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1、一、二階矩陣的定義 1由4個數(shù)a，b，c，d排成的正方形數(shù)表_______ 稱為 二階矩陣,2元素全為0的二階矩陣_______稱為零矩陣，簡記為 _ 矩陣 稱為二階單位矩陣，記為 .,二、幾種特殊線性變換 1旋轉變換 直線坐標系xOy內的每個點繞原點O按逆時針方向旋 轉角的旋轉變換的坐標變換公式是 對應的二階矩陣為 ,2反射變換 平面上任意一點P對應到它關于直線l的對稱點P的線 性變換叫做關于直線l的反射 3伸縮變換 在直角坐標系xOy內將每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膋1 倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼膋2倍，其中k1，k2為非零常數(shù)， 這樣的幾何變換為伸縮變
2、換,4投影變換 設l是平面內一條給定的直線，對平面內的任意一點P 作直線l的垂線，垂足為點P，則稱點P為點P在直 線l上的投影，將平面上每一點P對應到它在直線l上的 投影P，這個變換稱為關于直線l的投影變換,5切變變換 平行于x軸的切變變換對應的二階矩陣為________， 平行于y軸的切變變換對應的二階矩陣為_______ ,三、變換、矩陣的相等 1設，是同一直角坐標平面內的兩個線性變換，如果 對平面內的任意一點P，都有 ，則稱這 兩個線性變換相等,（P）=（P）,2對于兩個二階矩陣A與B，如果它們的_________都分 別相等，則稱矩陣A
3、與矩陣B相等，記作AB.,對應元素,四、矩陣與向量的乘法 設A 規(guī)定二階矩陣A與向量的乘 積為向量________，記為 或 ，即 這是矩陣 與向量 的乘法,Aa,五、線性變換的基本性質 性質1.設A是一個二階矩陣，，是平面上的任意兩個 向量，是一個任意實數(shù)，則 (1)A() ； (2)A() . 性質2.二階矩陣對應的變換(線性變換)把平面上的直線 變成______________ 定理：設A是一個二階矩陣，，是平面上的任意兩個 向量，1，2是任意兩個實數(shù)，則 A(12)1A
4、2A.,A,AA,直線（或一點）,六、二階矩陣的乘法 1設A 則 AB,2對直角坐標系xOy內的任意向量，有A(B) .,3二階矩陣的乘法滿足結合律，即(AB)C .,4AkAl___，(Ak)lAkl.,(AB)a,(AB)C,Ak+l,1已知矩陣M 向量 ，試判 斷 (MN)與M(N)的關系，MN與NM的關系,解：(MN) M(N) 所以(MN)M(N) 又因為MN,NM ，所以MNNM.,2求圓C：x2y24在矩陣A 對應變換作用下的 曲線方程，并判斷曲線的類型,解：設P(x，y)是圓C：x2y24上的任一點，
5、P1(x，y)是P(x，y)在矩陣A 對應變換作用下新曲線上的對應點，則 將 代入x2y24，得 y24，方程 1表示的曲線是焦點為(2 ，0)，長軸長為8的橢圓,3設a，bR，若M 所定義的線性變換把直線l： 2xy70變換成另一直線l：xy70，求a，b 的值,解：取直線l：2xy70上任一點(x0,72x0)，則它在對應的變換作用下有 而點(ax0，x07b2bx0)在直線l： xy70上， 即ax0 x07b2bx07.由x0的任意性得,4.運用旋轉矩陣，求直線2xy10繞原點逆時針旋轉 45后所得的直線方程,解：旋轉矩陣 直線2xy10上任意
6、一點(x0，y0)旋轉變換后為(x0，y0)，,直線2xy10繞原點逆時針旋轉45后所得的直線 方程是 即,1二階方陣的運算關鍵是記熟運算法則 2注意運算時運算律的應用，它滿足結合律即(MN)P M(NP)(MP)N.,已知M ，求二階矩陣X，使MXN.,求二階矩陣可先設出二階矩陣X，根據(jù)矩陣乘法法則，應用待定系數(shù)法求解.,解：設X ，按題意有 根據(jù)矩陣乘法法則有,解之得,1若 ，試求x的值,解：,伸縮、反射、切變變換這三種幾何變換稱為初等變換，對應的變換矩陣為初等變換矩陣，由矩陣的乘法可以看出，矩陣的乘法對應于變換的復合，一一對應的平面變
7、換都可以看作這三種初等變換的一次或多次的復合,在直角坐標系中，已知ABC的頂點坐標為A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積這里M,因為矩陣M表示反射變換，矩陣N表示旋轉變換，所以變換后所得圖形與原圖形全等.,解：在矩陣N 的作用下，一個圖形變換為其繞原點逆時針旋轉90得到的圖形，在矩陣M 的作用下，一個圖形變換為與之關于直線yx對稱的圖形因此ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形與ABC全等，從而其面積等于ABC的面積，即為1.,2直角坐標系xOy中，點(2，2)在矩陣M 對應 變換作用下得到點(2,4)，曲線C：
8、x2y21在矩陣M 對應變換作用下得到曲線C，求曲線C的方程,解：根據(jù)題意 ，即2a4，解得a2，設曲線C變換前后對應點的坐標分別為(x，y)，(x，y)，則 代入曲線C的方程x2y21， 整理得 y2x21， 即曲線C的方程為x2 y21.,在解決通過矩陣進行平面曲線的變換時，變換矩陣可以通過待定系數(shù)法解決，在變換時一定要把變換前后的變量區(qū)別清楚，防止混淆,已知曲線C：xy1. (1)將曲線C繞坐標原點逆時針旋轉45后，求得到的曲線C的方程； (2)求曲線C的焦點坐標和漸近線方程,首先要確定能夠實施變換的矩陣，求出變換后的曲線C的方程，再研究曲線C的幾
9、何性.,解：(1)由題設條件，,變換：,即有 解得,代入曲線C的方程為y2x22， 所以將曲線C繞坐標原點逆時針旋轉45后，得到的曲線C的方程是y2x22. (2)由(1)知，只需求曲線y2x22的焦點及漸近線，由于a2b22，故c2，又焦點在y軸上，從而其焦點為(0,2)，(0，2)，漸近線方程為yx.,3已知在一個二階矩陣M的變換作用下，點A(1,2)變成了 點A(4,5)，點B(3，1)變成了點B(5,1) (1)求矩陣M； (2)若在矩陣M的變換作用下，點C(x,0)變成了點C(4， y)，求x，y.,解：(1)設該二階矩陣為 由題意得 所以解得 故M,(2)因為 解得x2，
10、y2.,矩陣變換與二階矩陣的乘法運算是高考新增內容，多考查求平面圖形在矩陣的對應變換作用下得到的新圖形，從而研究新圖形的性質，難度不大，屬中檔題，如2008江蘇高考21題.,(2008江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，設橢圓4x2y21在矩陣A 對應的變換下得到曲線F，求F的方程,解設P(x0，y0)是橢圓上任意一點，點P(x0，y0)在矩陣 A對應的變換下變?yōu)辄cP(x0，y0)，則有 即,又因為點P在橢圓上，故 從而(x0)2(y0)21. 所以，曲線F的方程為x2y21.,利用矩陣變換這一工具，建立變換前后任一點坐標間的關系，從而代入變換前的平面圖形對應的方程，求出變換后的圖形對應的方程，其實質是解析幾何中相關動點(即代入法)求曲線方程的思想，本題若改為“將橢圓4x2y21繞原點逆時針旋轉30后得到曲線F，試求F的方程”,
線性變換、二階矩陣及其乘法.ppt
