2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十六講 開(kāi)放性問(wèn)題評(píng)說(shuō)

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1、2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座第二十六講開(kāi)放性問(wèn)題評(píng) 一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的構(gòu)成含有四個(gè)要素：題目的條件、解題的依據(jù)、解題的方法、題目的結(jié)論，如果題目所含的四個(gè)要素是解題者已經(jīng)知道，或者結(jié)論雖未指明，但它是完全確定的，這樣的問(wèn)題就是封閉性的數(shù)學(xué)問(wèn)題． 開(kāi)放性問(wèn)題是相對(duì)于封閉性問(wèn)題而言，從所呈現(xiàn)問(wèn)題的方式看，有下列幾種基本形式：1．條件開(kāi)放題稱條件不充分或沒(méi)有確定已知條件的開(kāi)放性問(wèn)題為條件開(kāi)放題，解題時(shí)需執(zhí)果尋因，根據(jù)結(jié)論和已有的已知條件，尋找使得結(jié)論成立的其他條件． 2．結(jié)論開(kāi)放題稱結(jié)論不確定或沒(méi)有確定結(jié)論的開(kāi)放性問(wèn)題為結(jié)論開(kāi)放題，解題時(shí)需由因?qū)Ч?，由已知條件導(dǎo)出相應(yīng)結(jié)論． 3．判

2、斷性開(kāi)放題稱判定幾何圖形的形狀大小、圖形的位置關(guān)系、方程(組)的解的情況或判定具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在的開(kāi)放題問(wèn)題稱為判斷性開(kāi)放題，解題的基本思路是：由已知條件及知識(shí)作出判斷，然后加以證明． 【例題求解】 【例1】如圖，00與OOx外切于點(diǎn)T,PT為其內(nèi)公切線，AB為其外公切線，且A、B為切點(diǎn)，AB與PT相交于點(diǎn)P,根據(jù)圖中所給出的已知條件及線段，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)正確結(jié)論，并加以證明． 思路點(diǎn)撥為了能寫(xiě)出更多的正確結(jié)論，我們可以從以下幾分角度作探索，線段關(guān)系，角的 關(guān)系、三角形的關(guān)系及由此推出的相應(yīng)結(jié)論． 注：明確要求將數(shù)學(xué)開(kāi)放性題作為中考試題，還是近一二年的事情．開(kāi)放性問(wèn)題沒(méi)有

3、明確的目標(biāo)和解題方向，留有極大的探索空間． 解開(kāi)放性問(wèn)題，不具有定向的解題思路，解題時(shí)總要有合情合理、實(shí)事求是的分析，要把歸納與演繹協(xié)調(diào)配合起來(lái)，把直覺(jué)發(fā)現(xiàn)與邏輯推理相互結(jié)合起來(lái)，把一般能力和數(shù)學(xué)能力同時(shí)發(fā)揮出來(lái)．杭州市對(duì)本例評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是以正確結(jié)論的難易程度為標(biāo)準(zhǔn)靈活打分，分值直接反映考生的能力及創(chuàng)新性． 【例2】如圖，四邊形ABCD是00的內(nèi)接四邊形，A是B1T的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)的切線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E． (1) 求證：AB?DA=C0?BE； (2) 若點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A在BD上運(yùn)動(dòng)，使切線EA變?yōu)楦罹€EFA,其他條件不變，問(wèn)具備什么條件使原結(jié)論成立?(要求畫(huà)出示意圖，注明

4、條件，不要求證明) 思路點(diǎn)撥對(duì)于(2),能畫(huà)出圖形盡可能畫(huà)出圖形，要使結(jié)論AB?DA=CD?BE成立，即要證△ABEs^CDA，已有條件ZABE=ZCDA，還需增加等角條件，這可由多種途徑得到. 注：許多開(kāi)放性問(wèn)題解題思路也是開(kāi)放的(多角度、多維度思考)，探索的條件或結(jié)論并不惟一．故解開(kāi)放性問(wèn)題，應(yīng)盡可能深入探究，發(fā)散思維，提高思維的品質(zhì)，切忌入寶山而空返． 【例3】⑴如圖1,若00與00外切于A,BC是00與00外公切線，B、C為切點(diǎn)，求證:1212 AB丄AC. (2) 如圖2,若00與00外離，BC是00與00的外公切線，B、C為切點(diǎn)，連心線00 121212分別交0

5、0、00于M、N，BM、CN的延長(zhǎng)線交于P,則BP與CP是否垂直?證明你的結(jié)論. 12 (3) 如圖3,若00與00相交，BC是00與00的公切線，B、C為切點(diǎn)，連心線00 121212分別交00、00于M、N,Q是線段MN上一點(diǎn)，連結(jié)BQ、CQ,則BQ與CQ是否垂直?證明你12 的結(jié)論. 圖1圖2圖3 思路點(diǎn)撥本例是在基本條件不變的情況下，通過(guò)運(yùn)動(dòng)改變兩圓的位置而設(shè)計(jì)的，在運(yùn)動(dòng)變化中，結(jié)論可能改變或不變，關(guān)鍵是把(1)的證法類比運(yùn)用到(2)、(3)問(wèn)題中. 注:開(kāi)放性問(wèn)題還有以下呈現(xiàn)方式: (1) 先提出特殊情況進(jìn)行研究，再要求歸納猜測(cè)和確定一般結(jié)論； (2) 先對(duì)

6、某一給定條件和結(jié)論的問(wèn)題進(jìn)行研究，再探討改變條件時(shí)其結(jié)論應(yīng)發(fā)生的變化或改變結(jié)論時(shí)其條件相應(yīng)發(fā)生的變化. 【例4】已知直線(>0)與軸、軸分別交于A、C兩點(diǎn)，開(kāi)口向上的拋物線過(guò)A、C兩點(diǎn)，且與軸交于另一點(diǎn)B. (1) 如果A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)0的距離A0、B0滿足A0=3B0,點(diǎn)B到直線AC的距離等于，求這條直線和拋物線的解析式； (2) 是否存在這樣的拋物線，使得tanZACB=2，且△ABC外接圓截得軸所得的弦長(zhǎng)等于5？若存在，求出這樣的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 思路點(diǎn)撥(1)通過(guò)“點(diǎn)B到直線AC的距離等于”利用等積變換求出A、B兩點(diǎn)的距離；⑵ 先假設(shè)存在這樣的拋物線，再

7、由條件推理計(jì)算求得，最后加以驗(yàn)證即可． 設(shè)等腰三角形的底和腰分別為、， 底角和頂角分別為、．要求“正度”的值是非負(fù)數(shù)． 注：解存在性開(kāi)放問(wèn)題的基本方法是假設(shè)求解法，即假設(shè)存在一演繹推理一得出結(jié)論（合理或矛盾）． 這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把它與正三角形的接近程 【例5】如圖度稱為“正度” 同學(xué)甲認(rèn)為：可用式子來(lái)表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形； 同學(xué)乙認(rèn)為：可用式子來(lái)表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形 探究：（1）他們的方案哪個(gè)較為合理，為什么? （2）對(duì)你認(rèn)為不夠合理的方案，請(qǐng)加以改進(jìn)（給出式

8、子即可）3）請(qǐng)?jiān)俳o出一種衡量“正度”的表達(dá)式． 思路點(diǎn)撥通過(guò)閱讀，正確理解“正度”這個(gè)新概念，同時(shí)也要抓住“在研究‘正度'時(shí)應(yīng)保證相似三角形的‘正度'相等”這句話的實(shí)質(zhì)，可先采取舉實(shí)例加深對(duì)“正度”的理解再判斷方案的合理性并改進(jìn)方法． 注：（1）解結(jié)論開(kāi)放題往往要充分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜想，通過(guò)觀察、比較、聯(lián)想、猜測(cè)、推理和截判斷等探索活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論． （2）閱讀是學(xué)習(xí)的重要途徑，在這種閱讀型研究性問(wèn)題中，涌現(xiàn)了許多介紹新的知識(shí)和新的研究方法的問(wèn)題，能極大地開(kāi)闊我們的視野． （3）研究性學(xué)習(xí)是課程改革的一個(gè)亮點(diǎn)，研究性學(xué)習(xí)是美國(guó)芝加哥大學(xué)教授施瓦布在《作為探究的科學(xué)教學(xué)

9、》的演講時(shí)提出的．他主張引導(dǎo)學(xué)生直接用科學(xué)研究的方式進(jìn)行教學(xué)，即設(shè)定情境、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證假設(shè)、分析結(jié)果、得出結(jié)論．研究性問(wèn)題是近年中考中出現(xiàn)的一種新題型，它要求我們適應(yīng)新情況，通過(guò)實(shí)踐，增強(qiáng)探究和創(chuàng)新意識(shí)，學(xué)習(xí)科學(xué)研究方法． 學(xué)力訓(xùn)練 1. 如圖，是四邊形ABCD的對(duì)稱軸，如果AD〃BC，有下列結(jié)論: ①AB〃CD，②AB=BC；3AB丄BC:④AO=OC. 其中正確的是. 2. 如圖，是一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形與兩個(gè)長(zhǎng)、寬分別為、的小矩形ABCD，則整個(gè)圖形可表 達(dá)出一些有關(guān)多項(xiàng)式分解因式的等式，請(qǐng)你寫(xiě)出其中任意三個(gè)等式：① ②:③. 3. 有一個(gè)二次

10、函數(shù)的圖象，三位學(xué)生分別說(shuō)出了它的一些特點(diǎn)： 甲：對(duì)稱軸是直線；乙：與軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)； 丙：與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，且以這三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為3． 請(qǐng)你寫(xiě)出滿足上述全部特點(diǎn)的一個(gè)二次函數(shù)解析式：一 4. 如圖，已知AB為00的直徑，直線與00相切于點(diǎn)D，AC丄于C，AC交00于點(diǎn)E，DF丄 AB于F． (1) 圖中哪條線段與BF相等?試證明你的結(jié)論； (2) 若AE=3,CD=2，求00的直徑. 5．在一個(gè)服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料(如圖)．現(xiàn)找出其中的一種，測(cè)得ZC=90°,AC=BC=4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的

11、玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上，且扇形的弧與厶ABC的其他邊相切，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出所有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑(只要求畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出扇形半徑)． 6. 如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(X],0)，B(x2,O)(X]〈O〈X2),與y軸交于點(diǎn)C(0，-2)，若 0B=40A，且以AB為直徑的圓過(guò)C點(diǎn).212 (1) 求此拋物線的解析式； (2) 若點(diǎn)D在此拋物線上，且AD〃CB. ① 求D點(diǎn)的坐標(biāo)； ② 在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)P使得AAPD的面積與四邊形ACBD的面積相等?若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 7. 給定四個(gè)命題：①

12、Sinl5。與sin75°的平方和為1；②函數(shù)的最小值為-10；③；④，則 x=10”，其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù) 8. ①在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程的根為；②在ZABC中，若AC2+BC2〉A(chǔ)B2，則AABC是銳角三角形；③在AABC和厶AB1C1中，、分別為AABC的三邊,、、分別為△ABR］的三邊，若〉，〉，〉,則厶ABC的面積大S于厶AB1C］的面積S］.以上三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是() A．0B．1C．2D．3 9. 已知：AB是00的直徑，AP、AQ是00的兩條弦，如圖1,經(jīng)過(guò)B做00的切線，分別交直線AP、AQ于點(diǎn)M、N.可以得出結(jié)論AP?AM=AQ?AN成立. 圖

13、1圖2圖3 (1) 若將直線向上平行移動(dòng)，使直線與00相交，如圖2所示，其他條件不變，上述結(jié)論是否成立?若成立，寫(xiě)出證明，若不成立，說(shuō)明理由； (2) 若將直線繼續(xù)向上平行移動(dòng)，使直線與00相離，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D3上畫(huà)出符合條件的圖形，上述結(jié)論成立嗎?若成立，寫(xiě)出證明；若不成立，說(shuō)明理由. 10. 如圖，已知圓心A(0，3)，A與軸相切，0B的圓心在軸的正半軸上，且0B與0A外切于點(diǎn)P,兩圓的公切線MP交軸于點(diǎn)M,交軸于點(diǎn)N. (1)若sinZOAB=，求直線MP的解析式及經(jīng)過(guò)M、N、B三點(diǎn)的拋物線的解析式； ⑵若A的位置大小不變，0B的圓心在軸的正半軸上移動(dòng)，并使0B與0A始終

14、外切，過(guò)M作0B的切線MC,切點(diǎn)為C在此變化過(guò)程中探究： ① 四邊形OMCB是什么四邊形，對(duì)你的結(jié)論加以證明； ② 經(jīng)過(guò)M、N、B點(diǎn)的拋物線內(nèi)是否存在以BN為腰的等腰三角形?若存在，表示出來(lái)；若不存在，說(shuō)明理由. 11. 有一張矩形紙片ABCD，E、F、分別是BC、AD上的點(diǎn)(但不與頂點(diǎn)重合)，若EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，設(shè)AB=，AD=，BE=. (1) 求證：AF=EC； (2) 用剪刀將該紙片沿直線EF剪開(kāi)后，再將梯形紙片ABEF沿AB對(duì)稱翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，一腰落在DC的延長(zhǎng)線上，拼接后，下方梯形記作EE'B'C. ① 當(dāng)為何

15、值時(shí)，直線E'E經(jīng)過(guò)原矩形的一個(gè)頂點(diǎn)？ ② 在直線E'E經(jīng)過(guò)原矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的情形下，連結(jié)BE'，直線BE'與EF是否平行?你若認(rèn)為平行，請(qǐng)給予證明；你若認(rèn)為不平行，試探究當(dāng)與有何種數(shù)量關(guān)系時(shí)，它們就垂直? 12．(1)證明：若取任意整數(shù)時(shí)，二次函數(shù)總?cè)≌麛?shù)值，那么，、、都是整數(shù)． (2)寫(xiě)出上述命題的逆命題，且證明你的結(jié)論． 13.已知四邊形ABCD的面積為32,AB、CD、AC的長(zhǎng)都是整數(shù)，且它們的和為16. (1) 這樣的四邊形有幾個(gè)? (2) 求這樣的四邊形邊長(zhǎng)的平方和的最小值． 參考答案 靄開(kāi)放性問(wèn)冊(cè)評(píng)說(shuō) 【例題求解】 例】現(xiàn)按寫(xiě)岀的結(jié)論的難易程度，給出的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

16、如下： (1) 寫(xiě)出以下結(jié)論，并給予證明的給6分:①PA=PT；?ZPAT=ZPTAi③ZOAP=ZOTP=90°. (2〉寫(xiě)岀以下結(jié)論并給予證明的給8分:①PA=PB=PT$②ZATB=60°,③ZAOT+ZAPT=180°；④OA//O}B. (3)寫(xiě)出以下結(jié)論，并給予證明的給10分:△OATgo/^PTB? <4)寫(xiě)岀以下結(jié)論，并給予證明的給12分：PA?PB=OT?QT?例2(1)由厶ABEc^ACDA得?器=器，即AB?DA=CD?EE. (2) 只要ZB4E=ZACD,即只需?(或屈或AF//BD,或ZBCF=ZACD，或ZBAF=ZABD等)即可?例3⑴連OlB,O2C

17、，ZABC+ZACB=y(ZBO1O2+ZCO2O1)=yX180°=90°,即AB丄AC； (2) BP與CP是垂直的，仿(1)的證法證明； (3) BP與CP是不垂直的，連OiB,O2C,CN.BM，ZCNM+ZBMN=90°?ZBQa+ZCQO2>/BMN+ZCNM=90°,故ZBQC=180°—(ZBQO】+ZCQO2)V90°? 4 例4(1)A(萬(wàn)，0),C(0,-4)設(shè)人5,0〉陽(yáng)(工2,0),(乃>0>工2),「=一3才2,設(shè)點(diǎn)B到直線AC的 距離為力9則AC=丿4$+16,S^abc=寺AC?h=AB?OC??J??十16?書(shū)=(X)一工2〉X4,解得4=3,??M

18、=令，可得直線、拋物線的解析式分別為y=令工一4,了=令工2一_|_工一4; (2〉假設(shè)存在這樣的拋物線，其解析式為y=ax2+bx-49并設(shè)△ABC的外接圓圓心為G,連AG,BG,作GE丄工軸于E,GF丄，軸于F,則C(0?—4),D(0,l)? CF=DF=號(hào),GE=OF=4—*=號(hào)，由tanZAGE==tanZACB=2,得AE=2GE=3,化AB=2AE=6, OA?OB—OC?OD,即一xiX2=4,a=1,又AB=6, (4—工2)2=(xi+乜)2—4xix2=/+16=36,解得6=±2>/5. 故存在這樣的拋物線，其解析式為y=F±2辰一4.I 例5(1)同學(xué)乙的

19、方案較為合理?因?yàn)閨a-0的值越小,a與0越接近60°,因而該等腰三角形越接近于正三角形，且能保證相 似三角形的“正度”相等?同學(xué)甲的方案不合理，不能保證相似三角形的“正度”相等.如：邊長(zhǎng)為4,4,2和邊長(zhǎng)為8,8,4的兩個(gè)等腰三角形相似，但|2—4|=2工|4一8|=4$ (2)對(duì)同學(xué)甲的方案可改為用耳嚴(yán)、耳尹1等“為正數(shù))來(lái)表示“正度"； ⑶還可用|a—6O°|、lB—6(T|、|a+p—12(ri、*L(a—6O°)z+2(p-6O°)2］等來(lái)表示“正度”. 【學(xué)力訓(xùn)練】 1.①②④ 2?a2+2a6=a(a+26)；a(a+b)+ab=u(a+2b),a(a+2〃)一a(a

20、+6)=ab等 3?j>=-yx2—或^=-~4-x24--|-x—3或，=*工2—#工十1或y=—y-jc21 4.(1)FB=CE,證明略；(2)OO的直徑為55.可以設(shè)計(jì)如下四種方案： ▲ \勺 \A\ & \ 入衛(wèi)J hj e ° c 0B 門=272 廠2=4廠2 =2 n =4a/2-4 1Q 6.⑴$=三丄2—三工一2； —6—品—16—4^\或(3'6) (2)①D點(diǎn)坐標(biāo)為(5,3)；②存在符合要求的P點(diǎn)的坐標(biāo)，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(二，—】：+用)00 7.28.A 9. (1)連結(jié)”P?在平移

21、中AB丄MN.ZA戌B=ZAED=90°,又上#4￡=上￡/10=90°,???AAMB^AABP.A磐=黑， /a-jTjTIjD 即AP?AM=AB?ABf,同理,AQ?AN=AB?AB',故AP?AM=AQ*AN成立((2)<1)的結(jié)論仍成立.證明略. 10. (l)M<0,-2),由厶N(yùn)PBsMOB.得黠=器,.?.BN=￥=今■,ON=OB—由此得MP的解析 A11I 式為y=丁工一2,拋物線的解析式為y=—丁工‘+石z—2； (2)①四邊形OMCB是矩形.???在不動(dòng)，OB運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，恒有Z.BAO=ZMAP,OA=AP，ZAOB^^APM=90°,：.^AOB^^

22、APM,OB=PM,AB^AM,PB=OM，而PB=-BC,：.OM=BC. 由切線長(zhǎng)定理知MC^MP,：,MC=OB.A四邊形MOBC是平行四邊形，又ZMOE=90。二四邊形MOBC為矩形. ②存在.由上證明知Rt^MONQRt厶BPN,；.BN=MN.因此在過(guò)M,N,B三點(diǎn)的拋物線內(nèi)有以BN為腰的等腰三角形MNB存在.由拋物線的對(duì)稱性知，在拋物線上必有一點(diǎn)與M關(guān)于其對(duì)稱軸對(duì)稱.ABN=BM,.這樣得到滿足條件的三角形有兩個(gè)；△MNB和厶M'NE. IL(1)由-y(t+AF)?a=*(6—工+6—AF)?a,得AF—b~x又 EC=b~x:.AF=EC (2)①如圖1,當(dāng)直線EF

23、'經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)D時(shí)，才：&=專；如圖2,當(dāng)直 線E'E經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)A時(shí)6=y； 圖1圖2 (第11題) ②如圖1,當(dāng)直線E'E經(jīng)過(guò)原矩形頂點(diǎn)時(shí)，BE'〃EF；如圖2,當(dāng)直線 E'E經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)A時(shí)，且當(dāng)亍匸晉時(shí),BE'與EF垂直. ⑴若x取整數(shù)值時(shí)?二次函數(shù)y=ax2+bi總?cè)≌麛?shù)值，則當(dāng)x=0時(shí)， 為整數(shù)，故r為整數(shù)值；當(dāng)工=一1時(shí)Qt^a-b+c為整數(shù)?于是a—b=—°為整數(shù)；當(dāng)廠=一2時(shí)?”2=4a —2h+c為整數(shù).于是2a=y^2-2y-i+yo為整數(shù).于是2a,a~b,c都是整數(shù). ⑵所求逆命題為：若2a,a—6,c都是整數(shù)，那么工取任意整數(shù)時(shí)，二次函

24、數(shù)y=a十十如+(總?cè)≌麛?shù)值，這是一個(gè)真命題.證明如下：若c,a~b,2a都是整數(shù)，由y=ax2+6r+c=aj