)軸向拉(壓)時的變形 縱向變形 縱向應(yīng)變 胡克定律 或 胡克定律的適用條件.應(yīng)力不超過材料的比例極限，即材料處于彈性范圍；.在計算的長度范圍內(nèi)，,均為常數(shù)。橫向變形 橫向應(yīng)變 泊松比 ,恒為負(fù)值 位移的計算 受力物體形狀改變時，相對于某參考坐標(biāo)系，線距離，或一線段方向改變的角度，物體上一點(diǎn)位置改變的直線距離，或一線段方向改變的角度。 位移的計算 選取參考坐標(biāo)系。計算桿件的變形量。根據(jù)變形的相容性

5、(變形相容的條件)作位移圖(或結(jié)構(gòu)的變形圖),由位移的幾何關(guān)系計算位移值。 習(xí)題詳解1 試求下圖所示各桿11和22橫截面上的軸力，并作軸力圖。 解 如圖所示。解除約束，代之以約束反力，作受力圖，如圖所示。利用靜力學(xué)平衡條件，確定約束反力的大小和方向，并標(biāo)示在圖中。作桿左端面的外法線，將受力圖中各力標(biāo)以正負(fù)號，凡與外法線指向一致的力標(biāo)以正號，反之標(biāo)以負(fù)號。軸力圖是平行于桿軸線的直線。軸力圖線在有軸向力作用處，要發(fā)生突變，突變量等于該處作用力的數(shù)值。對于正的外力，軸力圖向上突變，對于負(fù)的外力，軸力圖向下突變，如題圖所示。截面1和截面2上的軸力分別為和 。解題步驟與題相同，桿的受力圖和軸力圖如圖、所

6、示。截面1和截面2上的軸力分別為 ， 解題步驟與相同，桿的受力圖和軸力圖如圖和所示。截面1上的軸力為，截面2上的軸力為。解題步驟與題相同，桿的受力圖和軸力圖如圖和所示。截面1上的軸力為，截面2上的軸力為。2 試求題圖所示等直桿橫截面11、22和33上的軸力，并作軸力圖。若橫截面面積，試求各橫截面上的應(yīng)力。 解 如圖所示。首先解除桿的約束，代之以約束反力，利用靜力學(xué)平衡條件，確定約束反力的大小和方向，作受力圖，如圖所示。然后作桿左端面的外法線，將受力圖中各外力標(biāo)以正負(fù)號，凡與外法線指向一致的力，標(biāo)以正號，反之標(biāo)以負(fù)號。最后，自左向右作軸力圖。軸力圖是平行于桿軸的直線，在有軸向外力作用處，軸力圖將

7、發(fā)生突變，對應(yīng)于正的外力，軸力圖將向上跳，對應(yīng)于負(fù)的外力，軸力圖將下跌，上跳或下跌的量，等于對應(yīng)的外力數(shù)值。軸力圖如圖所示。截面1上的軸力，截面2上的軸力。各橫截面上的應(yīng)力分別為 3 試求圖所示階梯狀直桿橫截面l1、22和33上的軸力，并作軸力圖。若橫截面面積，并求各橫截面上的應(yīng)力。 解 如圖所示。首先解除桿的約束，并代之以約束反力，作受力圖，如圖所示。利用靜力學(xué)平衡條件，確定約束反力的大小和方向，并標(biāo)示在受力圖中。作桿左端面的外法線，將受力圖中各外力標(biāo)以正負(fù)號：凡指向與外法線的正向相同者，標(biāo)以正號，反之標(biāo)以負(fù)號，如圖所示。作軸力圖，軸力圖是與桿軸平行的直線，在有軸向外力作用處，軸力圖要發(fā)生突

8、變，突變量等于對應(yīng)處的外力數(shù)值，對應(yīng)于正的外力，軸力圖上跳，對應(yīng)于負(fù)的外力，軸力圖下跌，上跳和下跌量與對應(yīng)的外力數(shù)值相等，如圖所示。由軸力圖可知，截面1-1上的軸力，截面2-2上的軸力，截面3-3上的軸力。 各截面上的應(yīng)力分別為4 如圖所示是一混合屋架結(jié)構(gòu)的計算簡圖。屋架的上弦用鋼筋混凝土制成。下面的拉桿和中間豎向撐桿用角鋼構(gòu)成，其截面均為兩個的等邊角鋼。已知屋面承受集度為的豎直均布荷載。試求拉桿和橫截面上的應(yīng)力。解 作受力圖解除圖所示屋架結(jié)構(gòu)的約束，代之以支座反力，作受力圖，如圖所示 求支座反力 利用靜力學(xué)平衡原理， ， ， 及可得 ， (3)計算拉桿的軸力取半個屋架為研究對象，作受力圖，如

9、圖所示，由靜力學(xué)平衡方程， 及，得 計算拉桿的軸力取鉸接點(diǎn) 為研究對象，作受力圖，如圖所示，由靜力學(xué)平衡方程 ， 及，得(5)計算拉桿和橫截面上的應(yīng)力查文獻(xiàn)1中附錄型鋼表，等邊角鋼的截面積，所以拉桿和橫截面上的應(yīng)力5 石砌橋墩的墩身高 。其橫截面尺寸如圖所示。如荷載，材料的密度，試求墩身底部的橫截面上的壓應(yīng)力。解 (1)計算橋墩自重由橋墩高，材料密度，橫截面面積 可得橋墩自重 (2)計算橋墩底部截面上的軸力解除地面對橋墩的約束，代之以約束反力，如圖所示，則橋墩的軸力等于約束反力，并有 (3)橋墩底部橫截面上的壓應(yīng)力 （壓）6 如圖所示拉桿承受軸向拉力，桿的橫截面面積。如以表示斜截面與橫截面的夾

10、角，試求當(dāng)時各斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力，并用圖表示其方向。解 拉桿橫截面上的正應(yīng)力應(yīng)用斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力公式可得它們的方向被分別表示在圖、和中。7 一根等直桿受力如圖所示。已知桿的橫截面面積和材料的彈性模量。試作軸力圖，并求桿端點(diǎn)的位移。 解 首先解除約束，代之以約束反力，作受力圖，如圖所示。利用靜力學(xué)平衡條件確定約束反力的大小和方向，并標(biāo)示在受力圖中。再以桿左端的外法線為標(biāo)準(zhǔn)，將受力圖中各外力標(biāo)以正負(fù)號，凡與的指向一致的外力，標(biāo)以正號，反之標(biāo)以負(fù)號。最后，自左向右作軸力圖。軸力圖是平行于桿軸線的直線，在有外力作用處，軸力圖線發(fā)生突變，突變量等于對應(yīng)外力的數(shù)值，對應(yīng)于正號的外力，軸力圖上

11、跳，對應(yīng)于負(fù)號的外力，軸力圖下跌，如圖所示。根據(jù)軸力圖，應(yīng)用胡克定律，計算桿端的位移為 8 一木樁受力如圖所示。柱的橫截面為邊長的正方形，材料可認(rèn)為符合胡克定律，其彈性模量。如不計柱的自重，試求： 作軸力圖；(2)各段柱橫截面上的應(yīng)力；(3)各段柱的縱向線應(yīng)變；(4)柱的總變形。 解 (1)作軸力圖 解除處約束，代之以約束反力，應(yīng)用靜力學(xué)平衡條件，確定約束反力的大小和方向，作受力圖，如圖所示。以截面的外法線為標(biāo)準(zhǔn)，將受力圖中各力標(biāo)以正負(fù)號，凡是和的指向一致的外力，標(biāo)以正號，反之標(biāo)以負(fù)號，自下向上畫軸力圖。軸力圖是平行于木樁軸線的直線，在有外力作用處，將發(fā)生突變，突變量等于對應(yīng)的外力數(shù)值，對應(yīng)正

12、號的外力，軸力圖向右突變，對應(yīng)負(fù) 號的外力，軸力圖向左突變，如圖所示。 (2)計算各段柱橫截面上的應(yīng)力 。(3)計算各段柱的線應(yīng)變 應(yīng)用胡克定律，各段柱的線應(yīng)變?yōu)?(4)計算柱的總變形 9 一根直徑、長的圓截面桿，承受軸向拉力，其伸長。試求桿橫截面上的應(yīng)力與材料的彈性模量。 解 解法一 應(yīng)用胡克定律確定材料的彈性根據(jù)軸向拉伸桿的應(yīng)力公式，桿橫截面上的應(yīng)力為 解法二 先計算桿的應(yīng)力和應(yīng)變再應(yīng)用胡克定律確定材料的彈性模量E=10 (1)試證明受軸向拉伸(壓縮)的圓截面桿橫截面沿圓周方向的線應(yīng)變等于直徑方向的線應(yīng)變 (2)一根直徑為的圓截面桿，在軸向拉力作用下，直徑減小，如材料的彈性橫量，泊松比，試

13、求軸向拉力(3)空心圓截面鋼桿，外直徑，內(nèi)直徑，材料的松比。當(dāng)其受軸向拉伸時，已知縱向線應(yīng)變，試求其壁厚。解 (1)設(shè)圓截面的直徑為，則其周長，在軸向力作用下，其徑向線應(yīng)變?yōu)橹芟蚓€應(yīng)變?yōu)?所以，證明了徑向線應(yīng)變等于周向線應(yīng)變，即 由波松比的定義及，可得 應(yīng)用胡克定律可確定圓截面上的應(yīng)力 所以，軸向拉力 (3)由縱向線應(yīng)變和泊松比可計算出徑向線應(yīng)變 受拉伸后，空心圓截面的內(nèi)、外直徑分別變?yōu)樗?，變形后的壁?11受軸向拉力作用的箱形薄壁桿如圖所示。已知該桿材料的彈性常數(shù)，試求與兩點(diǎn)的距離改變量。解 解法一 變形前，兩點(diǎn)間的距離為橫截面上的應(yīng)力 桿的縱向應(yīng)變 桿的橫向應(yīng)變 變形后變?yōu)?，變?yōu)椋c兩點(diǎn)

14、間的距離 變形后之間距離改變量解法二 變形前兩點(diǎn)間的距離為橫截面上的正應(yīng)力 桿的縱向應(yīng)變 桿的橫向應(yīng)變 變形后兩點(diǎn)間距離的改變量可12如圖所示的結(jié)構(gòu)中，為水平放置的剛性桿，桿的 材料相同，其彈性模量，已知，。試求點(diǎn)水平位移和垂直位移。解 解法1 將桿截開，三桿內(nèi)的軸力分別為，如圖所示，利用靜力學(xué)原理可得， 可得 ，因桿不受力，所以在外力作用下，桿不變形，只是隨桿的變形而繞鉸接點(diǎn)作剛體轉(zhuǎn)動，如圖所示。桿和的伸長相同，由胡克定律有 變形后，剛性桿平行移動至位置。因此，只要確定了點(diǎn)的位置，剛性桿的新位置也就確定，從而力的作用的新位置，也可確定。嚴(yán)格地說點(diǎn)應(yīng)是以點(diǎn)為圓心，以桿即為半徑劃圓弧，與以點(diǎn)為圓

15、心，以桿變形后的長度即為半徑劃圓弧的交點(diǎn)。但由于是小變形，應(yīng)用威里奧特圖解法，點(diǎn)可由過點(diǎn)的垂線，與過點(diǎn)，的垂線，二垂線的交點(diǎn)便確定了點(diǎn)，如圖所示。由圖中幾何關(guān)系可知，點(diǎn)的垂直位移等于其水平位移，等于桿的伸長量。由于剛性桿因桿和的變形只作剛體平移，所以力的作用點(diǎn)的垂直位移和水平位移與點(diǎn)的位移相同，即 垂直位移朝下，水平位移向右。解法二 應(yīng)用卡氏定理 因外力作用點(diǎn)處，無水平力作用，所以計算點(diǎn)的水平位移時，須在點(diǎn)加一水平虛荷載，其數(shù)值等于零，如圖所示。利用靜力學(xué)平衡條件， ， 可得各桿的軸力 ， 結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能 應(yīng)用卡氏定理，點(diǎn)的水平位移將代入上式，得 計算點(diǎn)的垂直位移時，對圖利用靜力學(xué)平衡條件，

16、， 可得各桿的軸力 ， 結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能 應(yīng)用卡氏定理，點(diǎn)的垂直位移 13 如圖所示的實心圓鋼桿在點(diǎn)以鉸相連接，在點(diǎn)出作用有垂直向下的力。已知干的直徑分別為，鋼的彈性模量。試求點(diǎn)在鉛垂方向上的位移。解 解法一 應(yīng)用卡氏定理 取鉸接點(diǎn)作為研究得對象，作受力圖，如圖所示。利用靜力學(xué)平衡條件， 可求得各桿和的軸力分別為 ，桿系的應(yīng)變能應(yīng)用卡氏定理，力的作用點(diǎn)的垂直方向位移 解法二 單位荷載法(1)計算荷載產(chǎn)生的軸力。步驟同解法一，(2)計算單位荷載產(chǎn)生的軸力。取鉸接點(diǎn)為研究對象，在點(diǎn)作用以單位荷載，如圖所示。則由靜力學(xué)平衡條件可得桿的軸力點(diǎn)的鉛垂位移 解法三 應(yīng)用功能轉(zhuǎn)換原理計算桿的軸力，步驟與解法一

17、相同，。設(shè)在外力作用下，點(diǎn)的鉛垂方向的位移為，則外力作功為 二桿的應(yīng)變能之和為由功能轉(zhuǎn)換原理，有顯然，這一結(jié)果與解法一和解法二相同。解法四 威里奧特圖解法(1)利用靜力學(xué)平衡條件可得二桿內(nèi)的軸力(2)計算桿和的伸長。利用胡克定律，有(3)應(yīng)用威里奧特圖解法，分別過桿和伸長后的點(diǎn)和，作二桿的垂線，相交于點(diǎn)，再過點(diǎn)作水平線，與過點(diǎn)的鉛垂線相交于點(diǎn)，則，便是點(diǎn)的鉛垂位移，如圖所示。由圖中的幾何關(guān)系 ， 可得 ， ， 所以點(diǎn)的鉛垂位移 14如圖所示和兩點(diǎn)之間原有水平方向的一根直徑為的鋼絲，在鋼絲的中點(diǎn)加一豎直荷載。已知鋼絲產(chǎn)生的線應(yīng)變?yōu)椋洳牧系膹椥阅Ａ?，鋼絲的自重不計。試求：(1)鋼絲橫截面上的應(yīng)力

18、(假設(shè)鋼絲經(jīng)過冷拉，在斷裂前可認(rèn)為符合胡克定律)；(2)鋼絲在點(diǎn)下降的距離；(3)荷載的值。 解 設(shè)鋼絲未加荷載前長，加荷載后，點(diǎn)下降，鋼絲內(nèi)軸力為，則段和段的伸長量都是 二段伸長后的長度均為 由圖所示的幾何關(guān)系有式中，為鋼絲的伸長應(yīng)變，其數(shù)值甚小，所以項為高階微量，與項相比，可以略去不計，故上式可近似寫為 對圖應(yīng)用靜力學(xué)平衡條件 ，可得 由于角很小，可近似地用代替，即 將式代入式 ，得 將式代入式，得點(diǎn)的下降距離 由上式可得 已知鋼絲的應(yīng)變 所以有 鋼絲橫截面的應(yīng)力 將式代入式，得點(diǎn)的下降距離由式 ，可得荷載15 如圖所示圓錐形桿受軸向拉力作用，試求桿的伸長。 解 設(shè)距左端處的截面面積為，直

19、徑為，其上的軸力為，如圖所示。顯然，根據(jù)圖所示的幾何關(guān)系，有 所以 應(yīng)用胡克定律，桿的伸長量 16 有一等截面的鋼桿承受軸向拉力 ，已知桿的橫截面積，材料的彈性模量，試求桿中所積蓄的應(yīng)變能。 解 桿中的應(yīng)變能為17 如圖所示，兩根桿和的材料相同，其長度和橫截面面積也相同。桿承受作用在端點(diǎn)的集中荷載；桿承受沿桿長均勻分布的荷載，其集度為。試比較這兩根桿內(nèi)積蓄的應(yīng)變能。解 (1)計算桿的應(yīng)變能因桿的軸力是常數(shù)，所以，應(yīng)變能 (2)計算桿內(nèi)的應(yīng)變能 桿任意橫截面上的軸力不再是常數(shù)，如圖所示，它是截面位置坐標(biāo)的函數(shù) 所以應(yīng)變能 桿和內(nèi)積蓄的應(yīng)變能之比為18如圖所示的是一鋼筋混凝土平面閘門，其最大啟門力

20、為力為。如提升閘門的鋼質(zhì)絲杠內(nèi)徑為，鋼的許用應(yīng)力，試校核絲杠的強(qiáng)度。解 絲杠內(nèi)的軸力，所以絲杠 內(nèi)的應(yīng)力 絲杠的工作應(yīng)力，所以安全。19 簡易起重設(shè)備的計算簡圖如圖所示。已知斜桿用兩根不等邊角鋼組成，鋼的許用應(yīng)力。試問在提起重量為的重物時，斜桿是否滿足強(qiáng)度條件? 解 取滑輪中心為研究對象，假設(shè)緩慢、均勻地拉鏈條，則拉力等于被起重物的重量，受力圖如圖所示。利用靜力學(xué)平衡條件 得 查文1獻(xiàn)中附錄型鋼表，的不等邊角鋼的截面積，所以，斜桿橫截面上的應(yīng)力工作應(yīng)力，所以安全。20 如圖所示，一塊厚、寬的舊鋼板，其截面被直徑的圓孔所削弱，圓孔的排列對稱于桿的軸線。鋼板承受軸向拉力。材料的許用應(yīng)力，試校核鋼板

21、的強(qiáng)度。解 假想用一平面將鋼板從圓孔處截開，在被削弱的截面上的應(yīng)力合力必等于外力，如圖所示。鋼板內(nèi)的軸力，危險截面即被削弱的截面面積 鋼板內(nèi)的 最大的應(yīng)力為因最大應(yīng)力，所以安全。21 一結(jié)構(gòu)受力如圖所示，桿件均有兩根等邊的角鋼組成。已知材料的許用應(yīng)力，試選擇角鋼的型號。解 計算桿件的內(nèi)力，并選擇角鋼的型號將結(jié)構(gòu)拆成三部分，如圖所示。對圖列靜力學(xué)平衡方程， 解上式，得 桿的軸力為，根據(jù)強(qiáng)度條件 桿的截面應(yīng)為查文獻(xiàn)1中附錄型鋼表，的等邊角鋼截面積為，兩根的截面積，所以，桿可選兩根的等邊角鋼。 (2)計算桿內(nèi)的應(yīng)力，并選擇角鋼型號 對圖，利用靜力學(xué)平衡條件 可得 根據(jù)強(qiáng)度條件 可得桿的截面應(yīng)為查文獻(xiàn)

22、1中附錄型鋼表，的等邊角鋼截面積為，兩根的截面積，所以，桿選用兩根的等邊角鋼。 22 一桁架受力如題圖所示。各桿都由兩個等邊角鋼組成。已知材料的許用應(yīng)力，試選擇桿和的角鋼型號。解 (1)計算桿和的軸力首先取桁架整體為研究對象，解除支座約束，代之以約束反力、作受力圖，如圖所示。因結(jié)構(gòu)和荷載均對稱，所以利用靜力學(xué)平衡條件，可很容易地確定支座反力 再取結(jié)點(diǎn)為研究對象，作受力圖，如圖所示，利用靜力學(xué)平衡條件 可的桿軸力 最后取結(jié)點(diǎn)為研究對象，作受力圖，如圖所示。由靜力學(xué)平衡條件 可得桿的軸力 (2)計算桿所需的截面積根據(jù)強(qiáng)度條件 桿和需要的截面積分別為 (3)選擇桿和的角鋼型號 查文獻(xiàn)1中附錄型鋼表，

23、的等邊角鋼截面積為，的等邊角鋼的截面積為，所以桿選用兩根的等邊角鋼，桿選用兩根的等邊角鋼。23 一結(jié)構(gòu)受力如題圖所示，桿件、都由兩根不等邊角鋼組成。已知材料的許用應(yīng)力，材料的彈性模量，桿及可視為剛性的。試選擇各桿的角鋼型號，并分別求點(diǎn)，處的位移。解 (1)計算桿、的軸力 將結(jié)構(gòu)拆成兩部分，解除約束，代之以約束反力，分別作受力圖，如圖、所示。對題圖利用靜力學(xué)平衡條件， ， 可得桿和的軸力分別為 再對圖應(yīng)用靜力學(xué)平衡條件， ， 可得桿和的軸力分別為 (2)依據(jù)強(qiáng)度條件計算4根桿需要的截面積(3)選擇各桿應(yīng)選用的不等邊角鋼的型號 查文獻(xiàn)1中附錄型鋼表，的不等邊角鋼的面積，不等邊角鋼截面積，的不等邊角

24、鋼截面積為，所以，桿可選用兩根的不等邊角鋼，桿可選用兩根的不等邊角鋼，桿和均可選用兩根的不等邊角鋼。24 已知混凝土的密度，許用壓應(yīng)力。試按強(qiáng)度條件確定如圖所示的混凝土柱所需的橫截面面積和。若混凝土的彈性模量，試求柱頂?shù)奈灰啤?解 (1) 確定柱的橫截面面積 在確定柱的段截面積時，可距柱頂截取任意長度為的一段作為研究對象，作受力圖，如圖所示，柱段任一橫截面上的軸力為。柱段的危險截面為截面，該截面上的軸力為，根據(jù)強(qiáng)度條件 可確定截面的面積 解上式得 在 確定柱的段的橫截面積時，可自截面以下處，將柱截開，作受力圖，如圖所示，柱段任一橫截面上的軸力為，柱段的危險截面在處，根據(jù)強(qiáng)度條件，可確定截面的面

25、積解上式，可得 計算柱頂?shù)奈灰埔蛑妮S力是橫截面位置坐標(biāo)的函數(shù)。所以柱的變形應(yīng)利用胡克定律的積分形式計算，即 所以，柱頂?shù)奈灰茷?25 剛性梁用兩根鋼桿懸掛著，受力如圖所示。已知鋼桿的直徑分別為和，鋼的許用應(yīng)力，彈性模量。試校核鋼桿的強(qiáng)度，并計算鋼桿的變形，及兩點(diǎn)的豎直位移。 若荷載作用于點(diǎn)處，試求點(diǎn)的豎向位移。（計算表明，事實上這實線彈性體中普遍存在的關(guān)系，稱為位移互等定理。）解 校核鋼桿的強(qiáng)度解除點(diǎn)的約束，代之以約束反力，作受力圖，如圖所示。應(yīng)用靜力學(xué)平衡條件 ， ， 可得 桿件和內(nèi)的應(yīng)力分別為桿和內(nèi)的應(yīng)力均小于許用應(yīng)力，故安全。(2)計算鋼桿和的變形及點(diǎn)的豎直位移應(yīng)用胡克定律，鋼桿和的變

26、形分別為 點(diǎn)和的豎直位移分別為 ， (3)如圖所示，若將荷載作用于處，則荷載全部由桿承擔(dān)，所以，點(diǎn)的位移便是點(diǎn)的位移，并有計算在此情況下點(diǎn)的位移。由可得 顯然，與第一種情況下點(diǎn)的位移相等。26 如圖所示的三鉸拱屋架的拉桿用錳鋼桿制成。已知此材料的許用應(yīng)力，彈性模量。試按強(qiáng)度條件選擇鋼桿的直徑，并計算鋼桿的伸長。 解 首先將三鉸拱屋架簡化為圖所示的力學(xué)模型，并解除處的約束，代之以約束反力，作受力圖，如圖所示。利用靜力學(xué)平衡條件， ， ， 可得支座反力 ， 為了計算拉桿的軸力，取半個屋架為研究對象 ，作受力圖，如圖所示。利用靜力學(xué)平衡條件， 可得拉桿的軸力根據(jù)強(qiáng)度條件可確定拉桿的直徑 應(yīng)用胡克定律

27、，鋼拉桿的伸長 27 簡單桁架及其受力如圖所示，水平桿的長度保持不變，斜桿的長度可隨夾角的變化而改變。兩桿由同一材料制造，且材料的許用拉應(yīng)力與許用壓應(yīng)力相等。要求兩桿內(nèi)的應(yīng)力同時達(dá)到許用應(yīng)力，且結(jié)構(gòu)的總重量為最小時，試求：(1)兩桿的夾角值；(2)兩桿橫截面面積比值。解 取點(diǎn)為研究對象，作受力圖，如圖所示。由靜力學(xué)平衡條件 ， ， 可得， 當(dāng)兩桿的內(nèi)力同時達(dá)到許用應(yīng)力時，有將和的表達(dá)式代入以上兩式，得 ，構(gòu)成桁架的兩桿的總體積 體積是角的函數(shù)，使體積最小的條件是所以有 故結(jié)構(gòu)的總體積最小時，角，體積最小時，結(jié)構(gòu)的重量也最小。兩桿的橫截面面積之比為28 如圖所示，一內(nèi)半徑為，厚度為，寬度為的薄壁圓環(huán)。在圓環(huán)的內(nèi)表面承受均勻分布的壓力，試求：(1)由內(nèi)壓力引起的圓環(huán)徑向截面上的應(yīng)力；(2)由內(nèi)壓力引起的圓環(huán)半徑的伸長。解 用一假想的平面，將圓環(huán)沿直徑截開，作受力圖，如圖所示。利用靜力學(xué)平衡條件 ，得 圓環(huán)徑向截面上的應(yīng)力 圓環(huán)圓周方向的應(yīng)變 若在內(nèi)壓力作用下，圓環(huán)的直徑伸長為，則圓環(huán)的周長增長了 或用圓環(huán)圓周方向的應(yīng)變表示為 由式、得 ， 將代入上式，得 ， 所以內(nèi)壓引起的圓環(huán)半徑的伸長為 41