2011-2012年高考數學 真題分類匯編 推理與證明（含解析）

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1、推理與證明 1．（2011年天津）對實數和，定義運算“”：設函數若函數的圖像與軸恰有兩個公共點，則實數的取值范圍是 A． 　　　 B． 　　 C． 　　　 D． 【答案】B 2．（2011年山東）設，，，是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若（λ∈R），（μ∈R），且,則稱，調和分割，,已知平面上的點C，D調和分割點A，B則下面說法正確的是 A．C可能是線段AB的中點 B．D可能是線段AB的中點 C．C，D可能同時在線段AB上 D．C，D不可能同時在線段AB的延長線上 【答案】D 3.（2011年湖北）若實數a,b滿足且，則稱a

2、與b互補，記，那么是a與b互補的 A．必要而不充分的條件 B．充分而不必要的條件 C．充要條件 D．即不充分也不必要的條件 【答案】C 4.（2011年福建）設V是全體平面向量構成的集合，若映射滿足：對任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意∈R，均有 則稱映射f具有性質P。 現給出如下映射： ① ② ③ 其中，具有性質P的映射的序號為________。（寫出所有具有性質P的映射的序號） 【答案】①③ 5.（2011年湖南）對于,將n 表示,當時，,當時, 為0或1．記為上

3、述表示中ai為0的個數（例如：）,故, ）,則 （1）________________;（2） ________________; 【答案】2 1093 6.（2011年四川）函數的定義域為A，若時總有 為單函數．例如，函數=2x+1（）是單函數．下列命題： ①函數=（xR）是單函數； ②若為單函數， ③若f：AB為單函數，則對于任意bB，它至多有一個原象； ④函數f（x）在某區(qū)間上具有單調性，則f（x）一定是單函數． 其中的真命題是 ．（寫出所有真命題的編號） 答案：②③④ 解析 ：①錯，，②③④正確 7.（2011年山東）設函數,觀察:

4、 根據以上事實，由歸納推理可得： 當且時， . 【答案】 8.（2011年陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此規(guī)律，第個等式為 。 【答案】 9.（2012·陜西高考卷·T11·4分） 觀察下列不等式 ， …… 照此規(guī)律，第五個不等式為 【答案】 【解析】觀察這幾個不等式可以發(fā)現左邊分母從1、2、3、4、5的平方依次增加1后的平方，分

5、子全是1，右邊分母是左邊最后一項的分母的底數，分子式左邊后兩分母底數的和，于是有： 【點評】該題主要考察歸納推理，從給出的幾個不等式的特征猜測出一般的規(guī)律正是歸納推理的本質所在. 10.（2012·天津高考卷·T14·4分） 已知函數的圖象與函數的圖象恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是_________. 【答案】（0，1）或（1，4） 【命題透析】本題考查了函數的圖象，以兩圖象相交于兩點為載體，求實數的取值范圍，意在考杳考生的數形結合思想與綜合分析問題的能力. 【思路點撥】先簡化函數為，再在同一直角坐標系下畫出兩函數的圖象，（略），在時，有兩交點的實數的取值范圍為（1，4），當時

6、，有兩交點的實數的取值范圍為，所以實數實數的取值范圍為（0，1）或（1，4）. 【技巧點撥】畫圖尋找兩圖象有兩交點的位置是解題的關鍵，其次以平行線為依據或以個別特殊點對就的斜率值作為解題的基本點. 11.（2012·重慶高考卷·T10·5分） 設平面點集，則所表示的平面圖形的面積為 （A） （B） （C） （D） [答案]D Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ x y 0 [解析] 則滿足上述條件的區(qū)域為如圖所示的圓內部分Ⅰ和Ⅲ，因為的圖象都關于直線y=x對稱，所以Ⅰ和Ⅳ區(qū)域的面積相等，Ⅱ和Ⅲ區(qū)域的面積相等，即圓內部分Ⅰ和Ⅲ的面積之和為單位圓面積的一半

7、，即 [點評]考查線性規(guī)劃中可行域的畫法，突破常規(guī)，難度較大，需要考生有扎實的基礎儲備和靈活的轉化能力；而另一難點是要有敏銳的觀察力，能看到圖象的對稱性，否則問題的求解會落入定積分的復雜運算中.所以在復習中既要重視雙基，又要善于創(chuàng)新，在變化中尋找不變. 12.（2012·山東高考卷·T16·4分） 如圖，在平面直角坐標系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0,1），此時圓上一點P的位置在（0,0），圓在x軸上沿正向滾動.當圓滾動到圓心位于（2,1）時，的坐標為______________. C D 【答案】 【解析】根據題意可知圓滾動了2單位個弧長，點P旋轉了弧度，

8、此時點的坐標為 另解1：根據題意可知滾動自圓心為（2,1）時的圓的參數方程為，且，則點P的坐標為，即. 【點評】本題考察了三角函數與向量知識的靈活應用，屬于知識點交匯處的題目.解決好本題的關鍵是充分利用圖象語言，屬于典型的數形結合法思想的應用，數形結合的重點是研究“以形助數”，這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維視野；結合新情境考查明年還會繼續(xù). 13.（2012·湖南高考卷·T16·5分） 設N=2n（n∈N*，n≥2），將N個數x1,x2,…，xN依次放入編號為1,2，…，N的N個位置，得到排列P0=x1x2…xN.

9、將該排列中分別位于奇數與偶數位置的數取出，并按原順序依次放入對應的前和后個位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個數，并對每段作C變換，得到；當2≤i≤n-2時，將Pi分成2i段，每段個數，并對每段C變換，得到Pi+1，例如，當N=8時，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置. （1）當N=16時，x7位于P2中的第___個位置； （2）當N=2n（n≥8）時，x173位于P4中的第___個位置. 【答案】（1）6；（2） 【解析】（1）當N=16時, ,可設為, ,即為, ,即, x7位于P

10、2中的第6個位置,； （2）方法同（1）,歸納推理知x173位于P4中的第個位置. 【點評】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運算能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力. 需要在學習中培養(yǎng)自己動腦的習慣，才可順利解決此類問題. 14.（2012·湖南高考卷·T11·5分） 某制藥企業(yè)為了對某種藥用液體進行生物測定，需要優(yōu)選培養(yǎng)溫度，實驗范圍定為29℃~63℃.精確度要求±1℃.用分數法進行優(yōu)選時，能保證找到最佳培養(yǎng)溫度需要最少實驗次數為_______. 【答案】７ 【解析】用分數法計算知要最少實驗次數為7. 【點評】本題考查優(yōu)選法中的分數法，考查基本運算能力. 15.（2012·重慶

11、高考卷·T16·13分） 設其中，曲線在點處的切線垂直于軸. （Ⅰ） 求的值； （Ⅱ）求函數的極值. [解析] 求導后利用幾何意義求得參數，然后根據極值的定義求解. （Ⅰ）曲線在點處的切線垂直于軸， （Ⅱ）當a=-1時，當時，解得 （舍去），因為當時，時，所以函數f(x)在x=1處取得極小值f(1)=3. [點評]考查導數的幾何意義及導數求極值，導數與函數性質的考查是高考必備問題，要熟悉他們之間的關系定理，能熟練應用導數公式和法則求解，屬中檔題. 16.（2012·山東高考卷·T18·12分） 在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，

12、∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF. （Ⅰ）求證：BD⊥平面AED； （Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值. 【解析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD, 由余弦定理可知, 即,在中，∠DAB=60°，，則為直角三角形，且.又AE⊥BD，平面AED，平面AED，且，故BD⊥平面AED； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，設，則,建立如圖所示的空間直角坐標系，，向量為平面的一個法向量. 設向量為平面的法向量，則,即， 取，則，則為平面的一個法向量. ，而二面角F-BD-C的平面角為銳角，則 二面角F-BD-C的余弦值為.

13、 【點評】本題考查本題考察了線面垂直的位置關系的判斷，和利用空間向量來求二面角的余弦問題. 明年可以結合線面平行的知識進行考察，二面角或者線面角的形式考察空間向量的應用. 17.（2012·湖南高考卷·T18·12分）如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點.[%:*中#國教~育出@版網] （Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE； （Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積. 【解析】 解法1（Ⅰ如圖（1）），連接AC，由AB=4，， Ｅ是ＣＤ的中點

14、，所以 所以 而內的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE. （Ⅱ）過點Ｂ作 由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是為直線ＰＢ與平面PAE 所成的角，且. 由知，為直線與平面所成的角. 由題意，知 因為所以 由所以四邊形是平行四邊形，故于是 在中，所以 　　　　　　　 于是 又梯形的面積為所以四棱錐的體積為 　　　　　　　　　 解法2：如圖（2），以A為坐標原點，所在直線分別為建立空間直角坐標系.設則相關的各點坐標為： （Ⅰ）易知因為 所以而是平面內的兩條相交直線，所以 (Ⅱ)由題設和（Ⅰ）知，分別是，的法向量，而PB與 所成的角和PB與所成的角相等，所以 由（Ⅰ）知，由故 解得. 又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為 . 【點評】本題考查空間線面垂直關系的證明，考查空間角的應用，及幾何體體積計算.第一問只要證明即可，第二問算出梯形的面積和棱錐的高，由算得體積，或者建立空間直角坐標系，求得高及其體積。