2020年高考數(shù)學一輪復習 考點題型 課下層級訓練25 正弦定理和余弦定理的應用（含解析）

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1、課下層級訓練(二十五)　正弦定理和余弦定理的應用 [A級　基礎強化訓練] 1．如圖，兩座燈塔A和B與河岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(　　) A．北偏東10°　　　　 B．北偏西10° C．南偏東80° D．南偏西80° 【答案】D　[由條件及題圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.] 2．(2019·湖北十堰調(diào)研)已知A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A，C兩地間的距離

2、為(　　) A．10 km B．10 km C．10 km D．10 km 【答案】D　[如圖所示， 由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝10.] 3．(2019·河南鄭州月考)如圖所示，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于(　　) A．5 B．15 C．5 D．15 【答案】D　[在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得＝，所以BC＝15. 在Rt

3、△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.] 4．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40 n mile的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是(　　) A．10 n mile B．10 n mile C．20 n mile D．20 n mile 【答案】A　[畫出示意圖如圖所示， 易知，在△ABC中，AB＝20 n mile，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得＝，解得BC＝10 n mile.] 5．如圖，兩座相距60

4、m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m,50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為(　　) A．30°　　 B．45°　　 C．60°　　 D．75° 【答案】B　[依題意可得AD＝20，AC＝30，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.] 6．輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港C，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25 n mile/h,15 n mile/h，則下午2時兩船之間的距離是________n mile.

5、 【答案】70　[設兩船之間的距離為d，則d2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，∴d＝70，即兩船相距70 n mile.] 7．一船以每小時15 km的速度向正東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為________km. 【答案】30　[如圖所示， 依題意有：AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．] 8．(2018·福建福州質(zhì)檢)如圖，小明同學在山頂A處觀測到，一輛汽車在一條水平的公路上沿

6、直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽車從B點到C點歷時14 s，則這輛汽車的速度為________ m/s(精確到0.1)．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈2.236. 【答案】22.6　[由題意可得AB＝200，AC＝100，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝105，則BC＝100≈141.4×2.236，又歷時14 s，所以速度為≈22.6 m/s.] 9．(2019·山西監(jiān)測)如圖，點A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6. 現(xiàn)要在點C處搭建一個觀測

7、站CD，點D在頂端． (1)原計劃CD為鉛垂線方向，α＝45°，求CD的長； (2)搭建完成后，發(fā)現(xiàn)CD與鉛垂線方向有偏差，并測得β＝30°，α＝53°，求CD2.(結果精確到1) (本題參考數(shù)據(jù)：sin 97°≈1，cos 53°≈0.6) 【答案】解　(1)∵CD為鉛垂線方向，點D在頂端， ∴CD⊥AB． 又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4. (2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，∴∠ADB＝180°－83°＝97°， ∴由＝得 AD＝＝＝≈5. 在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos α ＝52＋42－

8、2×5×4×cos 53°≈17. 10．已知在東西方向上有M，N兩座小山，山頂各有一個發(fā)射塔A，B，塔頂A，B的海拔高度分別為AM＝100 m和BN＝200 m，一測量車在小山M的正南方向的點P處測得發(fā)射塔頂A的仰角為30°，該測量車向北偏西60°方向行駛了100 m后到達點Q，在點Q處測得發(fā)射塔頂B處的仰角為θ，且∠BQA＝θ，經(jīng)測量tan θ＝2，求兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離． 【答案】解　在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100， ∴PM＝100，在△PQM中，∠QPM＝60°， 又PQ＝100，∴△PQM為等邊三角形，∴QM＝100. 在Rt△AMQ中，由AQ2

9、＝AM2＋QM2，得AQ＝200. 在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200， ∴BQ＝100，cos θ＝. 在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ ＝(100)2，∴BA＝100. 即兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離是100 m. [B級　能力提升訓練] 11．(2019·廣東廣州調(diào)研)如圖所示長為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上，另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上，石堤的傾斜角為α，則坡度值tan α等于(　　) A． B． C． D． 【答案】A　[由題意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，

10、AC＝1.4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝，所以sin α＝，所以tan α＝＝.] 12．(2019·湖北武昌調(diào)研)如圖，據(jù)氣象部門預報，在距離某碼頭南偏東45°方向600 km處的熱帶風暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移動，距風暴中心450 km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，則該碼頭將受到熱帶風暴影響的時間為(　　) A．14 h B．15 h C．16 h D．17 h 【答案】B　[記現(xiàn)在熱帶風暴中心

11、的位置為點A，t小時后熱帶風暴中心到達B點位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根據(jù)余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×20t×600×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1 575≤0，解得≤t≤，所以該碼頭將受到熱帶風暴影響的時間為－＝15(h)．] 13．(2018·福建泉州模擬)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD．已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50 m，則該扇形的半徑為______ m. 【答案】50

12、　[如圖，連接OC，在△OCD中，OD＝100， CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得 OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500， 解得OC＝50.] 14．(2018·山東臨沂期中)我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在《數(shù)學九章》的“田域類”中寫道：問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知為田幾何．意思是已知三角形沙田的三邊長分別為13,14,15里，求三角形沙田的面積．請問此田面積為________平方里． 【答案】84　[由題意畫出圖象： 且AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，在△ABC中，由余弦

13、定理得，cos B＝＝＝，所以sin B＝＝，則該沙田的面積：即△ABC的面積S＝AB·BC·sin B＝×13×14×＝84.] 15．如圖所示，在一條海防警戒線上的點A，B，C處各有一個水聲監(jiān)測點，B，C兩點到點A的距離分別為20 km和50 km.某時刻，B收到發(fā)自靜止目標P的一個聲波信號，8 s后A，C同時接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s. (1)設A到P的距離為x km，用x表示B，C到P的距離，并求x的值； (2)求靜止目標P到海防警戒線AC的距離． 【答案】解　(1)依題意，有PA＝PC＝x， PB＝x－1.5×8＝x－12. 在△PA

14、B中，AB＝20，cos∠PAB＝＝＝. 同理，在△PAC中，AC＝50， cos∠PAC＝＝＝. 因為cos∠PAB＝cos∠PAC， 所以＝，解得x＝31. (2)作PD⊥AC于點D，在△ADP中，由cos∠PAD＝，得sin∠PAD＝＝， 所以PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4(km)． 故靜止目標P到海防警戒線AC的距離為4 km. 16．某高速公路旁邊B處有一棟樓房，某人在距地面100 m的32樓陽臺A處，用望遠鏡觀測路上的車輛，上午11時測得一客車位于樓房北偏東15°方向上，且俯角為30°的C處，10 s后測得該客車位于樓房北偏西75°方向上，且俯角為45°的D處

15、．(假設客車勻速行駛) (1)如果此高速路段限速80 km/h，試問該客車是否超速？ (2)又經(jīng)過一段時間后，客車到達樓房的正西方向E處，問此時客車距離樓房多遠？ 【答案】解　(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100 m， 則BC＝100 m. 在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100 m， 則BD＝100 m. 在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°， 則DC＝＝200 m， 所以客車的速度v＝＝20 m/s＝72 km/h， 所以該客車沒有超速． (2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°， 又因為∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°， 所以∠CEB＝45°. 在△BCE中，由正弦定理可知＝， 所以EB＝＝50 m， 即此時客車距樓房50 m. 7