第二章軸向拉伸和壓縮

第二章 軸向拉伸和壓縮 知識要點1.軸向拉伸(壓縮)的力學模型構件特征構件為等截面直桿。受力特征外力或外力的合力作用線與構件的軸線重合。變形特征桿件軸線在受力后均勻伸長(縮短)，即桿件兩橫截面沿桿軸線方向產(chǎn)生相對的平行移動。2軸向拉伸(壓縮)時，橫截面上的內力軸力(1)內力的定義 由外力作用引起的構件內部相互之間的作用力。(2)截面法 截面法是求內力的一般方法。在需求內力的截面處，用一假想平面，沿該截面將桿件截開，取其一部分，將棄去部分對留下部分的作用，代之以內力，然后考慮留下部分的平衡，由平衡條件求出該截面上的未知力。(3)軸力 軸向拉、壓時，桿件橫截面上的內力，以表示，沿桿件軸線方向。(4)軸力的正負號規(guī)定 以拉力為正，壓力為負。(5)軸力圖 表示各橫截面上的軸力沿桿件軸線方向變化規(guī)律的圖線。3軸向拉伸(壓縮)時橫截面上的應力(1)應力的定義由外力作用所引起的內力密度。(2)應力的特征應力被定義在物體的假想平面或邊界上的一點處。應力的量綱為單位面積上的力，應力的單位為，或記做Pa(3)軸向拉伸(壓縮)時橫截面上的應力應力分布規(guī)律：對于等截面直桿，正應力在整個截面上均勻分布計算公式： 4軸向拉伸(壓縮)時，斜截面上的應力(1)斜截面上的應力正應力 切應力 (2)最大、最小應力 ， ， 5。軸向拉伸(壓縮)時的強度低碳鋼的靜拉伸試驗彈性變形與塑性變形a彈性變形：解除外力后，能完全消失的變形。b塑性變形：解除外力后，不能消失的永久變形。變形的四個階段彈性變形階段、屈服階段、強化階段、局部變形階段。力學性能指標a. 強度指標：比例極限-應力和應變成正比時的最高應力值彈性極限-只產(chǎn)生彈性變形的最高應力值。屈服極限-應力變化不大，應變顯著增加時的最低應力值。強度極限-材料在斷裂前所能承受的最大應力值。 b彈性指標：彈性模量E= c塑性指標：延伸率 截面收縮率 d冷作硬化：材料經(jīng)過預拉至強化階段，卸載之后，再受拉力時,呈現(xiàn)比例極限提高，塑性降低的現(xiàn)象。 (2)軸向拉伸(壓縮)時的強度條件構件的最大應力不得超過材料的許用應力 許用應力是材料容許承受的最大工作應力 強度計算的三類問題 強度較核 截面設計 許用荷載計算 (由計算) 6軸向拉伸(壓縮)時的變形與位移 (1)變形的定義 受力物體形狀改變時,兩點之間線距離或兩正交直線之間夾角的改變，前者稱為線變形，后者稱為角變形。 (2)軸向拉(壓)時的變形 縱向變形 縱向應變 胡克定律 或 胡克定律的適用條件.應力不超過材料的比例極限，即材料處于彈性范圍；.在計算的長度范圍內，,均為常數(shù)。橫向變形 橫向應變 泊松比 ,恒為負值 位移的計算 受力物體形狀改變時，相對于某參考坐標系，線距離，或一線段方向改變的角度，物體上一點位置改變的直線距離，或一線段方向改變的角度。 位移的計算 選取參考坐標系。計算桿件的變形量。根據(jù)變形的相容性(變形相容的條件)作位移圖(或結構的變形圖),由位移的幾何關系計算位移值。 習題詳解1 試求下圖所示各桿11和22橫截面上的軸力，并作軸力圖。 解 如圖所示。解除約束，代之以約束反力，作受力圖，如圖所示。利用靜力學平衡條件，確定約束反力的大小和方向，并標示在圖中。作桿左端面的外法線，將受力圖中各力標以正負號，凡與外法線指向一致的力標以正號，反之標以負號。軸力圖是平行于桿軸線的直線。軸力圖線在有軸向力作用處，要發(fā)生突變，突變量等于該處作用力的數(shù)值。對于正的外力，軸力圖向上突變，對于負的外力，軸力圖向下突變，如題圖所示。截面1和截面2上的軸力分別為和 。解題步驟與題相同，桿的受力圖和軸力圖如圖、所示。截面1和截面2上的軸力分別為 ， 解題步驟與相同，桿的受力圖和軸力圖如圖和所示。截面1上的軸力為，截面2上的軸力為。解題步驟與題相同，桿的受力圖和軸力圖如圖和所示。截面1上的軸力為，截面2上的軸力為。2 試求題圖所示等直桿橫截面11、22和33上的軸力，并作軸力圖。若橫截面面積，試求各橫截面上的應力。 解 如圖所示。首先解除桿的約束，代之以約束反力，利用靜力學平衡條件，確定約束反力的大小和方向，作受力圖，如圖所示。然后作桿左端面的外法線，將受力圖中各外力標以正負號，凡與外法線指向一致的力，標以正號，反之標以負號。最后，自左向右作軸力圖。軸力圖是平行于桿軸的直線，在有軸向外力作用處，軸力圖將發(fā)生突變，對應于正的外力，軸力圖將向上跳，對應于負的外力，軸力圖將下跌，上跳或下跌的量，等于對應的外力數(shù)值。軸力圖如圖所示。截面1上的軸力，截面2上的軸力。各橫截面上的應力分別為 3 試求圖所示階梯狀直桿橫截面l1、22和33上的軸力，并作軸力圖。若橫截面面積，并求各橫截面上的應力。 解 如圖所示。首先解除桿的約束，并代之以約束反力，作受力圖，如圖所示。利用靜力學平衡條件，確定約束反力的大小和方向，并標示在受力圖中。作桿左端面的外法線，將受力圖中各外力標以正負號：凡指向與外法線的正向相同者，標以正號，反之標以負號，如圖所示。作軸力圖，軸力圖是與桿軸平行的直線，在有軸向外力作用處，軸力圖要發(fā)生突變，突變量等于對應處的外力數(shù)值，對應于正的外力，軸力圖上跳，對應于負的外力，軸力圖下跌，上跳和下跌量與對應的外力數(shù)值相等，如圖所示。由軸力圖可知，截面1-1上的軸力，截面2-2上的軸力，截面3-3上的軸力。 各截面上的應力分別為4 如圖所示是一混合屋架結構的計算簡圖。屋架的上弦用鋼筋混凝土制成。下面的拉桿和中間豎向撐桿用角鋼構成，其截面均為兩個的等邊角鋼。已知屋面承受集度為的豎直均布荷載。試求拉桿和橫截面上的應力。解 作受力圖解除圖所示屋架結構的約束，代之以支座反力，作受力圖，如圖所示 求支座反力 利用靜力學平衡原理， ， ， 及可得 ， (3)計算拉桿的軸力取半個屋架為研究對象，作受力圖，如圖所示，由靜力學平衡方程， 及，得 計算拉桿的軸力取鉸接點 為研究對象，作受力圖，如圖所示，由靜力學平衡方程 ， 及，得(5)計算拉桿和橫截面上的應力查文獻1中附錄型鋼表，等邊角鋼的截面積，所以拉桿和橫截面上的應力5 石砌橋墩的墩身高 。其橫截面尺寸如圖所示。如荷載，材料的密度，試求墩身底部的橫截面上的壓應力。解 (1)計算橋墩自重由橋墩高，材料密度，橫截面面積 可得橋墩自重 (2)計算橋墩底部截面上的軸力解除地面對橋墩的約束，代之以約束反力，如圖所示，則橋墩的軸力等于約束反力，并有 (3)橋墩底部橫截面上的壓應力 （壓）6 如圖所示拉桿承受軸向拉力，桿的橫截面面積。如以表示斜截面與橫截面的夾角，試求當時各斜截面上的正應力和切應力，并用圖表示其方向。解 拉桿橫截面上的正應力應用斜截面上的正應力和剪應力公式可得它們的方向被分別表示在圖、和中。7 一根等直桿受力如圖所示。已知桿的橫截面面積和材料的彈性模量。試作軸力圖，并求桿端點的位移。 解 首先解除約束，代之以約束反力，作受力圖，如圖所示。利用靜力學平衡條件確定約束反力的大小和方向，并標示在受力圖中。再以桿左端的外法線為標準，將受力圖中各外力標以正負號，凡與的指向一致的外力，標以正號，反之標以負號。最后，自左向右作軸力圖。軸力圖是平行于桿軸線的直線，在有外力作用處，軸力圖線發(fā)生突變，突變量等于對應外力的數(shù)值，對應于正號的外力，軸力圖上跳，對應于負號的外力，軸力圖下跌，如圖所示。根據(jù)軸力圖，應用胡克定律，計算桿端的位移為 8 一木樁受力如圖所示。柱的橫截面為邊長的正方形，材料可認為符合胡克定律，其彈性模量。如不計柱的自重，試求： 作軸力圖；(2)各段柱橫截面上的應力；(3)各段柱的縱向線應變；(4)柱的總變形。 解 (1)作軸力圖 解除處約束，代之以約束反力，應用靜力學平衡條件，確定約束反力的大小和方向，作受力圖，如圖所示。以截面的外法線為標準，將受力圖中各力標以正負號，凡是和的指向一致的外力，標以正號，反之標以負號，自下向上畫軸力圖。軸力圖是平行于木樁軸線的直線，在有外力作用處，將發(fā)生突變，突變量等于對應的外力數(shù)值，對應正號的外力，軸力圖向右突變，對應負 號的外力，軸力圖向左突變，如圖所示。 (2)計算各段柱橫截面上的應力 。(3)計算各段柱的線應變 應用胡克定律，各段柱的線應變?yōu)?(4)計算柱的總變形 9 一根直徑、長的圓截面桿，承受軸向拉力，其伸長。試求桿橫截面上的應力與材料的彈性模量。 解 解法一 應用胡克定律確定材料的彈性根據(jù)軸向拉伸桿的應力公式，桿橫截面上的應力為 解法二 先計算桿的應力和應變再應用胡克定律確定材料的彈性模量E=10 (1)試證明受軸向拉伸(壓縮)的圓截面桿橫截面沿圓周方向的線應變等于直徑方向的線應變 (2)一根直徑為的圓截面桿，在軸向拉力作用下，直徑減小，如材料的彈性橫量，泊松比，試求軸向拉力(3)空心圓截面鋼桿，外直徑，內直徑，材料的松比。當其受軸向拉伸時，已知縱向線應變，試求其壁厚。解 (1)設圓截面的直徑為，則其周長，在軸向力作用下，其徑向線應變?yōu)橹芟蚓€應變?yōu)?所以，證明了徑向線應變等于周向線應變，即 由波松比的定義及，可得 應用胡克定律可確定圓截面上的應力 所以，軸向拉力 (3)由縱向線應變和泊松比可計算出徑向線應變 受拉伸后，空心圓截面的內、外直徑分別變?yōu)樗?，變形后的壁?11受軸向拉力作用的箱形薄壁桿如圖所示。已知該桿材料的彈性常數(shù)，試求與兩點的距離改變量。解 解法一 變形前，兩點間的距離為橫截面上的應力 桿的縱向應變 桿的橫向應變 變形后變?yōu)?，變?yōu)椋c兩點間的距離 變形后之間距離改變量解法二 變形前兩點間的距離為橫截面上的正應力 桿的縱向應變 桿的橫向應變 變形后兩點間距離的改變量可12如圖所示的結構中，為水平放置的剛性桿，桿的 材料相同，其彈性模量，已知，。試求點水平位移和垂直位移。解 解法1 將桿截開，三桿內的軸力分別為，如圖所示，利用靜力學原理可得， 可得 ，因桿不受力，所以在外力作用下，桿不變形，只是隨桿的變形而繞鉸接點作剛體轉動，如圖所示。桿和的伸長相同，由胡克定律有 變形后，剛性桿平行移動至位置。因此，只要確定了點的位置，剛性桿的新位置也就確定，從而力的作用的新位置，也可確定。嚴格地說點應是以點為圓心，以桿即為半徑劃圓弧，與以點為圓心，以桿變形后的長度即為半徑劃圓弧的交點。但由于是小變形，應用威里奧特圖解法，點可由過點的垂線，與過點，的垂線，二垂線的交點便確定了點，如圖所示。由圖中幾何關系可知，點的垂直位移等于其水平位移，等于桿的伸長量。由于剛性桿因桿和的變形只作剛體平移，所以力的作用點的垂直位移和水平位移與點的位移相同，即 垂直位移朝下，水平位移向右。解法二 應用卡氏定理 因外力作用點處，無水平力作用，所以計算點的水平位移時，須在點加一水平虛荷載，其數(shù)值等于零，如圖所示。利用靜力學平衡條件， ， 可得各桿的軸力 ， 結構的總應變能 應用卡氏定理，點的水平位移將代入上式，得 計算點的垂直位移時，對圖利用靜力學平衡條件， ， 可得各桿的軸力 ， 結構的總應變能 應用卡氏定理，點的垂直位移 13 如圖所示的實心圓鋼桿在點以鉸相連接，在點出作用有垂直向下的力。已知干的直徑分別為，鋼的彈性模量。試求點在鉛垂方向上的位移。解 解法一 應用卡氏定理 取鉸接點作為研究得對象，作受力圖，如圖所示。利用靜力學平衡條件， 可求得各桿和的軸力分別為 ，桿系的應變能應用卡氏定理，力的作用點的垂直方向位移 解法二 單位荷載法(1)計算荷載產(chǎn)生的軸力。步驟同解法一，(2)計算單位荷載產(chǎn)生的軸力。取鉸接點為研究對象，在點作用以單位荷載，如圖所示。則由靜力學平衡條件可得桿的軸力點的鉛垂位移 解法三 應用功能轉換原理計算桿的軸力，步驟與解法一相同，。設在外力作用下，點的鉛垂方向的位移為，則外力作功為 二桿的應變能之和為由功能轉換原理，有顯然，這一結果與解法一和解法二相同。解法四 威里奧特圖解法(1)利用靜力學平衡條件可得二桿內的軸力(2)計算桿和的伸長。利用胡克定律，有(3)應用威里奧特圖解法，分別過桿和伸長后的點和，作二桿的垂線，相交于點，再過點作水平線，與過點的鉛垂線相交于點，則，便是點的鉛垂位移，如圖所示。由圖中的幾何關系 ， 可得 ， ， 所以點的鉛垂位移 14如圖所示和兩點之間原有水平方向的一根直徑為的鋼絲，在鋼絲的中點加一豎直荷載。已知鋼絲產(chǎn)生的線應變?yōu)?，其材料的彈性模量，鋼絲的自重不計。試求：(1)鋼絲橫截面上的應力(假設鋼絲經(jīng)過冷拉，在斷裂前可認為符合胡克定律)；(2)鋼絲在點下降的距離；(3)荷載的值。 解 設鋼絲未加荷載前長，加荷載后，點下降，鋼絲內軸力為，則段和段的伸長量都是 二段伸長后的長度均為 由圖所示的幾何關系有式中，為鋼絲的伸長應變，其數(shù)值甚小，所以項為高階微量，與項相比，可以略去不計，故上式可近似寫為 對圖應用靜力學平衡條件 ，可得 由于角很小，可近似地用代替，即 將式代入式 ，得 將式代入式，得點的下降距離 由上式可得 已知鋼絲的應變 所以有 鋼絲橫截面的應力 將式代入式，得點的下降距離由式 ，可得荷載15 如圖所示圓錐形桿受軸向拉力作用，試求桿的伸長。 解 設距左端處的截面面積為，直徑為，其上的軸力為，如圖所示。顯然，根據(jù)圖所示的幾何關系，有 所以 應用胡克定律，桿的伸長量 16 有一等截面的鋼桿承受軸向拉力 ，已知桿的橫截面積，材料的彈性模量，試求桿中所積蓄的應變能。 解 桿中的應變能為17 如圖所示，兩根桿和的材料相同，其長度和橫截面面積也相同。桿承受作用在端點的集中荷載；桿承受沿桿長均勻分布的荷載，其集度為。試比較這兩根桿內積蓄的應變能。解 (1)計算桿的應變能因桿的軸力是常數(shù)，所以，應變能 (2)計算桿內的應變能 桿任意橫截面上的軸力不再是常數(shù)，如圖所示，它是截面位置坐標的函數(shù) 所以應變能 桿和內積蓄的應變能之比為18如圖所示的是一鋼筋混凝土平面閘門，其最大啟門力為力為。如提升閘門的鋼質絲杠內徑為，鋼的許用應力，試校核絲杠的強度。解 絲杠內的軸力，所以絲杠 內的應力 絲杠的工作應力，所以安全。19 簡易起重設備的計算簡圖如圖所示。已知斜桿用兩根不等邊角鋼組成，鋼的許用應力。試問在提起重量為的重物時，斜桿是否滿足強度條件? 解 取滑輪中心為研究對象，假設緩慢、均勻地拉鏈條，則拉力等于被起重物的重量，受力圖如圖所示。利用靜力學平衡條件 得 查文1獻中附錄型鋼表，的不等邊角鋼的截面積，所以，斜桿橫截面上的應力工作應力，所以安全。20 如圖所示，一塊厚、寬的舊鋼板，其截面被直徑的圓孔所削弱，圓孔的排列對稱于桿的軸線。鋼板承受軸向拉力。材料的許用應力，試校核鋼板的強度。解 假想用一平面將鋼板從圓孔處截開，在被削弱的截面上的應力合力必等于外力，如圖所示。鋼板內的軸力，危險截面即被削弱的截面面積 鋼板內的 最大的應力為因最大應力，所以安全。21 一結構受力如圖所示，桿件均有兩根等邊的角鋼組成。已知材料的許用應力，試選擇角鋼的型號。解 計算桿件的內力，并選擇角鋼的型號將結構拆成三部分，如圖所示。對圖列靜力學平衡方程， 解上式，得 桿的軸力為，根據(jù)強度條件 桿的截面應為查文獻1中附錄型鋼表，的等邊角鋼截面積為，兩根的截面積，所以，桿可選兩根的等邊角鋼。 (2)計算桿內的應力，并選擇角鋼型號 對圖，利用靜力學平衡條件 可得 根據(jù)強度條件 可得桿的截面應為查文獻1中附錄型鋼表，的等邊角鋼截面積為，兩根的截面積，所以，桿選用兩根的等邊角鋼。 22 一桁架受力如題圖所示。各桿都由兩個等邊角鋼組成。已知材料的許用應力，試選擇桿和的角鋼型號。解 (1)計算桿和的軸力首先取桁架整體為研究對象，解除支座約束，代之以約束反力、作受力圖，如圖所示。因結構和荷載均對稱，所以利用靜力學平衡條件，可很容易地確定支座反力 再取結點為研究對象，作受力圖，如圖所示，利用靜力學平衡條件 可的桿軸力 最后取結點為研究對象，作受力圖，如圖所示。由靜力學平衡條件 可得桿的軸力 (2)計算桿所需的截面積根據(jù)強度條件 桿和需要的截面積分別為 (3)選擇桿和的角鋼型號 查文獻1中附錄型鋼表，的等邊角鋼截面積為，的等邊角鋼的截面積為，所以桿選用兩根的等邊角鋼，桿選用兩根的等邊角鋼。23 一結構受力如題圖所示，桿件、都由兩根不等邊角鋼組成。已知材料的許用應力，材料的彈性模量，桿及可視為剛性的。試選擇各桿的角鋼型號，并分別求點，處的位移。解 (1)計算桿、的軸力 將結構拆成兩部分，解除約束，代之以約束反力，分別作受力圖，如圖、所示。對題圖利用靜力學平衡條件， ， 可得桿和的軸力分別為 再對圖應用靜力學平衡條件， ， 可得桿和的軸力分別為 (2)依據(jù)強度條件計算4根桿需要的截面積(3)選擇各桿應選用的不等邊角鋼的型號 查文獻1中附錄型鋼表，的不等邊角鋼的面積，不等邊角鋼截面積，的不等邊角鋼截面積為，所以，桿可選用兩根的不等邊角鋼，桿可選用兩根的不等邊角鋼，桿和均可選用兩根的不等邊角鋼。24 已知混凝土的密度，許用壓應力。試按強度條件確定如圖所示的混凝土柱所需的橫截面面積和。若混凝土的彈性模量，試求柱頂?shù)奈灰啤?解 (1) 確定柱的橫截面面積 在確定柱的段截面積時，可距柱頂截取任意長度為的一段作為研究對象，作受力圖，如圖所示，柱段任一橫截面上的軸力為。柱段的危險截面為截面，該截面上的軸力為，根據(jù)強度條件 可確定截面的面積 解上式得 在 確定柱的段的橫截面積時，可自截面以下處，將柱截開，作受力圖，如圖所示，柱段任一橫截面上的軸力為，柱段的危險截面在處，根據(jù)強度條件，可確定截面的面積解上式，可得 計算柱頂?shù)奈灰埔蛑妮S力是橫截面位置坐標的函數(shù)。所以柱的變形應利用胡克定律的積分形式計算，即 所以，柱頂?shù)奈灰茷?25 剛性梁用兩根鋼桿懸掛著，受力如圖所示。已知鋼桿的直徑分別為和，鋼的許用應力，彈性模量。試校核鋼桿的強度，并計算鋼桿的變形，及兩點的豎直位移。 若荷載作用于點處，試求點的豎向位移。（計算表明，事實上這實線彈性體中普遍存在的關系，稱為位移互等定理。）解 校核鋼桿的強度解除點的約束，代之以約束反力，作受力圖，如圖所示。應用靜力學平衡條件 ， ， 可得 桿件和內的應力分別為桿和內的應力均小于許用應力，故安全。(2)計算鋼桿和的變形及點的豎直位移應用胡克定律，鋼桿和的變形分別為 點和的豎直位移分別為 ， (3)如圖所示，若將荷載作用于處，則荷載全部由桿承擔，所以，點的位移便是點的位移，并有計算在此情況下點的位移。由可得 顯然，與第一種情況下點的位移相等。26 如圖所示的三鉸拱屋架的拉桿用錳鋼桿制成。已知此材料的許用應力，彈性模量。試按強度條件選擇鋼桿的直徑，并計算鋼桿的伸長。 解 首先將三鉸拱屋架簡化為圖所示的力學模型，并解除處的約束，代之以約束反力，作受力圖，如圖所示。利用靜力學平衡條件， ， ， 可得支座反力 ， 為了計算拉桿的軸力，取半個屋架為研究對象 ，作受力圖，如圖所示。利用靜力學平衡條件， 可得拉桿的軸力根據(jù)強度條件可確定拉桿的直徑 應用胡克定律，鋼拉桿的伸長 27 簡單桁架及其受力如圖所示，水平桿的長度保持不變，斜桿的長度可隨夾角的變化而改變。兩桿由同一材料制造，且材料的許用拉應力與許用壓應力相等。要求兩桿內的應力同時達到許用應力，且結構的總重量為最小時，試求：(1)兩桿的夾角值；(2)兩桿橫截面面積比值。解 取點為研究對象，作受力圖，如圖所示。由靜力學平衡條件 ， ， 可得， 當兩桿的內力同時達到許用應力時，有將和的表達式代入以上兩式，得 ，構成桁架的兩桿的總體積 體積是角的函數(shù)，使體積最小的條件是所以有 故結構的總體積最小時，角，體積最小時，結構的重量也最小。兩桿的橫截面面積之比為28 如圖所示，一內半徑為，厚度為，寬度為的薄壁圓環(huán)。在圓環(huán)的內表面承受均勻分布的壓力，試求：(1)由內壓力引起的圓環(huán)徑向截面上的應力；(2)由內壓力引起的圓環(huán)半徑的伸長。解 用一假想的平面，將圓環(huán)沿直徑截開，作受力圖，如圖所示。利用靜力學平衡條件 ，得 圓環(huán)徑向截面上的應力 圓環(huán)圓周方向的應變 若在內壓力作用下，圓環(huán)的直徑伸長為，則圓環(huán)的周長增長了 或用圓環(huán)圓周方向的應變表示為 由式、得 ， 將代入上式，得 ， 所以內壓引起的圓環(huán)半徑的伸長為 41