人教版八下數(shù)學(xué) 期中復(fù)習(xí)專題集訓(xùn) 專題集訓(xùn)三 四邊形的綜合探究題

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1、 人教版八下數(shù)學(xué) 期中復(fù)習(xí)專題集訓(xùn) 專題集訓(xùn)三 四邊形的綜合探究題 1. 鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個(gè)菱形，余下一個(gè)四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形紙片中再剪去一個(gè)菱形，又剩下一個(gè)四邊形，稱為第二次操作 ?? 依此類推，若第 n 次操作后，余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為 n 階準(zhǔn)菱形．例如：如圖，平行四邊形 ABCD 中，若 AB=1，BC=2，則平行四邊形 ABCD 為 1 階準(zhǔn)菱形． (1) 鄰邊長分別為 2 和 3 的平行四邊形是 2 階準(zhǔn)菱形嗎？說明理由： (2) 操作、探究與計(jì)算：①已知平行四邊形 ABCD 的鄰邊長分別為 1，aa>1，

2、且是 3 階準(zhǔn)菱形，請畫出平行四邊形 ABCD 及裁剪線的示意圖，并在圖形下方寫出 a 的值； ②已知平行四邊形 ABCD 的鄰邊長分別為 a，ba>b，滿足 a=6b+r，b=5r，請寫出平行四邊形 ABCD 是幾階準(zhǔn)菱形． 2. 如圖，四邊形 ABCD 是正方形，M 是 BC 邊上的一點(diǎn)，E 是 CD 邊的中點(diǎn)，AE 平分 ∠DAM． (1) 求證：AD+MC=DE+BM； (2) 若正方形的邊長是 2，求四邊形 AMCE 的面積． 3. 如圖 1，在矩形紙片 ABCD 中，AB=3?cm，AD=5?cm，折疊紙片使點(diǎn) B 落在邊 AD 上的 E 處，折痕為 PQ

3、，過點(diǎn) E 作 EF∥AB 交 PQ 于 F，連接 BF． (1) 求證：四邊形 BFEP 為菱形； (2) 當(dāng)點(diǎn) E 在 AD 邊上移動時(shí)，折痕的端點(diǎn) P，Q 也隨之移動． ①當(dāng)點(diǎn) Q 與點(diǎn) C 重合時(shí)（如圖 2），求菱形 BFEP 的邊長； ②若限定 P，Q 分別在邊 BA，BC 上移動，求出點(diǎn) E 在邊 AD 上移動的最大距離． 答案 1. 【答案】 (1) 是． 理由：因?yàn)猷忂呴L分別為 2 和 3 的平行四邊形經(jīng)過兩次操作，所剩四邊形是邊長為 1 的菱形， 所以鄰邊長分別為 2 和 3 的平行四邊形是 2 階準(zhǔn)菱形． (2) ①如圖： a=4

4、或 a=52 或 a=43 或 a=53； ② 10 階準(zhǔn)菱形， 因?yàn)?a=6b+r，b=5r， 所以 a=6×5r+r=31r． 如圖所示： 故平行四邊形 ABCD 是 10 階準(zhǔn)菱形． 2. 【答案】 (1) 延長 AE，BC 交于點(diǎn) N，過點(diǎn) A 作 AF⊥AE，交 CB 的延長線于點(diǎn) F，如圖所示， ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE=∠ENC． ∵AE 平分 ∠DAM， ∴∠DAE=∠MAE． ∴∠ENC=∠MAE， ∴AM=MN． 在 △ADE 和 △NCE 中， ∠DAE=∠CNE,∠AED=∠NE

5、C,DE=EC, ∴△ADE≌△NCEAAS， ∴AD=NC， ∴AM=MN=NC+MC=AD+MC， ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC， ∵AF⊥AE， ∴∠FAE=90°． ∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE． 在 △ABF 和 △ADE 中， ∠FAB=∠EAD,AB=AD,∠ABF=∠D=90°, ∴△ABF≌△ADEASA， ∴BF=DE，∠F=∠AED． ∵AB∥DC， ∴∠AED=∠BAE． ∵∠FAB=∠EAD=∠EAM， ∴∠AED=∠BAE=∠B

6、AM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM， ∴∠F=∠FAM， ∴AM=FM， ∴AM=FB+BM=DE+BM， ∴AD+MC=DE+BM； (2) ∵AD+MC=DE+BM， ∴AD+MC=DE+BC-MC， ∴DE=2MC， ∵ 正方形 ABCD 的邊長為 2，E 是 CD 邊的中點(diǎn)， ∴AB=BC=CD=AD=2，DE=1， ∴MC=12， ∴BM=BC-MC=2-12=32， ∴四邊形AMCE的面積=正方形ABCD的面積-△ABM的面積-△ADE的面積=2×2-12×2×32-12×2×1=32. 3. 【答案】 (1)

7、 ∵ 折疊紙片使點(diǎn) B 落在邊 AD 上的 E 處，折痕為 PQ， ∴ 點(diǎn) B 與點(diǎn) E 關(guān)于 PQ 對稱， ∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF， 又 ∵EF∥AB， ∴∠BPF=∠EFP， ∴EP=EF， ∴BP=BF=EF=EP， ∴ 四邊形 BFEP 為菱形． (2) ① ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴BC=AD=5?cm，CD=AB=3?cm，∠A=∠D=90°， ∵ 點(diǎn) B 與點(diǎn) E 關(guān)于 PQ 對稱， ∴CE=BC=5?cm， 在 Rt△CDE 中，DE=CE2-CD2=4?cm， ∴AE=AD-DE=5-4=1cm， 在 Rt△APE 中，AE=1，AP=3-PB=3-PE， ∴EP2=12+3-EP2， 解得 EP=53， ∴ 菱形 BFEP 的邊長為 53?cm． ②當(dāng)點(diǎn) Q 與點(diǎn) C 重合時(shí)，如圖 1， 此時(shí)點(diǎn) E 離點(diǎn) A 最近，由①知，此時(shí) AE=1?cm； 當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) A 重合時(shí)，如圖 2， 此時(shí)點(diǎn) E 離點(diǎn) A 最遠(yuǎn)，且此時(shí)四邊形 ABQE 為正方形，AE=AB=3?cm， ∴ 點(diǎn) E 在邊 AD 上移動的最大距離為 2?cm．