2、的圖象與x軸的交點為(1，0)和(3，0)，則函數(shù)f(x)( )
A．在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增
B．在(－∞，3)上遞增
C．在[1，3]上遞增
D．單調(diào)性不能確定
解析：由已知可得該函數(shù)圖象的對稱軸為x＝2，又二次項系數(shù)為1＞0.
所以f(x)在(－∞，2]上是遞減的，在[2，＋∞)上是遞增的．
答案：A
3．(2019·安陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，則f(x)的最大值為( )
A．1 B．0 C．－1 D．2
解析：f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，
所以函數(shù)f
3、(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＝0時，f(x)取得最小值，當(dāng)x＝1時，f(x)取得最大值，所以f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1.
答案：A
4．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(9，3)，若f(m)＝2，則m＝( )
A．8 B．4 C．2 D.
解析：設(shè)f(x)＝xα，則9α＝3，所以α＝，
因此f(x)＝，則f(m)＝＝2，所以m＝4.
答案：B
5．已知函數(shù)y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是單調(diào)函數(shù)，則y＝2ax＋b的圖象不可能是( )
解析：選項A中，a＝0時，符合題意．
當(dāng)a≠0時，對稱軸x＝－≥0且y＝2
4、ax＋b與x軸的交點為應(yīng)位于x軸非負半軸，B不符合題意．選項C，D符合題意．
答案：B
6．(2018·上海卷)已知α∈.若冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上遞減，則α＝________．
解析：因為冪函數(shù)y＝xα是奇函數(shù)，知α可?。?，1，3.
又y＝xα在(0，－∞)上是減函數(shù)，
所以α<0，即α＝－1.
答案：－1
7．二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過兩點(0，3)，(2，3)，且函數(shù)的最大值是5，則函數(shù)f(x)的解析式是________．
解析：由于點(0，3)，(2，3)在y＝f(x)圖象上，
所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，
又f(x)的最大值為5
5、，
設(shè)f(x)＝a(x－1)2＋5(a<0)．
由f(0)＝f(2)＝3，得3＝a＋5，所以a＝－2.
因此f(x)＝－2(x－1)2＋5＝－2x2＋4x＋3.
答案：－2x2＋4x＋3
8．(2019·濰坊調(diào)研)若二次函數(shù)f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值為0，則a＋4b的取值范圍是________．
解析：依題意，知a>0，且Δ＝1－4ab＝0，
所以4ab＝1，且b>0.
故a＋4b≥2＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝4b，即a＝1，b＝時等號成立．
所以a＋4b的取值范圍是[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
9．已知冪函數(shù)f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的圖
6、象經(jīng)過點(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2－a)＞f(a－1)的實數(shù)a的取值范圍．
解：因為冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(2，)，
所以＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1，
所以m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.
又因為m∈N*，所以m＝1.所以f(x)＝x，
則函數(shù)的定義域為[0，＋∞)，并且在定義域上為增函數(shù)．
由f(2－a)＞f(a－1) 得
解得1≤a＜，所以a的取值范圍為.
10．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(
7、2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立，試求b的取值范圍．
解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，
且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.
所以F(x)＝
所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，
從而|f(x)|≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立等價于－1≤x2＋bx≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．
又－x的最小值為0，－－x的最大值為－2.
所以－2≤b≤0.故b的取值范圍是[－2，0]．
B組 素養(yǎng)提升
8、
11．(2019·濟寧調(diào)研)下列命題正確的是( )
A．y＝x0的圖象是一條直線
B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(0，0)，(1，1)
C．若冪函數(shù)y＝xn是奇函數(shù)，則y＝xn是增函數(shù)
D．冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限
解析：A中點(0，1)不在直線上，A錯．
B中，y＝xn，當(dāng)n<0時，圖象不過原點，B不正確．
C中，當(dāng)n<0，y＝xn在(－∞，0)，(0，＋∞)上為減函數(shù)，C錯誤．
冪函數(shù)圖象一定過第一象限，一定不過第四象限．D正確．
答案：D
12．(2017·浙江卷)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0，1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m( )
A
9、．與a有關(guān)，且與b有關(guān)
B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)
C．與a無關(guān)，且與b無關(guān)
D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)
解析：設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)在[0，1]上的最小值點與最大值點，則m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.
所以M－m＝x－x＋a(x2－x1)，顯然此值與a有關(guān)，與b無關(guān)．
答案：B
13．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函數(shù)，若f(a)≥f(0)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：由題意可知函數(shù)f(x)的圖象開口向下，對稱軸為x＝2(如圖)，
若f(a)≥f(0)，從圖象觀察可知0≤a≤4.
答案：
10、[0，4]
14．(2019·菏澤市聯(lián)考)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(2－x)，且f(1)＝4，f(3)＝0.
(1)求f(x)的解析式．
(2)是否存在實數(shù)m，使得在[1，4)上f(x)的圖象恒在曲線y＝2x＋m的上方？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．
解：(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c.
因為二次函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(2－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，
即－＝1.①
因為f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(1)＝a＋b＋c＝4，②
f(3)＝9a＋3b＋c＝0，③
聯(lián)立①②③，解得a＝－1，b＝2，c＝3.
故f(x)＝－x2＋2x＋3.
(2)設(shè)g(x)＝－x2＋2x＋3－2x－m.
f(x)的圖象恒在曲線y＝2x＋m的上方等價于g(x)>0恒成立．
所以m<－x2＋2x＋3－2x恒成立．
因為y＝－x2＋2x＋3在[1，4)上單調(diào)遞減，y＝2x在[1，4)上單調(diào)遞增，
所以h(x)＝－x2＋2x＋3－2x在[1，4)上單調(diào)遞減，
所以h(x)>h(4)＝－16＋8＋3－16＝－21.
即m≤－21.
故實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－21]．
5
2020屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時跟蹤練（七）冪函數(shù)與二次函數(shù) 文（含解析）新人教A版
