2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點題型 課下層級訓(xùn)練43 兩條直線的位置關(guān)系（含解析）

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1、課下層級訓(xùn)練(四十三)　兩條直線的位置關(guān)系 [A級　基礎(chǔ)強化訓(xùn)練] 1．(2019·山東諸城檢測)已知點P(3,2)與點Q(1,4)關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為(　　) A．x－y＋1＝0　　　　　 B．x－y＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0 【答案】A　[kPQ＝＝－1，故直線l的斜率為1，排除C、D，又線段PQ的中點為(2,3)，滿足A．] 2．命題p：“a＝－2”是命題q：“直線ax＋3y－1＝0與直線6x＋4y－3＝0垂直”成立的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A　[直線ax＋3y－1＝0與

2、直線6x＋4y－3＝0垂直的充要條件是6a＋12＝0，即a＝－2.] 3．(2019·山東日照檢測)過兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點和原點的直線方程為(　　) A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0 【答案】D　[方法一　由得 則所求直線方程為：y＝x＝－x， 即3x＋19y＝0． 方法二　設(shè)直線方程為x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0， 即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直線過點(0,0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0， 解得λ＝－，故所求直線方程為3x＋19y

3、＝0.] 4．(2019·山東臨沂聯(lián)考)數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點A(2,0)，B(0,4)，若其歐拉線的方程為x－y＋2＝0，則頂點C的坐標(biāo)是(　　) A．(－4,0) B．(0，－4) C．(4,0) D．(4,0)或(－4,0) 【答案】A　[當(dāng)頂點C的坐標(biāo)是(－4,0)時，三角形重心坐標(biāo)為，在歐拉線上，對于其他選項，三角形重心都不在歐拉線上．] 5．若直線l1：x＋3y＋m＝0(m>0)與直線l2：2x＋6y－3＝0的距離為，則m＝(　　) A．7 B．

4、C．14 D．17 【答案】B　[直線l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0，因為它與直線l2：2x＋6y－3＝0的距離為，所以＝，求得m＝.] 6．直線l1過點(－2,0)且傾斜角為30°，直線l2過點(2,0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點坐標(biāo)為____________． 【答案】(1，)　[直線l1：x－3y＋2＝0，直線l2：x＋y－2＝0，聯(lián)立方程組可求得x＝1，y＝.] 7．已知兩點A(－m,0)和B(2＋m,0)(m>0)，若在直線l：x＋y－9＝0上存在點P，使得PA⊥PB，則實數(shù)m的取值范圍是_______________． 【答案】

5、m≥3　[設(shè)P(x，y)，則kPA＝，kPB＝， 由已知可得 消去x得4y2－16y＋63－m2－2m＝0， 由題意得 解得m≥3.] 8．已知0＜k＜4，直線l1：kx－2y－2k＋8＝0和直線l2：2x＋k2y－4k2－4＝0與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形，則使得這個四邊形面積最小的k值為______________． 【答案】　[由題意知直線l1，l2恒過定點P(2,4)，直線l1的縱截距為4－k，直線l2的橫截距為2k2＋2，如圖， 所以四邊形的面積S＝2k2×2＋(4－k＋4)×2×＝4k2－k＋8，故面積最小時，k＝.] 9．已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：

6、(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且直線l1過點(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等． 【答案】解　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0． 又∵直線l1過點(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0． 故a＝2，b＝2． (2)∵直線l2的斜率存在，l1∥l2， ∴直線l1的斜率存在． ∴k1＝k2，即＝1－a． 又∵坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等， ∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即＝b． 故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2． 10．已知直線l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及點P(

7、3,4)． (1)證明直線l過某定點，并求該定點的坐標(biāo)； (2)當(dāng)點P到直線l的距離最大時，求直線l的方程． 【答案】(1)證明　直線l的方程可化為a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，由得 所以直線l恒過定點(－2,3)． (2)解　由(1)知直線l恒過定點A(－2,3)， 當(dāng)直線l垂直于直線PA時，點P到直線l的距離最大． 又直線PA的斜率kPA＝＝， 所以直線l的斜率kl＝－5． 故直線l的方程為y－3＝－5(x＋2)， 即5x＋y＋7＝0． [B級　能力提升訓(xùn)練] 11．若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱，則直線l2恒過定點(　　)

8、 A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2) 【答案】B　[直線l1：y＝k(x－4)恒過定點(4,0)，其關(guān)于點(2,1)對稱的點為(0,2)．又由于直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱，故直線l2恒過定點(0,2)．] 12．(2019·山東濟南模擬)已知曲線y＝在點P(2,4)處的切線與直線l平行且距離為2，則直線l的方程為(　　) A．2x＋y＋2＝0 B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0 C．2x－y－18＝0 D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0 【答案】B　[由題意得，y′＝＝，令x＝2，則y′＝－2，即切線的斜率為

9、k＝－2， 即直線l的斜率為k＝－2， 設(shè)直線l方程為2x＋y＋b＝0，由點到直線的距離公式可得d＝＝2， 解得b＝2或b＝－18，所以直線l的方程為2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0.] 13．P點在直線3x＋y－5＝0上，且P點到直線x－y－1＝0的距離為，則P點坐標(biāo)為____________． 【答案】(1, 2)或(2, －1)　[設(shè)P點坐標(biāo)為(x,5－3x)，則P點到直線x－y－1＝0的距離d＝＝＝，所以|2x－3|＝1，所以x＝1或x＝2. 所以P點坐標(biāo)為(1, 2)或(2，－1)．] 14．已知M(x，y)為曲線C：＋＝1上任意一點，且A(－3,0)，B(3,0)，

10、則|MA|＋|MB|的最大值是____________． 【答案】8　[原曲線方程可化為＋＝1，作圖如下： 由上圖可得要使|MA|＋|MB|取得最大值，則M必須在菱形的頂點處，不妨取M(0，±)，或M(±4,0)，均可求得|MA|＋|MB|＝8，故|MA|＋|MB|的最大值為8.] 15．已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點P． (1)點A(5,0)到l的距離為3，求l的方程； (2)求點A(5,0)到l的距離的最大值． 【答案】解　(1)經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，

11、∴＝3，解得λ＝2或λ＝． ∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0． (2)由解得交點P(2,1)． 如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點A到l的距離， 則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時等號成立)． ∴dmax＝|PA|＝． 16．一條光線經(jīng)過點P(2,3)射在直線l∶x＋y＋1＝0上，反射后經(jīng)過點Q(1,1)，求： (1)入射光線所在直線的方程； (2)這條光線從P到Q所經(jīng)路線的長度． 【答案】解　(1)設(shè)點Q′(x′，y′)為Q關(guān)于直線l的對稱點，QQ′交l于M點，∵kl＝－1，∴kQQ′＝1， ∴QQ′所在直線的方程為y－1＝1×(x－1)，即x－y＝0． 由解得 ∴交點M，∴ 解得∴Q′(－2，－2)． 設(shè)入射光線與l交于點N，則P，N，Q′三點共線， 又P(2,3)，Q′(－2，－2)， 故入射光線所在直線的方程為 ＝，即5x－4y＋2＝0． (2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′| ＝＝， 即這條光線從P到Q所經(jīng)路線的長度為． 6