2020屆高考數(shù)學一輪總復習 課時跟蹤練（五十七）直線與橢圓的綜合問題（提升課） 理（含解析）新人教A版

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1、課時跟蹤練(五十七) A組　基礎鞏固 1．直線y＝kx－k＋1與橢圓＋＝1的位置關系為(　　) A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定 解析：由于直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1過定點(1，1)，又(1，1)在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓相交． 答案：A 2．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點坐標是M(－4，1)，則橢圓的離心率是(　　) A. B. C. D. 解析：設直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程，由點差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得＝，e＝ ＝，

2、 故選C. 答案：C 3．(2019·呂梁模擬)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點，若橢圓上存在一點P，使得(＋)·＝0(O為坐標原點，則△F1PF2的面積是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：因為(＋)·＝(＋)·＝·＝0，所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°. 設|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝4，m2＋n2＝12， 2mn＝4，所以S△F1PF2＝mn＝1.故選D. 答案：D 4．若直線ax＋by－3＝0與圓x2＋y2＝3沒有公共點，設點P的坐標為(a，b)，則過點P的一條直線與橢圓＋＝1的公共點的個數(shù)為(　　) A．0

3、 B．1 C．2 D．1或2 解析：由題意得，圓心(0，0)到直線ax＋by－3＝0的距離為 >，所以a2＋b2<3.又a，b不同時為零，所以0

4、2－1)>0，即t2<5，|AB|＝＝ ≤(當且僅當t＝0時取等號)．故選C. 答案：C 6．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右頂點為A(1，0)，過其焦點且垂直于長軸的弦長為1，則橢圓方程為________． 解析：因為橢圓＋＝1的右頂點為A(1，0)，所以b＝1，焦點坐標為(0，c)，因為過焦點且垂直于長軸的弦長為1，所以＝1，a＝2，所以橢圓方程為＋x2＝1. 答案：＋x2＝1 7．(2019·贛南五校聯(lián)考)橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓E的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于_____

5、___． 解析：由已知得直線y＝(x＋c)過M、F1兩點，所以直線MF1的斜率為，所以∠MF1F2＝60°，則∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，則MF1＝c，MF2＝c，由點M在橢圓E上知，c＋c＝2a，故e＝＝－1. 答案：－1 8．已知直線l過點P(2，1)且與橢圓＋＝1交于A，B兩點，當P為AB中點時，直線AB的方程為________． 解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為A，B兩點在橢圓上，所以＋＝1，① ＋＝1，② ①－②得，＋＝0， 又AB的中點為P(2，1)，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 即＋＝0，所以kAB＝＝－， 故AB的方

6、程為y－1＝－(x－2)，即8x＋9y－25＝0. 答案：8x＋9y－25＝0 9．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，其中左焦點為F(－2，0)． (1)求橢圓C的方程； (2)若直線y＝x＋m與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點M在圓x2＋y2＝1上，求m的值． 解：(1)由題意，得 解得 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 線段AB的中點為M(x0，y0)， 由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0， Δ＝96－8m2>0，所以－2

7、M(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上， 所以＋＝1，所以m＝±. 10．(2019·衡陽模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為，直線y＝1與C的兩個交點間的距離為. (1)求橢圓C的方程； (2)分別過F1、F2作l1、l2滿足l1∥l2，設l1、l2與C的上半部分分別交于A、B兩點，求四邊形ABF2F1面積的最大值． 解：(1)易知橢圓過點，所以＋＝1，① 又＝，② a2＝b2＋c2，③ 由①②③得a2＝4，b2＝3， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設直線l1的方程為x＝my－1，它與C的另一個交點為D. 將直線l1與橢圓C

8、的方程聯(lián)立，消去x， 得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， Δ＝144(m2＋1)>0. |AD|＝·， 又F2到l1的距離d＝， 所以S△ADF2＝. 令t＝，t≥1，則S△ADF2＝， 當t＝1時，S△ADF2取得最大值，為3. 又S四邊形ABF2F1＝(|BF2|＋|AF1|)·d＝(|AF1|＋ |DF1|)·d＝|AD|·d＝SADF2， 所以四邊形ABF2F1面積的最大值為3. B組　素養(yǎng)提升 11．已知橢圓E的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1且斜率為2的直線交橢圓E于P，Q兩點，若△PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率為(　　) A. B.

9、 C. D. 解析： 由題意可知，∠F1PF2是直角，且tan ∠PF1F2＝2， 所以＝2， 又|PF1|＋|PF2|＝2a， 所以|PF1|＝，|PF2|＝. 根據(jù)勾股定理得＋＝(2c)2， 所以離心率e＝＝. 答案：A 12．過橢圓＋＝1內(nèi)的一點P(2，－1)的弦，恰好被點P平分，則這條弦所在的直線方程是(　　) A．5x－3y－13＝0 B．5x＋3y－13＝0 C．5x－3y＋13＝0 D．5x＋3y＋13＝0 解析：設弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 故×＋×＝0， 又x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，故斜率k＝. 故這

10、條弦所在直線方程為y＋1＝(x－2)，即5x－3y－13＝0. 答案：A 13．已知直線l：y＝kx＋2過橢圓＋＝1(a>b>0)的上頂點B和左焦點F，且被圓x2＋y2＝4截得的弦長為L，若L≥，則橢圓離心率e的取值范圍是________． 解析：依題意，知b＝2，kc＝2. 設圓心到直線l的距離為d，則L＝2≥， 解得d2≤. 又因為d＝，所以≤，解得k2≥. 于是e2＝＝＝，所以0b>0)的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的離心率為，點A的坐標為(b，0)，且|FB|·|AB|＝6. (1

11、)求橢圓的方程； (2)設直線l：y＝kx(k>0)與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q.若＝sin∠AOQ(O為原點)，求k的值． 解：(1)設橢圓的焦距為2c，由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.由已知可得|FB|＝a，|AB|＝b， 由|FB|·|AB|＝6，可得ab＝6，從而a＝3，b＝2. 所以，橢圓的方程為＋＝1. (2)設點P的坐標為(x1，y1)，點Q的坐標為(x2，y2)． 由已知有y1>y2>0，故|PQ|sin∠AOQ＝y(tǒng)1－y2. 又因為|AQ|＝，而∠OAB＝， 所以|AQ|＝y(tǒng)2. 由＝sin∠AOQ，可得5y1＝9y2. 由方程組消去x，可得y1＝. 易知直線AB的方程為x＋y－2＝0， 由方程組消去x，可得y2＝. 由5y1＝9y2，可得5(k＋1)＝3，兩邊平方， 整理得56k2－50k＋11＝0，解得k＝或k＝. 所以k的值為或. 7