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1、湖南省十二校2013屆高三第二次考試
數學（理）試題
注意事項：
1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號寫在答題卡和本試題卷的封面上，并認真核對答題卡條形碼上的姓名、準考證號和科目。
2．選擇題和非選擇題均須在答題卡上作答，在本試題卷和草稿紙上答題無效?？忌诖痤}卡上按如下要求答題：
(1)選擇題部分請按題號用2B鉛筆填涂方框，修改時用橡皮擦干凈，不留痕跡；
(2)非選擇題部分請按題號用0．5毫米黑色墨水簽字筆書寫，否則作答無效；
(3)請勿折疊答題卡。保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔。
3．本試題卷共6頁。如缺頁，考生須及時報告監(jiān)考老師，否則后果自負。
2、4．考試結束后，將本試題卷和答題卡一并交回。
總分：150分時量：120分鐘
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將所選答案填在答題卡中對應位置．
1．已知復數，其中i是虛數單位，則z的模|z|等于
A．一2 B．3 C．4 D．2
2．已知，命題：方程=l表示橢圓，命題q：，則命題p是命題q成立的( )條件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
3．函數，的最小正周期是
A． B． C．2 D．4
4．
3、如右圖，已知三棱錐的底面是邊長為l的正三角形，其正視圖與俯視圖如圖所示，
則其側視圖的面積為
A． B． C． D．1
5．已知函數，，若存在實數a，b∈R，滿足，則a的取值范圍是
A．[1，3] B．(1，3)
C．[2一，2+] D．(2一，2+)
6．2012年6月9日，我省臨湘市部分山區(qū)遭遇歷史罕見的泥石流，大量村民房屋倒塌，災“民生活狀況困難，災情嚴重．省政府統一部署，加緊調集大量救災物質支援災區(qū)的救災工作，工作人員對6輛貨運省汽車進行編組調度，決定將這6輛汽車編成兩組，每組3輛，且甲與乙兩輛汽車不在同一小組．如果甲所在小組3輛汽車先開出，那
4、么這6輛汽車先后不同的發(fā)車順序共有
A．36種 B．108種
C．216種 D．432種
7．定義在R上的函數滿足單調遞增，如果，則的值
A．恒小于0 B．恒大于0
C．可能為0 D．可正可負
8．若表示不超過x的最大整數)，則方程的實數解的個數是
A．1 B．0 C．2 D．4
二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上．
(一)選做題(請考生在9、10、1l三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分)
9．(幾何證明選講)如圖，圓0的割線PBA
5、過圓心O，弦CD交PA
于點F，且△COF～△PDF，PB=OA=2，則．PF= ．
10．(坐標系與參數方并呈)極坐標系中，曲線l
相交于點A，B，則|AB|= ．
11．(不等式選講)已知半圓的直徑AB=2R，P是弧AB上一點，則2|PA|+3|PB|的最大值是 ．
(二)必做題(12～16題)
12．已知二項式(展開式中，前三項的二項式系數和是56，則展開式中的常數項為 ．
13．A是圓上固定的一定點，在圓上其他位置任取一點B，連接A、B兩點，它是一條弦，它的長度大于等于半徑的概率為 ．
14．為調查長沙市中學生平均每人每天參加體育
6、鍛煉時間(單位：分鐘)，
按鍛煉時間分下一列四種情況統計：①0～10分鐘；②11～20分鐘；
③21~30分鐘；④30分鐘以上．有l(wèi)0 000名中學生參加了此項活動，
下圖是此次調查中某一項的流程圖，其輸出的結果是6 200，則平均
每天參加體育鍛煉時間在0～20分鐘內的學生的頻率是 ．
15．定義：稱為n個正數的平均倒數若正項
數列的前n項的“平均倒數”為上，則數列的通項公
式為= ．
16．已知數集X={若對任意的都存在，使得下列三組向量中恰有一組共線：
①向量()與向量()；
②向量()與向量()；
③向量()與向量()，則稱x具有性質P例如(
7、1，2，4)具有性質P．
(1)若{1，3，x}具有性質P，則z的取值為
(2)若數集{l，3}具有性質P，則的最大值與最小值之積為 ．
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．(本小題滿分12分)
在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知向量，又點A(8，0)，B(n,t)C(ksin，t)(≤).
(1)若
(2)若向量與向量a共線，當k>4，且tsin取最大值為4時，求.
18．(本小題滿分12分)
已知梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB
8、、CD上的點，EF∥BC，AE--x，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如圖)
(1)當x=2時，求證：BD⊥EG；
(2)若以F、B、c、D為頂點的三棱錐的體積記為（x)，當f(x)取得最大值時，求二面角D—BF—C的余弦值．
19．(本小題滿分12分)
一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為R的函數：
(x)= x，f2(x)=x2，f3(x)=x3，f4(x)=sinx,f5(x)=cosx，f6(x)=2
(1)現從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得一個新函數，求所得函數是奇函數的概率；
(2)現從盒子中進行逐一
9、抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進行，求抽取次數}的分布列和數學期望．
20．(本小題滿分13分)
湖南某知名企業(yè)為打入國際市場，決定從A、B兩種產品中只選擇一種進行投資生產．已知投資生產這兩種產品的有關數據如下表：(單位：萬美元)
其中年固定成本與年生產的件數無關，m為待定常數，其值由生產A產品的原材料價格決定，預計m∈[6，8]．另外，年銷售x件B產品時需上交0.05x2萬美元的特別關稅．假設生產出來的產品都能在當年銷售出去．
（1）寫出該廠分別投資生產A、B兩種產品的年利潤y1，y2與生產相應產品的件數x之間的函數關系并指明其定義
10、域；
（2）如何投資才可獲得最大年利潤?請你做出規(guī)劃．．
21．（本小題滿分13分） ，
拋物線C的方程為，過拋物線C上一點P（）（x0≠0），作斜率為k1，k2的兩條直線，分別交拋物線C于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點（P、A、B三點互不相同），且滿足+．
（1）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；
（2）設直線AB上一點M滿足，證明：線段PM的中點在y軸上；
（3）當λ=l時，若點P的坐標為（1，一1），求么．PAB為鈍角時，點A的縱坐標的取值范圍。
22．（本小題滿分13分）
已知函數的定義域為[0，1]，且同時滿足：對任意若。
（1）求的最大值；
（2）試求的最大值；
（3）設數列的前n項和為Sn，且滿足求證：
湖南省十二校2013屆高三數學第二次聯考試題 理
