奧數(shù)第二十四講 整數(shù)的整除性

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1、教學(xué)視頻-公開課,優(yōu)質(zhì)課,展示課,課堂實(shí)錄( 第二十四講* 整數(shù)的整除性 　　整數(shù)的整除性問題，是數(shù)論中的最基本問題，也是國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽中最常出現(xiàn)的內(nèi)容之一．由于整數(shù)性質(zhì)的論證是具體、嚴(yán)格、富有技巧，它既容易使學(xué)生接受，又是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和推理能力的一個(gè)有效課題，因此，了解一些整數(shù)的性質(zhì)和整除性問題的解法是很有必要的． 　　1．整除的基本概念與性質(zhì) 　　所謂整除，就是一個(gè)整數(shù)被另一個(gè)整數(shù)除盡，其數(shù)學(xué)定義如下． 　　定義 設(shè)a，b是整數(shù)，b≠0．如果有一個(gè)整數(shù)q，使得a=bq，那么稱a能被b整除，或稱b整除a，并記作b｜a．如果不存在這樣的整數(shù)q，使得a=bq，則稱a不能被b整除，或

2、稱b不整除a，記作ba． 　　關(guān)于整數(shù)的整除，有如下一些基本性質(zhì)： 　　性質(zhì)1 若b｜a，c｜b，則c｜a． 　　性質(zhì)2 若c｜a，c｜b，則c｜(a±b)． 　　性質(zhì)3 若c｜a，cb，則c(a±b)． 　　性質(zhì)4 若b｜a，d｜c(diǎn)，則bd｜ac． 　　性質(zhì)5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，則m｜c(diǎn)． 　　性質(zhì)6 若b｜a，c｜a，則[b，c]｜a(此處[b，c]為b，c的最小公倍數(shù))．特別地，當(dāng)(b，c)=1時(shí)，bc｜a(此處(b，c)為b，c的最大公約數(shù))． 　　性質(zhì)7 若c｜ab，且(c，a)=1，則c｜b．特別地，若p是質(zhì)數(shù)，且p｜ab，則p｜a或p｜b． 　　性

3、質(zhì)8 若a≠b，n是自然數(shù)，則(a-b)｜(an-bn)． 　　性質(zhì)9 若a≠-b，n是正偶數(shù)，則(a＋b)｜(an-bn)． 　　性質(zhì)10 若a≠-b，n是正奇數(shù)，則(a＋b)｜(an＋bn)． 　　2．證明整除的基本方法 　　證明整除常用下列幾種方法：(1)利用基本性質(zhì)法；(2)分解因式法；(3)按模分類法；(4)反證法．下面舉例說明． 　　例1 證明：三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除． 　　分析 要證明一個(gè)數(shù)能被12整除但不能被24整除，只需證明此數(shù)等于12乘上一個(gè)奇數(shù)即可． 　　證 設(shè)三個(gè)連續(xù)的奇數(shù)分別為2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整數(shù))

4、，于是 　　(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1 =12(n2＋n＋1)． 　　所以 　　12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]． 　　又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相鄰的兩個(gè)整數(shù)，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶數(shù)，從而n2＋n+1是奇數(shù)，故 24 [(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]． 　　例2 若x，y為整數(shù)，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一個(gè)也能被17整除． 　　證 設(shè)u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，從上面兩式中消去y，得 3v-5u=17x．① 　　所以 17｜3v．

5、 　　因?yàn)?17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y． 　　若17｜v，同樣從①式可知17｜5u．因?yàn)?17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x＋3y． 　　q＞1．求pq的值． 　　解 若p=q，則 　　不是整數(shù)，所以p≠q．不妨設(shè)p＜q，于是 　 　　 　 　　是整數(shù)，所以p只能為3，從而q=5．所以 pq=3×5=15． 　　例4 試求出兩兩互質(zhì)的不同的三個(gè)自然數(shù)x，y，z，使得其中任意兩個(gè)的和能被第三個(gè)數(shù)整除． 　　分析 題中有三個(gè)未知數(shù)，我們設(shè)法得到一些方程，然后從中解出這些未知數(shù)． 　　最小的一個(gè)： 　　 　　y｜(y＋2x)，所以y｜

6、2x，于是 　　數(shù)兩兩互質(zhì)，所以x=1． 　　所求的三個(gè)數(shù)為1，2，3． 　　例5 設(shè)n是奇數(shù)，求證： 60｜6n-3n-2n-1． 　　分析 因?yàn)?0=22×3×5，22，3，5是兩兩互質(zhì)的，所以由性質(zhì)6，只需證明22，3，5能被6n-3n-2n-1整除即可．對于冪的形式，我們常常利用性質(zhì)8～性質(zhì)10，其本質(zhì)是因式分解． 　　證 60=22×3×5．由于n是奇數(shù)，利用性質(zhì)8和性質(zhì)10，有 22｜6n-2n，22｜3n＋1， 　　所以 22｜6n-2n-3n-1， 3｜6n-3n， 3｜2n+1， 　　所以 3｜6n-3n-2n-1，5｜6n-1，5｜3n+2n，

7、 　　所以 5｜6n-1-3n-2n． 　　由于22，3，5兩兩互質(zhì)，所以 60｜6n-3n-2n-1． 　　我們通常把整數(shù)分成奇數(shù)和偶數(shù)兩類，即被2除余數(shù)為0的是偶數(shù)，余數(shù)為1的是奇數(shù)．偶數(shù)常用2k表示，奇數(shù)常用2k+1表示，其實(shí)這就是按模2分類．又如，一個(gè)整數(shù)a被3除時(shí)，余數(shù)只能是0，1，2這三種可能，因此，全體整數(shù)可以分為3k，3k＋1，3k＋2這三類形式，這是按模3分類．有時(shí)為了解題方便，還常把整數(shù)按模4、模5、模6、模8等分類，但這要具體問題具體處理． 　　例6 若整數(shù)a不被2和3整除，求證：24｜(a2-1)． 　　分析 因?yàn)閍既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模

8、2分類與按模3分類都是不合適的．較好的想法是按模6分類，把整數(shù)分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5這六類．由于6k，6k＋2，6k＋4是2的倍數(shù)，6k＋3是3的倍數(shù)，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有時(shí)候?yàn)榱朔奖闫鹨姡渤０?k＋5寫成6k-1(它們除以6余數(shù)均為5)． 　　證 因?yàn)閍不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然數(shù)，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k與3k±1為一奇一偶(若k為奇數(shù)，則3k±1為偶數(shù)，若k為偶數(shù)，則3k±1為奇數(shù))，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)． 　　例7

9、 求證：3n+1(n為正整數(shù))能被2或22整除，但不能被2的更高次冪整除． 　　證 按模2分類．若n=2k為偶數(shù)，k為正整數(shù)，則 3n＋1=32k＋1=(3k)2＋1． 　　由3k是奇數(shù)，(3k)2是奇數(shù)的平方，奇數(shù)的平方除以8余1，故可設(shè)(3k)2=8l＋1，于是 3n＋1=8l＋2=2(4l＋1)． 　　4l＋1是奇數(shù)，不含有2的因數(shù)，所以3n＋1能被2整除，但不能被2的更高次冪整除． 　　若n=2k＋1為奇數(shù)，k為非負(fù)整數(shù)，則 3n+1=32k＋1+1=3·(3k)2＋1 　　 　=3(8l＋1)＋1=4(6l＋1)． 　　由于6l＋1是奇數(shù)，所以此時(shí)3n+1能被22整

10、除，但不能被2的更高次冪整除． 　　在解決有些整除性問題時(shí)，直接證明較為困難，可以用反證法來證． 　　例8 已知a，b是整數(shù)，a2＋b2能被3整除，求證：a和b都能被3整除． 　　證 用反證法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下兩種情況： 　　(1)a，b兩數(shù)中恰有一個(gè)能被3整除，不妨設(shè)3｜a，3b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整數(shù))，于是 a2+b2=9m2+9n2±6n+1 　　　　　=3(3m2＋3n2±2n)+1， 　　不是3的倍數(shù)，矛盾． 　　(2)a，b兩數(shù)都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，則 　　a2＋b2=(3m±1)2+(3n±1)2

11、 　　　　 =9m2±6m+1+9n2±6n＋1 　　 　　=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2， 　　不能被3整除，矛盾． 　　由此可知，a，b都是3的倍數(shù)． 　　例9 設(shè)p是質(zhì)數(shù)，證明：滿足a2=pb2的正整數(shù)a，b不存在． 　　證 用反證法．假定存在正整數(shù)a，b，使得 a2=pb2 　　令(a，b)=d，a=a1d，b=b1d，則(a1，b1)=1．所以 　 　　 　　與(a1，b1)=1矛盾． 　　例10 設(shè)p，q均為自然數(shù)，且 　　求證：29｜p． 　　證 注意到29是質(zhì)數(shù)．令a=10×11×…×19． 　　 　　　　 　　所以 ap=29q·b

12、， 　　 　　29｜a·p，29是質(zhì)數(shù)，且29a，所以29｜p． 練習(xí)二十四 　　1．求證：對任意自然數(shù)n，2×7n＋1能被3整除． 　　2．證明：當(dāng)a是奇數(shù)時(shí)，a(a2-1)能被24整除． 　　3．已知整數(shù)x，y，使得7｜(13x+8y)，求證： 　　7｜(9x＋5y)． 　　4．設(shè)p是大于3的質(zhì)數(shù)，求證：24｜(p2-1)． 　　5．求證：對任意自然數(shù)n，n(n-1)(2n-1)能被6整除． 　　6．求證：三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的立方和能被9整除． 　　7．已知a，b，c，d為整數(shù)，ab＋cd能被a-c整除，求證：ad＋bc也能被a-c整除． [文章來源：教師之家 轉(zhuǎn)載請保留出處] [相關(guān)優(yōu)質(zhì)課視頻請?jiān)L問：教學(xué)視頻網(wǎng) 教師之家-免費(fèi)中小學(xué)教學(xué)資源下載網(wǎng)(