（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第68講 拋物線練習(xí) 理（含解析）新人教A版

《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第68講 拋物線練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第68講 拋物線練習(xí) 理（含解析）新人教A版（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第68講　拋物線 夯實基礎(chǔ)　【p155】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)． 2．理解數(shù)形結(jié)合的思想；掌握代數(shù)知識、平面幾何知識在解析幾何中的作用． 3．了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應(yīng)用． 【基礎(chǔ)檢測】 1．拋物線y＝4x2的焦點坐標(biāo)是(　　) A．(0，1) B．(1，0) C．(0，2) D. 【解析】拋物線y＝4x2可化為x2＝y(tǒng)，所以拋物線的焦點為. 【答案】D 2．已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0等于(　　) A．1B．2C．4D．8 【解析】由拋物線的定義，

2、可得|AF|＝x0＋， ∵|AF|＝x0，∴x0＋＝x0，∴x0＝1. 【答案】A 3．過拋物線y2＝4x上的焦點F，作直線l與拋物線交于A，B兩點，已知|AF|＝，則|BF|＝(　　) A．2B．3C.D. 【解析】A(x1，y1)，B(x2，y2)，不仿設(shè)y1>0，因為|AF|＝， 由拋物線的定義可知，|AF|等于點A到拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線x＝－1的距離， 即x1＋1＝，x1＝，A， 直線AF：y＝(x－1)，即為y＝－2(x－1)， 與y2＝4x聯(lián)立可得，2x2－5x＋2＝0， 解得x2＝2，所以|BF|＝x2＋＝2＋1＝3. 【答案】B 4．已知拋物線y2＝2

3、px(p>0)的焦點為F(2，0)，過點A(3，2)向其準(zhǔn)線作垂線，與拋物線的交點為E，則|EF|＝________． 【解析】由題意知拋物線的焦點為F(2，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，p＝4，故拋物線方程為y2＝8x. 設(shè)過點A(3，2)向其準(zhǔn)線作的垂線與準(zhǔn)線交于點G，則G(－2，2)， 設(shè)點E的坐標(biāo)為E(x，2)， 則4＝8x，解得x＝. 由拋物線的定義得|EF|＝＋2＝. 【答案】 5．已知拋物線y2＝2px的焦點為F，過F的直線l與拋物線交于A，B兩點，直線l的斜率是，O為坐標(biāo)原點，若△AOB的面積為，則p＝________． 【解析】根據(jù)拋物線定義易知直線AB的方程為y

4、＝·，S＝··＝，＝＝p，所以·p＝?p＝. 【答案】 【知識要點】 1．拋物線的定義 平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l(定點F不在定直線l上)的距離__相等__的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線． 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形及幾何性質(zhì) 見下表： 標(biāo)準(zhǔn) 方程 y2＝ 2px(p>0) y2＝ －2px(p>0) x2＝ 2py(p>0) x2＝ －2py(p>0) 圖 形 性 質(zhì)

5、 焦點 F F F F 準(zhǔn)線 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 ①x≥0， y∈R ②x≤0， y∈R ③x∈R， y≥0 ④x∈R， y≤0 對稱 軸 ⑤__x軸__ ⑥__y軸__ 頂點 O(0，0) O(0，0) 離心 率 e＝1 e＝1 開口 ⑦_(dá)_向右__ ⑧__向左__ ⑨__向上__ ⑩__向下__ 3.焦半徑 拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|＝x0＋

6、. 典例剖析　【p155】 考點1　拋物線的定義及應(yīng)用 (1)已知雙曲線C：－4y2＝1(a>0)的右頂點到其一條漸近線的距離等于，拋物線E：y2＝2px的焦點與雙曲線C的右焦點重合，則拋物線E上的動點M到直線l1：4x－3y＋6＝0和l2：x＝－1的距離之和的最小值為________． 【解析】∵雙曲線－4y2＝1的一條漸近線為x－2ay＝0， ∴右頂點(a，0)到該漸近線的距離d＝＝， 解之得a＝或－(舍)， 則c＝＝1，即右焦點為(1，0)，∴拋物線的焦點也為(1，0)，則p＝2，∴l(xiāng)2：x＝－1為其準(zhǔn)線．如圖，作MA⊥l1，MB⊥l2，連MF，則|MB|＝|MF|，

7、 ∴當(dāng)A、M、F三點共線時，距離之和最小，其最小值即為點F到l1的距離，即＝2. 【答案】2 (2)設(shè)拋物線x2＝12y的焦點為F，經(jīng)過點P(2，1)的直線l與拋物線相交于A，B兩點，又知點P恰為AB的中點，則|AF|＋|BF|＝________． 【解析】分別過點A，B，P作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，Q，根據(jù)拋物線上的點到焦點的距離等于該點到準(zhǔn)線的距離，得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8. 【答案】8 【點評】與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度．“看到準(zhǔn)線想焦點，看到焦

8、點想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑． 考點2　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) (1)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為(　　) A．x2＝y(tǒng)B．x2＝y(tǒng) C．x2＝8yD．x2＝16y 【解析】∵－＝1的離心率為2， ∴＝2，即＝＝4，∴＝3，＝. x2＝2py的焦點坐標(biāo)為，－＝1的漸近線方程為y＝±x，即y＝±x.由題意得＝2，∴p＝8.故C2的方程為x2＝16y. 【答案】D (2)已知F是拋物線x2＝4y的焦點，P為拋物線上的動點，且點A的坐標(biāo)為，則

9、的最小值是(　　) A.B.C.D. 【解析】拋物線的準(zhǔn)線為l：y＝－1，過點P作PD⊥l于D，則＝，且點A在準(zhǔn)線上，如下圖所示， 所以＝＝sin∠PAD，當(dāng)直線PA與拋物線相切時，sin∠PAD有最小值， 由y＝得y′＝，設(shè)切點為，則＝，解得x0＝±2，此時∠PAD＝，所以＝sin＝. 【答案】C 【點評】(1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及

10、焦點、頂點、準(zhǔn)線的問題更是如此． 考點3　焦點弦問題 已知傾斜角為θ的直線過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，求證： (1)|AB|＝(θ為直線AB的傾斜角)； (2)S△AOB＝(θ為直線AB的傾斜角)； (3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． 【解析】(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義知|AF|等于點A到準(zhǔn)線x＝－的距離，所以|AF|＝x1＋. 同理，|BF|＝x2＋. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，　① 直線AB的斜率不存在時，傾斜角θ＝， 其方程為x＝，則A，B， |AB|＝2p＝. 當(dāng)

11、直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝k(k≠0)， 所以x＝y(tǒng)＋，故x1＋x2＝(y1＋y2)＋p. 將x＝y(tǒng)＋代入拋物線方程y2＝2px(p>0)，得 y2－y－p2＝0，y1＋y2＝. 所以x1＋x2＝＋p，?、? 將②代入①得： |AB|＝＋2p＝2p＝2p＝. (2)如圖，S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝ |OF|·|AF|·sin(π－θ)＋|OF|· |BF|·sinθ ＝|OF|·sinθ(|AF|＋|BF|) ＝|OF|·|AB|·sinθ ＝···sinθ＝. (3)設(shè)線段AB的中點為M，分別過A，M，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，N，D， 則|

12、MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|. 所以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切． 【點評】(1)拋物線的焦半徑與焦點弦有許多特殊的性質(zhì)(如：焦半徑等于這點到準(zhǔn)線的距離，化兩點間的距離為點線間的距離；又如：若∠ANB＝90°，則以CD為直徑的圓切AB于點F等)． (2)此題中證明的三個結(jié)論是拋物線中非常重要的結(jié)論，應(yīng)用起來比較方便． 考點4　直線與拋物線的位置關(guān)系 已知拋物線C：y2＝8x與點M(－2，2)，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A、B兩點．若·＝0，則k＝________. 【解析】拋物線C的焦點為F(2，0)，則直線方程為y＝k(x－2)，與拋物線

13、方程聯(lián)立，消去y化簡得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)． 則x1＋x2＝4＋，x1x2＝4. 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝， y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16. 因為·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝ (x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0， 將上面各個量代入，化簡得k2－4k＋4＝0，所以k＝2. 【答案】2 如圖，已知拋物線C：y2＝x和⊙M：(x－4)2＋y2＝1，過拋物線C上一點H(x0，y0)(

14、y0≥1)作兩條直線與⊙M分別相切于A，B兩點，與拋物線分別交于E，F(xiàn)兩點． (1)當(dāng)∠AHB的角平分線垂直x軸時，求直線EF的斜率； (2)若直線AB在y軸上的截距為t，求t的最小值． 【解析】(1)法一：∵當(dāng)∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H(4，2)， ∴kHE＝－kHF， 設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)， ∴＝－，∴＝－， ∴y1＋y2＝－2yH＝－4， kEF＝＝＝＝－. 法二：∵當(dāng)∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H(4，2)， ∴∠AHB＝60°，可得kHA＝，kHB＝－， ∴直線HA的方程為y＝x－4＋2， 聯(lián)立方程組得y2－y－4＋2＝0，

15、∵yE＋2＝，∴yE＝，xE＝. 同理可得yF＝，xF＝，∴kEF＝－. (2)法一：設(shè)點H(m2，m)(m≥1)， 則|HM|2＝m4－7m2＋16，|HA|2＝m4－7m2＋15. 以H為圓心，HA為半徑的圓方程為：(x－m2)2＋(y－m)2＝m4－7m2＋15，① ⊙M方程：(x－4)2＋y2＝1.② ①－②得：直線AB的方程為(2x－m2－4)(4－m2)－(2y－m)m＝m4－7m2＋14. 當(dāng)x＝0時，直線AB在y軸上的截距t＝4m－(m≥1)， ∵t關(guān)于m的函數(shù)在[1，＋∞)單調(diào)遞增，∴tmin＝－11. 法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵kMA＝

16、，∴kHA＝， 可得，直線HA的方程為(4－x1)x－y1y＋4x1－15＝0， 同理，直線HB的方程為(4－x2)x－y2y＋4x2－15＝0， ∴(4－x1)y－y1y0＋4x1－15＝0，(4－x2)y－y2y0＋4x2－15＝0， ∴直線AB的方程為(4－y)x－y0y＋4y－15＝0， 令x＝0，可得t＝4y0－(y0≥1)， ∵t關(guān)于y0的函數(shù)在[1，＋∞)單調(diào)遞增，∴tmin＝－11. 【點評】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系． (2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點．若過拋物線的焦點

17、，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式． (3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法． 方法總結(jié)　　【p156】 1．求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的實質(zhì)是求p值，常用的方法是待定系數(shù)法，若開口不定時，可以設(shè)拋物線方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)． 2．利用拋物線定義可知，拋物線的焦半徑與焦點弦有許多特殊的性質(zhì)，應(yīng)用起來非常方便．如：已知AB是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，點F是拋物線的焦點(如圖)，可以證明： (1)y1y2＝－p2

18、，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p. (3)＋為定值. (4)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． (5)以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切． (6)∠CFD＝90°. 走進(jìn)高考　　【p156】 1．(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點(－2，0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則·＝(　　) A．5B．6C．7D．8 【解析】法一：過點(－2，0)且斜率為的直線的方程為y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨設(shè)M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，所以·＝8. 法

19、二：過點(－2，0)且斜率為的直線的方程為y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1>0，y2>0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8. 【答案】D 2．(2018·全國卷Ⅲ)已知點M(－1，1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB＝90°，則k＝________． 【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴y－y＝

20、4(x1－x2)， ∴k＝＝， ∵∠AMB＝90°，取AB中點M′(x0，y0)，分別過點A，B作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足為A′，B′， ∴|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|) 又M′為AB中點，則MM′平行于x軸， ∴y0＝1， ∴y1＋y2＝2， ∴k＝2. 【答案】2 考點集訓(xùn)　　【p266】 A組題 1．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a的值為(　　) A.B．－C．8D．－8 【解析】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＝y(tǒng)， 所以對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為y＝－＝2. 解方程得a＝－. 【答案】B 2．拋物線y＝－4x2上的一點

21、M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標(biāo)是(　　) A．－B．－C.D. 【解析】拋物線為x2＝－y，由焦半徑公式MF＝－yM＝－yM＝1，得yM＝－. 【答案】B 3．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(　　) A．x＝1B．x＝－1 C．x＝2D．x＝－2 【解析】∵y2＝2px的焦點坐標(biāo)為， ∴過焦點且斜率為1的直線方程為y＝x－， 即x＝y(tǒng)＋，將其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2， 即y2－2py－p2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝2p，

22、∴＝p＝2， ∴拋物線的方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1. 【答案】B 4．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點弦AB的兩端點坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則的值一定等于(　　) A．－4B．4C．p2D．－p2 【解析】①若焦點弦AB⊥x軸， 則x1＝x2＝，所以x1x2＝； ∵y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，∴＝－4. ②若焦點弦AB不垂直于x軸， 可設(shè)AB的直線方程為y＝k， 聯(lián)立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0， 則x1x2＝. 所以y1y2＝－p2.故＝－4. 【答案】A 5．設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦

23、點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，則|AB|等于(　　) A.B．6 C．12D．7 【解析】焦點F的坐標(biāo)為， 法一：直線AB的斜率為， 所以直線AB的方程為y＝， 即y＝x－，代入y2＝3x，得x2－x＋＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12. 法二：由拋物線焦點弦的性質(zhì)可得 |AB|＝＝＝12. 【答案】C 6．已知一條過點P(2，1)的直線與拋物線y2＝2x交于A，B兩點，且P是弦AB的中點，則直線AB的方程為________． 【解析】依題意，直線AB斜率存在，設(shè)點A(x1，y1)，

24、B(x2，y2)，則有y＝2x1，y＝2x2，兩式相減得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直線AB的斜率為1，直線AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0. 【答案】x－y－1＝0 7．已知拋物線x2＝－2py(p>0)上縱坐標(biāo)為－p的點到其焦點F的距離為3. (1)求拋物線的方程； (2)若直線l與拋物線以及圓x2＋(y－1)2＝1都相切，求直線l的方程． 【解析】(1)由已知得拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝，則由拋物線的定義知p＋＝3，則p＝2， 所以拋物線的方程為x2＝－4y. (2)由題意知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx＋b， 則有消去y得x2＋4kx＋4b＝0，

25、 則有Δ＝16k2－16b＝0，即k2＝b. 又直線l與圓x2＋(y－1)2＝1相切，所以＝1. 解方程組得或或 故所求直線l的方程為y＝0或y＝x＋3或y＝－x＋3. 8．已知M，N是焦點為F的拋物線y2＝2px(p>0)上兩個不同的點，線段MN的中點A的橫坐標(biāo)為4－. (1)求|MF|＋|NF|的值； (2)若p＝2，直線MN與x軸交于點B，求點B的橫坐標(biāo)的取值范圍． 【解析】(1)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝8－p， 而|MF|＝x1＋，|NF|＝x2＋， ∴|MF|＋|NF|＝x1＋x2＋p＝8. (2)當(dāng)p＝2時，拋物線方程為y2＝4x.

26、 ①若直線MN的斜率不存在，則B(3，0)． ②若直線MN的斜率存在，設(shè)A(3，t)(t≠0)， 則由(1)知整理得y－y＝4(x1－x2)， ∴(y1＋y2)＝4，即kMN＝， ∴直線MN：y－t＝(x－3)，∴B點的橫坐標(biāo)為3－， 由消去x得y2－2ty＋2t2－12＝0， 由Δ>0得0

27、，4) C．(2，3) D．(2，4) 【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)， 當(dāng)l的斜率不存在時，符合條件的直線l必有兩條；當(dāng)直線l的斜率k存在時，如圖，x1≠x2，則有·＝2， 即y0·k＝2. 由CM⊥AB得，k·＝－1，y0·k＝5－x0，2＝5－x0，x0＝3，即M必在直線x＝3上，將x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，∵點M在圓上，且－2＜y0＜2， ∴(x0－5)2＋y＝r2，r2＝y(tǒng)＋4＜12＋4＝16， 又y＋4＞4，∴4＜r2＜16，∴2＜r＜4. 【答案】D 2．拋物

28、線C：x2＝8y與直線y＝2x－2相交于A，B兩點，點P是拋物線C上異于A，B的一點，若直線PA，PB分別與直線y＝2相交于點Q，R，O為坐標(biāo)原點，則·＝________． 【解析】設(shè)A，B，P，Q(x3，2)，R(x4，2)．將y＝2x－2代入x2＝8y得x2－16x＋16＝0，則x1＋x2＝x1x2＝16. 直線PA的方程為y－＝(x－x0)， 即y－＝·(x－x0)． 令y＝2，解得x3＝； 同理可得x4＝. 所以x3x4＝× ＝ ＝＝16， 所以·＝x3x4＋4＝20. 【答案】20 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：x2＝2py(p>0)，斜率為k(k≠0

29、)的直線l經(jīng)過拋物線C的焦點，且與拋物線C交于A，B兩點，·＝－. (1)求拋物線C的方程； (2)已知線段AB的垂直平分線與拋物線C交于M，N兩點，R為線段MN的中點，記點R到直線AB的距離為d，若＝，求k的值． 【解析】(1)由已知，l的方程：y＝kx＋，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得：x2－2pkx－p2＝0，(*) ∴x1x2＝－p2，y1y2＝＝， ·＝x1x2＋y1y2＝－p2＋＝－， 由已知得：－＝－，p＝1， ∴拋物線C的方程為x2＝2y. (2)由(1)知，p＝1，C：x2＝2y，l：y＝kx＋， 方程(*)即：x2－2kx－1＝0，

30、x1＋x2＝2k，x1x2＝－1， 設(shè)AB的中點D(x0，y0)， 則：x0＝(x1＋x2)＝k，y0＝kx0＋＝k2＋， 所以AB的中垂線MN的方程： y－＝－(x－k)，即x＋y－k2－＝0. 將MN的方程與C：x2＝2y聯(lián)立得：x2＋x－2k2－3＝0， 設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)，則R， ∴＝－，＝－＋k2＋＝＋k2＋， R點到AB：kx－y＋＝0的距離d＝， |AB|＝|x1－x2|＝＝＝2(1＋k2)， 所以＝＝， 由已知得：＝，得k＝±1. 4．已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線y2＝4x上相異兩點，且滿足x1＋x2＝2. (1)

31、若AB的中垂線經(jīng)過點P(0，2)，求直線AB的方程； (2)若AB不垂直于x軸且AB的中垂線交x軸于點M，求△AMB面積的最大值及此時直線AB的方程． 【解析】法一：(1)當(dāng)AB垂直于x軸時，顯然不符合題意， 所以可設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋b，代入方程y2＝4x得： k2x2＋(2kb－4)x＋b2＝0， ∴x1＋x2＝＝2， 得：b＝－k. ∴直線AB的方程為y＝k(x－1)＋， ∵AB中點的橫坐標(biāo)為1， ∴AB中點的坐標(biāo)為， ∴AB的中垂線方程為y＝－(x－1)＋＝－x＋， ∵AB的中垂線經(jīng)過點P(0，2)，故＝2，得k＝， ∴直線AB的方程為y＝x－. (2

32、)由(1)可知AB的中垂線方程為y＝－x＋， ∴M點的坐標(biāo)為(3，0)． 因為直線AB的方程為k2x－ky＋2－k2＝0， ∴M到直線AB的距離d＝＝， 由得y2－ky＋2－k2＝0， ∴y1＋y2＝，y1·y2＝， |AB|＝|y1－y2|＝， ∴S△AMB＝4. 設(shè)＝t，則0

33、軸時，根據(jù)題意設(shè)AB的中點為Q(1，t)，則kAB＝＝ ＝， 由P，Q兩點得AB中垂線的斜率為k＝t－2， 由(t－2)·＝－1，得t＝， ∴直線AB的方程為y＝x－. (2)由(1)知直線AB的方程為y－t＝(x－1)， AB中垂線方程為y－t＝－(x－1)，中垂線交x軸于點M(3，0)， 點M到直線AB的距離為d＝＝. 由得4x2－8x＋(t2－2)2＝0， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝， ∴|AB|＝|x1－x2|＝， ∴S＝|AB|·d＝ ＝≤＝， 當(dāng)t2＝時，S有最大值，此時直線AB方程為3x±y－1＝0. 備課札記 19