2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點題型 課下層級訓(xùn)練35 空間幾何體的表面積與體積（含解析）

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1、課下層級訓(xùn)練(三十五)　空間幾何體的表面積與體積 [A級　基礎(chǔ)強化訓(xùn)練] 1．把球的表面積擴大到原來的2倍，那么體積擴大到原來的(　　) A．2倍　 B．2倍　 C．倍　 D．倍 【答案】B　[由題意知球的半徑擴大到原來的倍，則體積V＝πR3，知體積擴大到原來的2倍．] 2．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如圖所示)，若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是(　　) A． B． C． D． 【答案】D　[依題意可知，旋轉(zhuǎn)體是一個大圓錐去掉一個小圓錐，如圖所示， OA＝AB·cos 30°＝2×＝，所以旋轉(zhuǎn)體的體積為π·()2·

2、(OC－OB)＝.] 3．(2019·山東東營模擬)表面積為24的正方體的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積是(　　) A．12π B．8π C． D．4π 【答案】A　[設(shè)正方體的棱長為a，因為表面積為24，即6a2＝24，得a ＝ 2，正方體的體對角線長度為＝2， 所以正方體的外接球半徑為r＝＝， 所以球的表面積為S＝4πr2＝12π.] 4．(2018·全國卷Ⅰ)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為(　　) A．8 B．6 C．8 D．8 【答案】C　[如圖，連接AC1，BC1，AC.

3、∵AB⊥平面BB1C1C， ∴∠AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角， ∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝＝4， 在Rt△ACC1中，CC1＝＝＝2， ∴V長方體＝AB×BC×CC1 ＝2×2×2＝8.] 5．(2017·全國卷Ⅱ)長方體的長、寬、高分別為3,2,1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為________. 【答案】14π　[∵長方體的頂點都在球O的球面上， ∴長方體的體對角線的長度就是其外接球的直徑． 設(shè)球的半徑為R， 則2R＝＝. ∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×2＝14π.] 6．(2017·江蘇卷

4、)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________. 【答案】　[設(shè)球O的半徑為R， ∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切， ∴圓柱O1O2的高為2R，底面半徑為R. ∴＝＝.] 7．現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________. 【答案】　[設(shè)新的底面半徑為r，由題意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝.]

5、8．(2019·山東濰坊檢測)已知正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面是直角三角形，P﹣ABC的頂點都在球O的球面上，正三棱錐P﹣ABC的體積為36，則球O的表面積為________. 【答案】108π　[∵正三棱錐P﹣ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，∴此正三棱錐的外接球即以PA，PB，PC為三邊的正方體的外接球O，設(shè)球O的半徑為R，則正方體的邊長為，∵正三棱錐P﹣ABC的體積為36， ∴V＝×S△PAC×PB＝××××＝36，∴R＝3，∴球O的表面積為S＝4πR2＝108π.] 9．如圖(a)，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使

6、平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D -ABC，如圖(b)所示． (1)求證：BC⊥平面ACD； (2)求幾何體D -ABC的體積． 【答案】(1)證明　在圖中，可得AC＝BC＝2， 從而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC， 又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，∴BC⊥平面ACD. (2)解　由(1)可知，BC為三棱錐B -ACD的高，BC＝2， S△ACD＝2，∴VB-ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝， 由等體積性可知，幾何體D -ABC的體積為. [B級　能力提升訓(xùn)練] 10．(2017·全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩

7、個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A．π B． C． D． 【答案】B　[設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1， 由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知， r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形． ∴r＝＝. ∴圓柱的體積為V＝πr2h＝π×1＝.] 11．在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是邊長為的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為(　　) A． B．4π C．8π D．20π 【答案】C　[由題意得，此三棱錐外接球即為以△ABC為底面、以PA為高的正三棱柱的外接球，因為△ABC的外接圓半徑r＝××

8、＝1，外接球球心到△ABC的外接圓圓心的距離d＝1，所以外接球的半徑R＝＝，所以三棱錐外接球的表面積S＝4πR2＝8π.] 12．(2018·全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為________. 【答案】8π　[在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝·SA2＝8， 解得SA＝4. 設(shè)圓錐的底面圓心為O，底面半徑為r，高為h， 在Rt△SAO中，∠SAO＝30°， 所以r＝2，h＝2， 所以圓錐的體積為πr2·h＝π×(2)2×2＝8π.] 13．(2018·天津卷)已知正方體ABCD-A

9、1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M-EFGH的體積為________. 【答案】　[依題意，易知四棱錐M-EFGH是一個正四棱錐，且底面邊長為，高為. 故VM-EFGH＝×2×＝.] 14．(2019·廣東茂名模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，PA＝AB＝2，過BD作平面BDE與直線PA平行，交PC于點E. (1)求證：E為PC的中點； (2)求三棱錐E-PAB的體積． 【答案】(1)證明　如圖，連接AC，設(shè)AC∩BD＝O，連接OE，則O為

10、AC的中點，且平面PAC∩平面BDE＝OE， ∵PA∥平面BDE，∴PA∥OE，∴E為PC的中點． (2)解　由(1)知，E為PC的中點，∴V三棱錐P -ABC＝2V三棱錐E -ABC. 由底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，AB＝2，得S△ABC＝×22＝， ∴V三棱錐P -ABC＝S△ABC·PA＝××2＝. 又V三棱錐P -ABC＝V三棱錐E-ABC＋V三棱錐E -PAB， ∴V三棱錐E -PAB＝V三棱錐P -ABC＝. 15．(2019·貴州貴陽質(zhì)檢)如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝.

11、 (1)求證：DE⊥平面ACD； (2)設(shè)AC＝x，V(x)表示三棱錐B－ACE的體積，求函數(shù)V(x)的解析式及最大值． 【答案】(1)證明　∵四邊形DCBE為平行四邊形， ∴CD∥BE，BC∥DE. ∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC. ∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C， DC，AC?平面ADC， ∴BC⊥平面ADC. ∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC. (2)解　∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC. 在Rt△ABE中，AB＝2，EB＝. 在Rt△ABC中，∵AC＝x，∴BC＝(0