《六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)試題-小升初數(shù)學(xué)思維拓展第21講容斥原理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)試題-小升初數(shù)學(xué)思維拓展第21講容斥原理（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、一，知識(shí)地圖容斥原理內(nèi)容小升初數(shù)學(xué)思維拓展第21講容斥原理二者關(guān)系分類三者關(guān)系內(nèi)容韋恩圖公式求總數(shù)，三項(xiàng)都參加，三項(xiàng)都不參加的基本計(jì)算題型求一項(xiàng)參加，兩項(xiàng)參加的-方程法求多項(xiàng)未知-方程法求只參加一項(xiàng)，只參加二項(xiàng)的-間接計(jì)算正方形與圖形結(jié)合圓形整除與其他知識(shí)相結(jié)合與數(shù)論知識(shí)結(jié)合最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)平方數(shù)，立方數(shù)奇偶數(shù)算術(shù)法方程法最值問題三次都會(huì)最大最小會(huì)兩次最大最小與排列組合結(jié)合電燈開關(guān)應(yīng)用題型報(bào)數(shù)轉(zhuǎn)身其他題型圖形法表格法二，基礎(chǔ)知識(shí)趣題導(dǎo)引：有一次，學(xué)而思小升初培訓(xùn)部進(jìn)行數(shù)學(xué)和英語(yǔ)模擬測(cè)試，全體學(xué)員的考試成績(jī)統(tǒng)計(jì)出來后，周老師在班上向同學(xué)報(bào)告所有學(xué)員的考試情況。周老師說：“這次考試成績(jī)比上一次有了很大的
2、提高，說明同學(xué)們?cè)谶@一段時(shí)間內(nèi)非常認(rèn)真地學(xué)習(xí)了學(xué)而思的課程，有我們老師的功勞，但更重要的是你們的努力，希望下一次考試可以更上一層樓。我們?nèi)w六年級(jí)學(xué)員有1106人，其中數(shù)學(xué)成績(jī)90分以上的有542人，英語(yǔ)成績(jī)90分以上的有479人，數(shù)學(xué)和英語(yǔ)成績(jī)都考90分以上的有256人，數(shù)學(xué)和英語(yǔ)成績(jī)都在90分以下的有350人，希望這部分同學(xué)可以?shī)^起直追，加倍努力，爭(zhēng)取在下一次考試中也都可以拿到90分以上的好成績(jī)?！薄爸芾蠋煹脑拕傉f完，其中一個(gè)同學(xué)小明就舉手說：“老師，您的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)有問題，至少有一個(gè)人數(shù)是不對(duì)的?！敝芾蠋熀軓娜莸幕卮鹫f：沒錯(cuò)，小明同學(xué)說得很對(duì)，確實(shí)有一個(gè)數(shù)據(jù)我故意說錯(cuò)的，就看大家能不能反應(yīng)出
3、來，你們知道是為什么嗎？”于是大家都熱烈討論了起來，同學(xué)們，你們知道小明是如何很快又肯定的說有一個(gè)數(shù)據(jù)老師說錯(cuò)了嗎？要想知道答案，先學(xué)好下面的內(nèi)容了?。ㄒ唬┤莩庠斫榻B本章節(jié)的主要內(nèi)容是解決涉及包含與排除關(guān)系的計(jì)算題與應(yīng)用題，運(yùn)用到的一個(gè)基本原理稱為容斥原理，下面我們將容斥原理的內(nèi)容介紹給大家，由于容斥原理中涉及的各部分之間的關(guān)系非常的微妙，希望同學(xué)可以仔細(xì)學(xué)習(xí)，細(xì)心體會(huì)。1、兩者容斥原理圖形與公式首先討論兩者之間的包含與排除關(guān)系，我們先來看一個(gè)例子，一個(gè)班級(jí)上有同學(xué)數(shù)學(xué)及格，有同學(xué)語(yǔ)文及格，有同學(xué)兩門功課都及格，還有同學(xué)兩門功課都不及格，那么它們的人數(shù)關(guān)系可以用右圖表示：從圖中我們可以看出它
4、們之間的關(guān)系，即：（數(shù)學(xué)及格人數(shù)+語(yǔ)文及格人數(shù)-都及格人數(shù)）+都不及格人數(shù)=全班人數(shù)大家知道為什么要減都及格人數(shù)嗎？這是因?yàn)閿?shù)學(xué)及格人數(shù)和語(yǔ)文及格人數(shù)里面都包含了兩門都及格的人數(shù)，這樣兩門都及格人數(shù)就重復(fù)計(jì)算兩次，所以要減去一次?？偨Y(jié)為一般規(guī)律，我們可以用公式來表示：S=（A+B-AB）+D=AB+D（字母含義：AB-既屬于A、又屬于B的元素；AB-屬于A，B中任何一個(gè)的元素；D-既不屬于A、又不屬于B的元素。）這就是二者容斥原理的一般表達(dá)形式，圖形表達(dá)（我們稱之為韋恩圖）如圖所示。2、三者容斥原理圖形與公式三者的容斥原理韋恩圖如圖所示，我們可以總結(jié)出三者容斥原理的一般公式形式為：S=（A+B
5、+C-AB-BC-CA+ABC）+D=ABC+D（字母含義：S-全部元素AB-既屬于A、又屬于B的元素；BC-既屬于B、又屬于C的元素；CA-既屬于C、又屬于A的元素；ABC-既屬于A、又屬于B、又屬于C的元素；D-既不屬于A、又不屬于B、也不屬于C的元素；ABC-屬于A，B，C的全部元素。）討論：AB，BC，CA同時(shí)包含于兩個(gè)集合里面，各多加一次，所以應(yīng)該各減去一次，那么為什么還要再加上ABC呢？原來這是因?yàn)锳，B，C，AB，BC，CA六個(gè)集合里面都包含了ABC，所以ABC被加了三次，又減了三次，這樣就相當(dāng)于沒加沒減，所以應(yīng)該再加上一次ABC。上面兩個(gè)韋恩圖與兩個(gè)公式就是容斥原理的全部?jī)?nèi)容，
6、希望同學(xué)們可以結(jié)合圖形與公式進(jìn)行記憶。（二）容斥原理考察題型的一般形式1、基本計(jì)算題型：（1）求全部元素S，直接套用公式。（2）求屬于三集合元素項(xiàng)：ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC（3）求不屬于三集合元素項(xiàng)D，可以利用兩種公式變形：D=S（ABAB）（兩者）D=S（ABCABBCCAABC）（三者）（4）求一集合元素或二集合元素中的一項(xiàng)（如A，AB等），利用公式變形比較麻煩，我們采用方程法：設(shè)所求部分為x，利用公式原型列出方程，解出未知數(shù)。（5）多項(xiàng)未知，則必須用方程法，設(shè)其中一項(xiàng)為x，表示出其他各項(xiàng)，利用公式原型列出方程，解出未知數(shù)。（6）求其他間接項(xiàng)，一般先求出相關(guān)部分項(xiàng)，再進(jìn)
7、行組合與排除。一般可能有以下幾種情況：1，只屬于某集合元素。如：只屬于A元素=AABCAABC；2，只屬于一集合全部元素=ABCAB2BC2CA2+ABC3；3，只屬于某二集合元素：如只屬于A，B元素=AB-ABC；4，只屬于二集合全部元素=AB+BC+CA-ABC3；5，至少屬于二集合全部元素=AB+BC+CA-ABC2等。同學(xué)們可以自己結(jié)合韋恩圖進(jìn)行總結(jié)。2、與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合題型（1）與圖形相結(jié)合求總面積：逐一求出公式中對(duì)應(yīng)各部分面積，套用公式或列出方程。（2）與數(shù)論中倍數(shù)知識(shí)相結(jié)合：詳見例題5。（3）與分?jǐn)?shù)知識(shí)相結(jié)合，可轉(zhuǎn)化為（2）中題型，詳見例題6。（4）與數(shù)論中平方，立方數(shù)知識(shí)相結(jié)
8、合，利用估算法，詳見拓展訓(xùn)練2。（5）與最值問題相結(jié)合：公式中某項(xiàng)的最大最小問題，采用方程分析法和極端假設(shè)法，詳見例題8，9。3、應(yīng)用題型（1）關(guān)于電燈開關(guān)題型：電燈被拉奇數(shù)次改變開關(guān)狀態(tài)，被拉偶數(shù)次不改變開關(guān)狀態(tài)。弄清楚所要求項(xiàng)的具體含義及所對(duì)應(yīng)韋恩圖部分，先求出公式中相關(guān)項(xiàng)，利用間接法求出，請(qǐng)結(jié)合題型1（6）中公式進(jìn)行。詳見例題7。（2）關(guān)于報(bào)數(shù)轉(zhuǎn)身題型：轉(zhuǎn)身奇數(shù)次改變方向，轉(zhuǎn)身偶數(shù)次不改變方向。與電燈開關(guān)題型思路一致。4、其他題型當(dāng)題目中不涉及重復(fù)部分的計(jì)算或者已知條件不是容斥原理中相關(guān)項(xiàng)時(shí)，可能不需要利用容斥原理公式進(jìn)行計(jì)算，但必須畫出韋恩圖或者自己設(shè)計(jì)表格進(jìn)行分析，必須讓各部分關(guān)系直
9、觀清晰，詳見拓展訓(xùn)練9。如一種常用的的表格形式為：一班二班三班總數(shù)男生一班男生二班男生三班男生男生總數(shù)女生一班女生二班女生三班女生女生總數(shù)總數(shù)一班總數(shù)二班總數(shù)三班總數(shù)所有總數(shù)趣題解析：學(xué)完容斥原理的知識(shí)后，同學(xué)們是不是可以解釋開篇趣題中小明的問題了呢？原來小明在周老師報(bào)完四個(gè)人數(shù)后很快的心算了一下，發(fā)現(xiàn)不符合容斥原理的數(shù)量關(guān)系，所以才說數(shù)據(jù)有問題。根據(jù)容斥原理的公式，全體學(xué)員人數(shù)應(yīng)該是（542+479-256）+350=1115，而周老師又說全體學(xué)員人數(shù)為1106人，所以前后矛盾，其中肯定至少有一個(gè)數(shù)據(jù)是不對(duì)的，同學(xué)們，你們學(xué)會(huì)了嗎？如果覺得很有意思，就繼續(xù)往下做題吧！三、經(jīng)典透析【例1】（）
10、志誠(chéng)中學(xué)5年級(jí)有200名學(xué)生踴躍申報(bào)學(xué)而思各學(xué)科培訓(xùn)班，已知申報(bào)奧數(shù)班的學(xué)生有140人，申報(bào)英語(yǔ)班的學(xué)生有120人，申報(bào)科技班的學(xué)生有60人，參加奧數(shù)和英語(yǔ)班的學(xué)生有60人，申報(bào)奧數(shù)和科技班的學(xué)生有40人，申報(bào)英語(yǔ)班和科技班的學(xué)生有30人，那么有多少人三個(gè)班都報(bào)了？審題要點(diǎn)：此題為涉及三者關(guān)系的容斥原理典型題型，大家先復(fù)習(xí)一下三者關(guān)系容斥原理的“韋恩圖”與計(jì)算公式，根據(jù)條件對(duì)應(yīng)逐一填入，然后直接運(yùn)用公式將未知求出。詳解過程：解：畫出韋恩圖，將相應(yīng)人數(shù)填入，只有三個(gè)班都報(bào)的同學(xué)未知，設(shè)為x人，根據(jù)容斥原理公式列出方程：140+120+60604030+x=200，解出x=10，所以共有10人三個(gè)
11、班都報(bào)了。專家點(diǎn)評(píng)：此題中由于是三個(gè)班都報(bào)的同學(xué)未知，所以也可以不列方程，將公式變形用算術(shù)方法直接算出，200（140+120+60604030）=10（人）。差別不大，同學(xué)們注意體會(huì)其中關(guān)系?！纠?】（）火星小學(xué)四年級(jí)有45人參加了慰問堅(jiān)守在青年宮、防洪紀(jì)念塔、九站三個(gè)地段抗洪的解放軍叔叔的活動(dòng)，去過青年宮慰問的有19人，去過防洪紀(jì)念塔的有18人，去過九站的有16人；去過青年宮、防洪紀(jì)念塔兩處的有7人，去過青年宮、九站兩處的有6人，去過防洪紀(jì)念塔、九站兩處的有5人；有3人三處都去過；其余的在校準(zhǔn)備慰問品，請(qǐng)問準(zhǔn)備慰問品的有多少人？審題要點(diǎn)：此題也為涉及三者關(guān)系的容斥原理典型題型，題目中未知數(shù)
12、為沒有參加任何一項(xiàng)慰問活動(dòng)的同學(xué)，可以列方程算出，也可以直接對(duì)公式變形用算術(shù)法算出。詳解過程：解：方程法：畫出韋恩圖，將相應(yīng)人數(shù)填入，設(shè)在校準(zhǔn)備慰問品的人數(shù)為x，根據(jù)公式直接列出方程為（19+18+16-7-6-5+3）+x=45，解出x=7，所以準(zhǔn)備慰問品的人數(shù)為7人。算術(shù)法：直接將公式變形，可求得準(zhǔn)備慰問品人數(shù)為45-（19+18+16-7-6-5+3）=7（人）。專家點(diǎn)評(píng)：對(duì)于求三者都參加或者三者都不參加的部分，用方程法與算術(shù)法差別不大，但是對(duì)于求只參加一項(xiàng)或參加兩項(xiàng)的部分，建議最好用方程，因?yàn)樵诠阶冃沃泻苋菀壮霈F(xiàn)符號(hào)的變形錯(cuò)誤，請(qǐng)看例題3。（【例3】）某校五年級(jí)有120名學(xué)生，訂故事
13、大王的有85人，訂兒童漫畫的有90人，訂優(yōu)秀作文選的有70人，同時(shí)訂故事大王和優(yōu)秀作文選的有62人，同時(shí)訂兒童漫畫和優(yōu)秀作文選的有46人，同時(shí)訂這三種雜志的有21人，此外，還有5名學(xué)生沒有訂任何雜志，問：恰好只訂了故事大王和兒童漫畫的有多少人？審題要點(diǎn)：此題與前兩題類型相同，也為涉及三者關(guān)系的容斥原理典型題型，題目中未知數(shù)為只訂故事大王和兒童漫畫的人數(shù)，所以建議使用方程法解出。注意題目中要求的是只訂故事大王和兒童漫畫的人數(shù)，而不是訂了故事大王和兒童漫畫的人數(shù)，所以應(yīng)該先求出訂了故事大王和兒童漫畫的人數(shù)，然后再減去三項(xiàng)都訂的人數(shù)即可。詳解過程：解：設(shè)同時(shí)訂故事大王和兒童漫畫的有x人，根據(jù)公式原型
14、列出方程為：120-85-90-70+62+46+x-21=5，解得x=43所以，只訂故事大王和兒童漫畫的人數(shù)為43-21=22人。專家點(diǎn)評(píng)：1，此題中未知的是參加兩項(xiàng)的人數(shù)，所以不易用將公式變形用算術(shù)方法求出，而應(yīng)該列出方程，這樣數(shù)據(jù)關(guān)系更清晰。2，注意題目要求的是只訂故事大王和兒童漫畫的人數(shù)，這不是容斥原理公式中涉及的部分，所以不能直接求出，而應(yīng)該根據(jù)韋恩圖中的關(guān)系間接求出?！纠?】（）五年級(jí)三班有46名學(xué)生參加三項(xiàng)課外活動(dòng)，其中24人參加了繪畫小組，20人參加了合唱小組，參加朗誦小組的人數(shù)是既參加繪畫小組又參加朗誦小組人數(shù)的3.5倍，又是三項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的7倍，既參加朗誦小組又參加合唱
15、小組的人數(shù)相當(dāng)于三項(xiàng)都參加人數(shù)的2倍，既參加繪畫小組又參加合唱小組的有10人，求參加朗誦小組的人數(shù)。審題要點(diǎn)：此題與前三題類型相同，也為涉及三者關(guān)系的容斥原理典型題型，題目中不止一項(xiàng)未知數(shù)，但是各項(xiàng)未知數(shù)之間具有倍數(shù)關(guān)系，所以應(yīng)該用方程法解答。詳解過程：解：觀察發(fā)現(xiàn)三項(xiàng)都參加的人數(shù)最少，所以設(shè)其為x，那么參加朗誦小組的人數(shù)為7x，既參加繪畫小組又參加朗誦小組人數(shù)為2x，既參加朗誦小組又參加合唱小組的人數(shù)也為2x，畫出韋恩圖，根據(jù)公式列出方程：46=24+20+7x-2x-2x-10+x解出x=3所以參加朗誦小組的人數(shù)為7x=21人。專家點(diǎn)評(píng)：1，此題不能直接利用公式變形算術(shù)方法算出，必須列出方
16、程。2，列方程解應(yīng)用題時(shí)x的選擇并不一定是題目所求，而應(yīng)該是所有未知量中較小值，這樣其他未知量就比較好表示出，否則方程中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)或除法，不利于方程的解答?！纠?】（）在1到2004的所有自然數(shù)中，既不是2的倍數(shù)，也不是3、5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？審題要點(diǎn)：此題為容斥原理與數(shù)論知識(shí)相結(jié)合的一類典型題型，首先要糾正一種非常錯(cuò)誤的方法：即用全部數(shù)分別減去2，3和5的倍數(shù)個(gè)數(shù)即得到答案。錯(cuò)誤原因是2，3，5的倍數(shù)之中有很多重復(fù)的部分，所以應(yīng)該利用容斥原理的基本原理，畫出韋恩圖，根據(jù)公式計(jì)算。詳解過程：解：1，畫出韋恩圖，首先計(jì)算各集合部分的個(gè)數(shù)：2的倍數(shù)個(gè)數(shù)：20042=1002，3的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2004
17、3=668，5的倍數(shù)個(gè)數(shù)：20045=4004，2，再計(jì)算各重復(fù)部分的個(gè)數(shù)：同時(shí)是2和3的倍數(shù)，即是6的倍數(shù)個(gè)數(shù)：20046=334同時(shí)是2和5的倍數(shù)，即是10的倍數(shù)個(gè)數(shù)：200410=2004同時(shí)是3和5的倍數(shù)，即是15的倍數(shù)個(gè)數(shù)：200415=1339同時(shí)是2，3，5的倍數(shù)，即是30的倍數(shù)個(gè)數(shù)：200430=66243，根據(jù)公式變形可得不是2、3、5的倍數(shù)個(gè)數(shù)為：2004-（1002+668+400-334-200-133+66）=535。專家點(diǎn)評(píng)：1，由于有些數(shù)可能同時(shí)是2，3，5的倍數(shù)，所以應(yīng)該考慮聯(lián)系到容斥原理的運(yùn)用，因?yàn)槿莩庠淼闹饕δ芫褪墙鉀Q有關(guān)重復(fù)內(nèi)容的原理。2，同時(shí)是幾個(gè)數(shù)
18、的倍數(shù)，那么就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)?！纠?】（）分母是385的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？審題要點(diǎn)：由于分母385=5711，要求分?jǐn)?shù)為最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，所以分子不能是5、7、11的倍數(shù)。此題即轉(zhuǎn)化為求1385中不是5、7、11的倍數(shù)的個(gè)數(shù)，和上一題完全類似，采取一樣的解題思路與步驟。詳解過程：解：1，畫出韋恩圖，首先計(jì)算各部分的個(gè)數(shù)：5的倍數(shù)個(gè)數(shù)：3855=777的倍數(shù)個(gè)數(shù)：3857=5511的倍數(shù)個(gè)數(shù)：38511=35同時(shí)是5和7的倍數(shù)即是35的倍數(shù)個(gè)數(shù)：38535=11同時(shí)是5和11的倍數(shù)即是55的倍數(shù)個(gè)數(shù)：38555=7同時(shí)是7和11的倍數(shù)即是77的倍數(shù)個(gè)數(shù)：38577=5同時(shí)是5，7，11
19、的倍數(shù)即是385的倍數(shù)個(gè)數(shù)：385385=12，根據(jù)公式變形，可得不是5、7、11的倍數(shù)個(gè)數(shù)為：385-（77+55+35-11-7-5+1）=240。所以分母是385的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有240個(gè)。專家點(diǎn)評(píng)：此題也為容斥原理與數(shù)論知識(shí)相結(jié)合的一類典型題型，首先需要了解的知識(shí)點(diǎn)是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)，即分子與分母必須為互質(zhì)關(guān)系，也即是分子不能是分母質(zhì)因數(shù)的倍數(shù)，得出解題思路。另外，本題還可以用中國(guó)剩余定理和乘法原理來解決。需要尋找1385中不被5、7、11中任何一個(gè)數(shù)整除的個(gè)數(shù)。被5除的余數(shù)有14，共4種；被7除的余數(shù)有16，共6種；被11除的余數(shù)有110，共10種；根據(jù)中國(guó)剩余定理，對(duì)于任何一種余數(shù)組合
20、，1385中必存在唯一的數(shù)滿足。所以，根據(jù)乘法原理，1-385中不被5、7、11中任何一個(gè)數(shù)整除的個(gè)數(shù)為4610=240?！纠?】（）有2000盞亮著的電燈，各有一個(gè)拉線開關(guān)控制著，現(xiàn)按其順序編號(hào)為1，2，3，2000，然后將編號(hào)為2的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號(hào)為3的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號(hào)為5的倍數(shù)的燈線拉一下，三次拉完后，亮著的燈有多少盞？審題要點(diǎn)：此題與前兩題一樣，涉及數(shù)論中倍數(shù)關(guān)系的容斥原理應(yīng)用題型，解題思路完全一樣，但是要注意最后要求的部分不一樣，必須利用間接計(jì)算法進(jìn)行簡(jiǎn)單的分解與組合。詳解過程：解：1、首先分析最后要求的部分含義是什么。電燈原來亮著，要求三次拉完之后還是亮著，則
21、燈被拉的次數(shù)必須為偶數(shù)，即可能是一次都沒被拉，也可能是只被拉兩次的。所以最后的答案應(yīng)該是兩部分之和。2、進(jìn)行各部分的計(jì)算：2的倍數(shù)個(gè)數(shù)：20002=1000；3的倍數(shù)個(gè)數(shù)：20003=6662；5的倍數(shù)個(gè)數(shù)：20005=400；6的倍數(shù)個(gè)數(shù)：20006=3332；10的倍數(shù)個(gè)數(shù)：200010=200；15的倍數(shù)個(gè)數(shù)：200015=1335；30的倍數(shù)個(gè)數(shù)：200030=6620。3、根據(jù)公式變形，可得沒被拉一次的電燈盞數(shù)（不是2、3、5的倍數(shù)）為：2000-（1000+666+400-333-200-133+66）=534。只被拉兩次的電燈盞數(shù)（只是其中兩者的倍數(shù)）為：333+200+133-
22、663=468。所以最后亮著的燈的盞數(shù)為：534+468=1002。專家點(diǎn)評(píng)：1、此題首先要弄清楚是哪些燈最后還是亮著的，主要包括兩部分的燈：一次都沒拉和只拉了兩次的。2、只拉了兩次的燈數(shù)中不包括三次都拉了的燈數(shù)，所以計(jì)算時(shí)應(yīng)該減去被拉三次燈數(shù)的三倍（因?yàn)槎嘤?jì)算三次），請(qǐng)參考題型1（6）中的間接計(jì)算方法?！纠?】（）圖書室有100本書，借閱圖書者需要在圖書上簽名。已知這100本書中有甲、乙、丙簽名的分別有33、44和55本，其中同時(shí)有甲、乙簽名的圖書29本，同時(shí)有甲、丙簽名的圖書為25本，同時(shí)有乙、丙簽名的圖書為36本。問這批圖書中最少有多少本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過？審題要點(diǎn)：此題
23、屬于容斥原理與最值問題相結(jié)合題型，公式中只有兩項(xiàng)未知：沒被任何人借閱過的和同時(shí)被三人借閱過的數(shù)目，一項(xiàng)的最值取決于另一項(xiàng)的取值，采用方程法分析。詳解過程：解：題目中未知項(xiàng)有兩項(xiàng)，沒被任何人借閱過的和同時(shí)被三人借閱過的，分別設(shè)為x，y，根據(jù)公式列出不定方程為：100=（33+44+55-29-25-36+y）+x，化簡(jiǎn)為：x+y=58要使x值取最少，那么y值應(yīng)該盡量大，由韋恩圖可看出y包含于三集合29，25，36中，所以y的最大值應(yīng)該是25，此時(shí)x=33，即最少有33本沒有被甲乙丙中的任何一人借閱過。專家點(diǎn)評(píng)：1，由于只有兩項(xiàng)未知數(shù)，所以可以用方程法進(jìn)行分析，如果未知數(shù)多于兩個(gè)，則不宜用方程法，
24、下一題即是此種情況。2，應(yīng)該用包含的原理得出其中項(xiàng)的最大值或最小值。若A包含B，那么B的最大值為A，A的最小值為B，如：某班數(shù)學(xué)成績(jī)滿分人數(shù)為15，那么數(shù)學(xué)語(yǔ)文成績(jī)均滿分的人數(shù)最大為15，反之若數(shù)學(xué)語(yǔ)文成績(jī)均滿分的人數(shù)為5，那么語(yǔ)文成績(jī)滿分的人數(shù)最少為5人?！纠?】（）甲、乙、丙同時(shí)給100盆花澆水。已知甲澆了78盆，乙澆了68盆，丙澆了58盆，那么3人都澆過的花最少有多少盆？審題要點(diǎn)：此題與上題類似，屬于容斥原理與最值問題相結(jié)合題型，但是題目已知條件太少，公式中未知項(xiàng)有5項(xiàng)，所以不好直接用方程法分析出最后答案。采用極端假設(shè)法進(jìn)行分析。詳解過程：解：因?yàn)轭}目所求為3人都澆過的花最少為幾盤，那么
25、意思就是我們應(yīng)該讓3人澆過的花盡量分散，即每人盡量不要澆其他人澆過的花，采用極端假設(shè)法即假設(shè)每人都首先選擇澆其他人沒澆過的花。首先考慮甲和乙，甲澆了78盆，沒澆100-78=22盆，那么乙應(yīng)該先澆甲沒澆的22盆，剩下的只能選擇甲已經(jīng)澆過的68-22=46盆，這樣兩人都澆過的有46盆，只有一人澆過的有100-46=54盆。再考慮丙，丙應(yīng)該先選擇澆只有一個(gè)人澆過的54盆，剩下的只能選擇兩人都澆過的58-54=4盆，這樣三人都澆過的為4盆，其他盆均為至多兩人澆過的。所以，3人都澆過的花最少有4盆。專家點(diǎn)評(píng)：1，題目中所給條件太少，很難用二元方程的常規(guī)方法分析，所以選擇用極端假設(shè)法。2，運(yùn)用極端假設(shè)法
26、時(shí)，必須隨時(shí)滿足題目要求的最值條件，這里應(yīng)該要強(qiáng)調(diào)掌握從反面角度考慮問題的思路。不能怎么樣，那么我們就應(yīng)該怎么樣；要怎么樣，那么我們就不能怎么樣。3，滿足最值條件的假設(shè)結(jié)論即是我們要求的最值結(jié)論。4，此題也有另外的多元方程分析法。多元方程知識(shí)點(diǎn)基礎(chǔ)比較好的同學(xué)可以參考使用：另解：如果從整體考慮，三個(gè)人一共澆了78+68+58=204（盆）花，如果設(shè)被澆次數(shù)為1、2、3次的花盆數(shù)分別為a、b、c，那么可以得到以下兩條等式：ab+c=100a+2b+3c=204-2，得到：c4+a。因?yàn)閍0，所以c4，所以被3個(gè)人都澆過的花至少有4盆。四、拓展訓(xùn)練1、邊長(zhǎng)為6、5、2的三個(gè)正方形，如圖所示，求它們
27、的蓋住部分的面積。2、在1到1000的自然數(shù)中，既不是平方數(shù)也不是立方數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？3、求在1100的自然數(shù)中不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？4、某校有28名學(xué)生參加市運(yùn)動(dòng)會(huì)，參加跑步類項(xiàng)目的有15人，參加跳類項(xiàng)目的有13人，參加投擲類項(xiàng)目的有14人，既參加跑又參加跳項(xiàng)目的有4人，既參加跑又參加投擲項(xiàng)目的有6人，既參加跳又參加投擲項(xiàng)目的有5人，三種項(xiàng)目都參加的有2人，試說明：這個(gè)報(bào)名表有誤。5、以1001為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？6、學(xué)而思六年級(jí)競(jìng)賽班有50人，共有三個(gè)科技興趣小組：天文、無線電和計(jì)算機(jī)，參加天文組的有38人，參加無線電組的有35人，參加計(jì)算機(jī)組的有31人，既參加
28、天文組又參加無線電組的有29人，既參加天文組又參加計(jì)算機(jī)組的有28人，既參加無線電又參加計(jì)算機(jī)組的有26人，三個(gè)小組都參加的有24人，試求三個(gè)小組都沒有參加的人數(shù)。7、不超過201的自然數(shù)中，至少有兩個(gè)數(shù)字相同的奇數(shù)有多少個(gè)？8、某科室有12人，其中6人會(huì)英語(yǔ)，5人會(huì)俄語(yǔ)，5人會(huì)日語(yǔ)，有3人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)俄語(yǔ)，有2人既會(huì)俄語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，有2人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，有1人英、日、俄這三種語(yǔ)言全會(huì)，只會(huì)一種外語(yǔ)的人比一種外語(yǔ)也不會(huì)的人多多少人？9、（1）48人中無弟弟的有38人，有弟弟無妹妹的有8人，無弟弟有妹妹的人數(shù)是有弟弟有妹妹人數(shù)的2倍，試問：這48人當(dāng)中是獨(dú)生子女的有幾個(gè)？（2）學(xué)而思舉行各年級(jí)學(xué)
29、生畫展，其中18幅不是六年級(jí)的，20幅不是五年級(jí)的，現(xiàn)在知道五、六年級(jí)共展出22幅畫，問：其他年級(jí)共展出多少幅畫？8、如圖，5條同樣長(zhǎng)的線段拼成了一個(gè)五角形。如果每條線段上恰有1994個(gè)9、點(diǎn)被染成紅色，那么在這個(gè)五角形上紅色點(diǎn)最少有多少個(gè)？初級(jí)點(diǎn)撥：1、直接利用三者容斥原理的公式進(jìn)行計(jì)算，首先應(yīng)該分別算出各相應(yīng)部分面積。2、直接利用二者容斥原理的公式進(jìn)行計(jì)算，首先應(yīng)該分別算出各相應(yīng)部分個(gè)數(shù)。3、此題為兩者關(guān)系的容斥原理與數(shù)論倍數(shù)相結(jié)合題型，求出各部分個(gè)數(shù)，利用公式計(jì)算。4、可以根據(jù)其他數(shù)據(jù)計(jì)算學(xué)生總?cè)藬?shù)，看是否等于已知條件，利用容斥原理公式。5、此題為容斥原理與數(shù)論知識(shí)的結(jié)合考察，先分解質(zhì)因
30、數(shù)1001=71113，所以分子不能是7，11，13的倍數(shù)。6、容斥原理基本題型，直接利用公式，可列出方程，也可進(jìn)行公式變形。7、此題較為復(fù)雜，是容斥原理與排列組合知識(shí)的綜合題型。首先按數(shù)位分兩大類：兩位數(shù)與三位數(shù)。兩位數(shù)中：只有5個(gè)（11、33、55、77、99）符合條件。三位數(shù)的個(gè)數(shù)必須利用容斥原理公式計(jì)算。8、此題為基本計(jì)算題，一種外語(yǔ)也不會(huì)的人可以直接利用公式變形算出，只會(huì)一種外語(yǔ)的人數(shù)應(yīng)該要用間接法求出。9、（1）此題可以設(shè)計(jì)表格進(jìn)行分析。有妹妹無妹妹總和有弟弟無弟弟總和（2）此題屬于容斥原理里面的特殊題型，含有否定的已知部分，應(yīng)該轉(zhuǎn)化為肯定的部分?jǐn)?shù)據(jù)，畫出韋恩圖，然后列出方程進(jìn)行解
31、答。10、此題屬于容斥原理與最值問題相結(jié)合題型，由于未知條件僅為紅色點(diǎn)總數(shù)和重復(fù)點(diǎn)總數(shù)，應(yīng)該用方程法分析。深度提示：1、三正方形面積分別為55=25，66=36，22=4，兩兩重復(fù)部分面積分別為33=9，12=2，12=2，三正方形均重復(fù)的部分面積為11=1，然后直接套用公式。2、1-1000中，3121000322，所以平方數(shù)個(gè)數(shù)為31。、103=1000，所以立方數(shù)個(gè)數(shù)為10。、即是平方數(shù)也是立方數(shù)則應(yīng)該是六次方數(shù)，36100046，所以個(gè)數(shù)為3。然后直接套用公式。3、5的倍數(shù)個(gè)數(shù)：1005=20；6的倍數(shù)個(gè)數(shù)：1006=164；30的倍數(shù)個(gè)數(shù)：10030=310。要求不是5，6的倍數(shù)，可
32、利用公式變形。4、直接計(jì)算總?cè)藬?shù)為15+13+14-4-6-5+2=29人。5、計(jì)算各部分個(gè)數(shù)：7的倍數(shù)有143個(gè)，11的倍數(shù)有91個(gè)，13的倍數(shù)有77個(gè)，711的倍數(shù)有13個(gè)，137的倍數(shù)有11個(gè)，1113的倍數(shù)有7個(gè)，只有1001是7、11、13的倍數(shù)，套用公式。6、方程法：（38+35+31-29-28-26+24）+x=507、三位數(shù)中的個(gè)數(shù)計(jì)算：至少兩個(gè)數(shù)字相同的反面是三個(gè)數(shù)字都不相同，奇數(shù)的反面是偶數(shù)，所以設(shè)計(jì)韋恩圖為：可看出外圍部分即為所求至少有兩個(gè)數(shù)字相同的奇數(shù)。根據(jù)乘法原理：三個(gè)數(shù)字都不相同的數(shù)字個(gè)數(shù)為98=72，偶數(shù)有50個(gè)，三個(gè)數(shù)字都不相同的偶數(shù)為58=40個(gè)，套用公式。
33、8，根據(jù)題型1（6）中公式介紹可知只會(huì)一種外語(yǔ)的人數(shù)為：6+5+5-（3+2+2）2+13=5。9，（1）根據(jù)條件將數(shù)據(jù)填入表格：有妹妹無妹妹總和有弟弟x8無弟弟2x38總和48根據(jù)韋恩圖，18幅不是六年級(jí)的，即A+C=18，20幅不是五年級(jí)的，即B+C=20，又五六年級(jí)共22幅圖，即A+B=22。聯(lián)立三方程，解出未知數(shù)。10、設(shè)總點(diǎn)數(shù)為x，重復(fù)點(diǎn)數(shù)為y，根據(jù)公式有x=19945-y，化簡(jiǎn)為x=9970-y，要求x為最少，對(duì)y進(jìn)行分析。全解過程：1、根據(jù)三者容斥原理公式，覆蓋總面積為25+36+4-9-2-2+1=53。2、根據(jù)公式得不是平方數(shù)也不是立方數(shù)的個(gè)數(shù)是：1000（31+10-3）=
34、962。3、公式變形為：100-（20+16-3）=67即不是5，6倍數(shù)的數(shù)有67個(gè)。4、因?yàn)橐阎獥l件為28人，所以相互矛盾，報(bào)表有誤。5、根據(jù)公式計(jì)算：最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)為1001-（143+77+91-7-13-11+1）=720?；蛘撸海?-1）（11-1）（13-1）=720。6、初級(jí)點(diǎn)撥：容斥原理基本題型，可列出方程，也可進(jìn)行公式變形。深度提示：方程法：（38+35+31-29-28-26+24）+x=50全解：解方程得x=5，也可利用公式變形：50-（38+35+31-29-28-26+24）=5人7、初級(jí)點(diǎn)撥：此題較為復(fù)雜，是容斥原理與排列組合知識(shí)的綜合題型。首先按數(shù)位分兩大類：兩位
35、數(shù)與三位數(shù)。兩位數(shù)中，只有5個(gè)（11、33、55、77、99）符合要求。深度提示：三位數(shù)中的個(gè)數(shù)計(jì)算：至少兩個(gè)數(shù)字相同的反面是三個(gè)數(shù)字都不相同，奇數(shù)的反面是偶數(shù)，所以設(shè)計(jì)韋恩圖為：可看出外圍部分即為所求至少有兩個(gè)數(shù)字相同的奇數(shù)。根據(jù)乘法原理：三個(gè)數(shù)字都不相同的數(shù)字個(gè)數(shù)為98=72，偶數(shù)有50個(gè)，三個(gè)數(shù)字都不相同的偶數(shù)為58=40個(gè)。全解：根據(jù)公式，可知三位數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)字相同的奇數(shù)為100-（72+50-40）=18。所以不超過201的自然數(shù)中，至少有兩個(gè)數(shù)字相同的奇數(shù)有18+5=23個(gè)。8、初級(jí)點(diǎn)撥：此題為基本計(jì)算題，一種外語(yǔ)也不會(huì)的人可以直接利用公式變形算出，只會(huì)一種外語(yǔ)的人數(shù)應(yīng)該要用間
36、接法求出：深度提示：根據(jù)題型1（6）中公式介紹可知只會(huì)一種外語(yǔ)的人數(shù)為：6+5+5-（3+2+2）2+13=5全解：根據(jù)公式變形可知一種外語(yǔ)也不會(huì)的人數(shù)為12-（6+5+5-3-2-2+1）=2所以只會(huì)一種外語(yǔ)的人比一種外語(yǔ)也不會(huì)的人多5-2=3（人）。另解：用分塊計(jì)數(shù)法如下圖可知，只會(huì)一種外語(yǔ)的有2+2+1=5人，一種也不會(huì)的有2人。所求答案是5-2=3人。英語(yǔ)2俄語(yǔ)211112日語(yǔ)2有妹妹無妹妹總和有弟弟無弟弟9、（1）初級(jí)點(diǎn)撥：此題可以設(shè)計(jì)表格進(jìn)行分析?？偤蜕疃忍崾荆焊鶕?jù)條件將數(shù)據(jù)填入表格：有妹妹無妹妹總和有弟弟x8無弟弟2x38總和48全解：根據(jù)數(shù)據(jù)關(guān)系將表格補(bǔ)充完整：有妹妹無妹妹總和
37、、A=48-38=10、x=A-8=2、y=38-2x=34有弟弟x=28A=10y為無弟弟無妹妹即是獨(dú)生子女，所以獨(dú)生子女有34個(gè)。無弟弟2x=4y=3438總和64248初級(jí)點(diǎn)撥：此題屬于容斥原理里面的特殊題型，含有否定的已知部分，應(yīng)該轉(zhuǎn)化為肯定的部分?jǐn)?shù)據(jù)，畫出韋恩圖，然后列出方程進(jìn)行解答。深度提示：根據(jù)韋恩圖，18幅不是六年級(jí)的，即A+C=18，20幅不是五年級(jí)的，即B+C=20，又五六年級(jí)共22幅圖，即A+B=22，解出未知數(shù)。全解：三式全部相加可得：A+B+C=（18+20+22）2=30，所以其他年級(jí)的畫數(shù)為30-22=8。10、初級(jí)點(diǎn)撥：此題屬于容斥原理與最值問題相結(jié)合題型，由于未知條件僅為紅色點(diǎn)總數(shù)和重復(fù)點(diǎn)總數(shù)，應(yīng)該用方程法分析。深度提示：設(shè)總點(diǎn)數(shù)為x，重復(fù)點(diǎn)數(shù)為y，根據(jù)公式有x=19945-y，化簡(jiǎn)為x=9970-y，要求x為最少，對(duì)y進(jìn)行分析。全解過程：要使x最少，y應(yīng)該盡量大，五角星中線段與線段之間一共十個(gè)點(diǎn)，所以重復(fù)點(diǎn)數(shù)最多為10個(gè)，所以x最少為9970-10=9960，即紅色點(diǎn)最少有9960個(gè)。
六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)試題-小升初數(shù)學(xué)思維拓展第21講容斥原理
