2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十六講 開放性問題評說

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1、2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座第二十六講開放性問題評 一個數(shù)學(xué)問題的構(gòu)成含有四個要素：題目的條件、解題的依據(jù)、解題的方法、題目的結(jié)論，如果題目所含的四個要素是解題者已經(jīng)知道，或者結(jié)論雖未指明，但它是完全確定的，這樣的問題就是封閉性的數(shù)學(xué)問題． 開放性問題是相對于封閉性問題而言，從所呈現(xiàn)問題的方式看，有下列幾種基本形式：1．條件開放題稱條件不充分或沒有確定已知條件的開放性問題為條件開放題，解題時需執(zhí)果尋因，根據(jù)結(jié)論和已有的已知條件，尋找使得結(jié)論成立的其他條件． 2．結(jié)論開放題稱結(jié)論不確定或沒有確定結(jié)論的開放性問題為結(jié)論開放題，解題時需由因?qū)Ч?，由已知條件導(dǎo)出相應(yīng)結(jié)論． 3．判

2、斷性開放題稱判定幾何圖形的形狀大小、圖形的位置關(guān)系、方程(組)的解的情況或判定具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對象是否存在的開放題問題稱為判斷性開放題，解題的基本思路是：由已知條件及知識作出判斷，然后加以證明． 【例題求解】 【例1】如圖，00與OOx外切于點(diǎn)T,PT為其內(nèi)公切線，AB為其外公切線，且A、B為切點(diǎn)，AB與PT相交于點(diǎn)P,根據(jù)圖中所給出的已知條件及線段，請寫出一個正確結(jié)論，并加以證明． 思路點(diǎn)撥為了能寫出更多的正確結(jié)論，我們可以從以下幾分角度作探索，線段關(guān)系，角的 關(guān)系、三角形的關(guān)系及由此推出的相應(yīng)結(jié)論． 注：明確要求將數(shù)學(xué)開放性題作為中考試題，還是近一二年的事情．開放性問題沒有

3、明確的目標(biāo)和解題方向，留有極大的探索空間． 解開放性問題，不具有定向的解題思路，解題時總要有合情合理、實(shí)事求是的分析，要把歸納與演繹協(xié)調(diào)配合起來，把直覺發(fā)現(xiàn)與邏輯推理相互結(jié)合起來，把一般能力和數(shù)學(xué)能力同時發(fā)揮出來．杭州市對本例評分標(biāo)準(zhǔn)是以正確結(jié)論的難易程度為標(biāo)準(zhǔn)靈活打分，分值直接反映考生的能力及創(chuàng)新性． 【例2】如圖，四邊形ABCD是00的內(nèi)接四邊形，A是B1T的中點(diǎn)，過A點(diǎn)的切線與CB的延長線交于點(diǎn)E． (1) 求證：AB?DA=C0?BE； (2) 若點(diǎn)E在CB延長線上運(yùn)動，點(diǎn)A在BD上運(yùn)動，使切線EA變?yōu)楦罹€EFA,其他條件不變，問具備什么條件使原結(jié)論成立?(要求畫出示意圖，注明

4、條件，不要求證明) 思路點(diǎn)撥對于(2),能畫出圖形盡可能畫出圖形，要使結(jié)論AB?DA=CD?BE成立，即要證△ABEs^CDA，已有條件ZABE=ZCDA，還需增加等角條件，這可由多種途徑得到. 注：許多開放性問題解題思路也是開放的(多角度、多維度思考)，探索的條件或結(jié)論并不惟一．故解開放性問題，應(yīng)盡可能深入探究，發(fā)散思維，提高思維的品質(zhì)，切忌入寶山而空返． 【例3】⑴如圖1,若00與00外切于A,BC是00與00外公切線，B、C為切點(diǎn)，求證:1212 AB丄AC. (2) 如圖2,若00與00外離，BC是00與00的外公切線，B、C為切點(diǎn)，連心線00 121212分別交0

5、0、00于M、N，BM、CN的延長線交于P,則BP與CP是否垂直?證明你的結(jié)論. 12 (3) 如圖3,若00與00相交，BC是00與00的公切線，B、C為切點(diǎn)，連心線00 121212分別交00、00于M、N,Q是線段MN上一點(diǎn)，連結(jié)BQ、CQ,則BQ與CQ是否垂直?證明你12 的結(jié)論. 圖1圖2圖3 思路點(diǎn)撥本例是在基本條件不變的情況下，通過運(yùn)動改變兩圓的位置而設(shè)計(jì)的，在運(yùn)動變化中，結(jié)論可能改變或不變，關(guān)鍵是把(1)的證法類比運(yùn)用到(2)、(3)問題中. 注:開放性問題還有以下呈現(xiàn)方式: (1) 先提出特殊情況進(jìn)行研究，再要求歸納猜測和確定一般結(jié)論； (2) 先對

6、某一給定條件和結(jié)論的問題進(jìn)行研究，再探討改變條件時其結(jié)論應(yīng)發(fā)生的變化或改變結(jié)論時其條件相應(yīng)發(fā)生的變化. 【例4】已知直線(>0)與軸、軸分別交于A、C兩點(diǎn)，開口向上的拋物線過A、C兩點(diǎn)，且與軸交于另一點(diǎn)B. (1) 如果A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)0的距離A0、B0滿足A0=3B0,點(diǎn)B到直線AC的距離等于，求這條直線和拋物線的解析式； (2) 是否存在這樣的拋物線，使得tanZACB=2，且△ABC外接圓截得軸所得的弦長等于5？若存在，求出這樣的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由. 思路點(diǎn)撥(1)通過“點(diǎn)B到直線AC的距離等于”利用等積變換求出A、B兩點(diǎn)的距離；⑵ 先假設(shè)存在這樣的拋物線，再

7、由條件推理計(jì)算求得，最后加以驗(yàn)證即可． 設(shè)等腰三角形的底和腰分別為、， 底角和頂角分別為、．要求“正度”的值是非負(fù)數(shù)． 注：解存在性開放問題的基本方法是假設(shè)求解法，即假設(shè)存在一演繹推理一得出結(jié)論（合理或矛盾）． 這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把它與正三角形的接近程 【例5】如圖度稱為“正度” 同學(xué)甲認(rèn)為：可用式子來表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形； 同學(xué)乙認(rèn)為：可用式子來表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形 探究：（1）他們的方案哪個較為合理，為什么? （2）對你認(rèn)為不夠合理的方案，請加以改進(jìn)（給出式

8、子即可）3）請?jiān)俳o出一種衡量“正度”的表達(dá)式． 思路點(diǎn)撥通過閱讀，正確理解“正度”這個新概念，同時也要抓住“在研究‘正度'時應(yīng)保證相似三角形的‘正度'相等”這句話的實(shí)質(zhì)，可先采取舉實(shí)例加深對“正度”的理解再判斷方案的合理性并改進(jìn)方法． 注：（1）解結(jié)論開放題往往要充分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜想，通過觀察、比較、聯(lián)想、猜測、推理和截判斷等探索活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論． （2）閱讀是學(xué)習(xí)的重要途徑，在這種閱讀型研究性問題中，涌現(xiàn)了許多介紹新的知識和新的研究方法的問題，能極大地開闊我們的視野． （3）研究性學(xué)習(xí)是課程改革的一個亮點(diǎn)，研究性學(xué)習(xí)是美國芝加哥大學(xué)教授施瓦布在《作為探究的科學(xué)教學(xué)

9、》的演講時提出的．他主張引導(dǎo)學(xué)生直接用科學(xué)研究的方式進(jìn)行教學(xué)，即設(shè)定情境、提出問題、分析問題、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證假設(shè)、分析結(jié)果、得出結(jié)論．研究性問題是近年中考中出現(xiàn)的一種新題型，它要求我們適應(yīng)新情況，通過實(shí)踐，增強(qiáng)探究和創(chuàng)新意識，學(xué)習(xí)科學(xué)研究方法． 學(xué)力訓(xùn)練 1. 如圖，是四邊形ABCD的對稱軸，如果AD〃BC，有下列結(jié)論: ①AB〃CD，②AB=BC；3AB丄BC:④AO=OC. 其中正確的是. 2. 如圖，是一個邊長為的小正方形與兩個長、寬分別為、的小矩形ABCD，則整個圖形可表 達(dá)出一些有關(guān)多項(xiàng)式分解因式的等式，請你寫出其中任意三個等式：① ②:③. 3. 有一個二次

10、函數(shù)的圖象，三位學(xué)生分別說出了它的一些特點(diǎn)： 甲：對稱軸是直線；乙：與軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)； 丙：與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，且以這三個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為3． 請你寫出滿足上述全部特點(diǎn)的一個二次函數(shù)解析式：一 4. 如圖，已知AB為00的直徑，直線與00相切于點(diǎn)D，AC丄于C，AC交00于點(diǎn)E，DF丄 AB于F． (1) 圖中哪條線段與BF相等?試證明你的結(jié)論； (2) 若AE=3,CD=2，求00的直徑. 5．在一個服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料(如圖)．現(xiàn)找出其中的一種，測得ZC=90°,AC=BC=4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的

11、玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上，且扇形的弧與厶ABC的其他邊相切，請?jiān)O(shè)計(jì)出所有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑(只要求畫出圖形，并直接寫出扇形半徑)． 6. 如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(X],0)，B(x2,O)(X]〈O〈X2),與y軸交于點(diǎn)C(0，-2)，若 0B=40A，且以AB為直徑的圓過C點(diǎn).212 (1) 求此拋物線的解析式； (2) 若點(diǎn)D在此拋物線上，且AD〃CB. ① 求D點(diǎn)的坐標(biāo)； ② 在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)P使得AAPD的面積與四邊形ACBD的面積相等?若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 7. 給定四個命題：①

12、Sinl5。與sin75°的平方和為1；②函數(shù)的最小值為-10；③；④，則 x=10”，其中錯誤的命題的個數(shù) 8. ①在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程的根為；②在ZABC中，若AC2+BC2〉A(chǔ)B2，則AABC是銳角三角形；③在AABC和厶AB1C1中，、分別為AABC的三邊,、、分別為△ABR］的三邊，若〉，〉，〉,則厶ABC的面積大S于厶AB1C］的面積S］.以上三個命題中，真命題的個數(shù)是() A．0B．1C．2D．3 9. 已知：AB是00的直徑，AP、AQ是00的兩條弦，如圖1,經(jīng)過B做00的切線，分別交直線AP、AQ于點(diǎn)M、N.可以得出結(jié)論AP?AM=AQ?AN成立. 圖

13、1圖2圖3 (1) 若將直線向上平行移動，使直線與00相交，如圖2所示，其他條件不變，上述結(jié)論是否成立?若成立，寫出證明，若不成立，說明理由； (2) 若將直線繼續(xù)向上平行移動，使直線與00相離，其他條件不變，請?jiān)趫D3上畫出符合條件的圖形，上述結(jié)論成立嗎?若成立，寫出證明；若不成立，說明理由. 10. 如圖，已知圓心A(0，3)，A與軸相切，0B的圓心在軸的正半軸上，且0B與0A外切于點(diǎn)P,兩圓的公切線MP交軸于點(diǎn)M,交軸于點(diǎn)N. (1)若sinZOAB=，求直線MP的解析式及經(jīng)過M、N、B三點(diǎn)的拋物線的解析式； ⑵若A的位置大小不變，0B的圓心在軸的正半軸上移動，并使0B與0A始終

14、外切，過M作0B的切線MC,切點(diǎn)為C在此變化過程中探究： ① 四邊形OMCB是什么四邊形，對你的結(jié)論加以證明； ② 經(jīng)過M、N、B點(diǎn)的拋物線內(nèi)是否存在以BN為腰的等腰三角形?若存在，表示出來；若不存在，說明理由. 11. 有一張矩形紙片ABCD，E、F、分別是BC、AD上的點(diǎn)(但不與頂點(diǎn)重合)，若EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，設(shè)AB=，AD=，BE=. (1) 求證：AF=EC； (2) 用剪刀將該紙片沿直線EF剪開后，再將梯形紙片ABEF沿AB對稱翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，一腰落在DC的延長線上，拼接后，下方梯形記作EE'B'C. ① 當(dāng)為何

15、值時，直線E'E經(jīng)過原矩形的一個頂點(diǎn)？ ② 在直線E'E經(jīng)過原矩形的一個頂點(diǎn)的情形下，連結(jié)BE'，直線BE'與EF是否平行?你若認(rèn)為平行，請給予證明；你若認(rèn)為不平行，試探究當(dāng)與有何種數(shù)量關(guān)系時，它們就垂直? 12．(1)證明：若取任意整數(shù)時，二次函數(shù)總?cè)≌麛?shù)值，那么，、、都是整數(shù)． (2)寫出上述命題的逆命題，且證明你的結(jié)論． 13.已知四邊形ABCD的面積為32,AB、CD、AC的長都是整數(shù)，且它們的和為16. (1) 這樣的四邊形有幾個? (2) 求這樣的四邊形邊長的平方和的最小值． 參考答案 靄開放性問冊評說 【例題求解】 例】現(xiàn)按寫岀的結(jié)論的難易程度，給出的評分標(biāo)準(zhǔn)

16、如下： (1) 寫出以下結(jié)論，并給予證明的給6分:①PA=PT；?ZPAT=ZPTAi③ZOAP=ZOTP=90°. (2〉寫岀以下結(jié)論并給予證明的給8分:①PA=PB=PT$②ZATB=60°,③ZAOT+ZAPT=180°；④OA//O}B. (3)寫出以下結(jié)論，并給予證明的給10分:△OATgo/^PTB? <4)寫岀以下結(jié)論，并給予證明的給12分：PA?PB=OT?QT?例2(1)由厶ABEc^ACDA得?器=器，即AB?DA=CD?EE. (2) 只要ZB4E=ZACD,即只需?(或屈或AF//BD,或ZBCF=ZACD，或ZBAF=ZABD等)即可?例3⑴連OlB,O2C

17、，ZABC+ZACB=y(ZBO1O2+ZCO2O1)=yX180°=90°,即AB丄AC； (2) BP與CP是垂直的，仿(1)的證法證明； (3) BP與CP是不垂直的，連OiB,O2C,CN.BM，ZCNM+ZBMN=90°?ZBQa+ZCQO2>/BMN+ZCNM=90°,故ZBQC=180°—(ZBQO】+ZCQO2)V90°? 4 例4(1)A(萬，0),C(0,-4)設(shè)人5,0〉陽(工2,0),(乃>0>工2),「=一3才2,設(shè)點(diǎn)B到直線AC的 距離為力9則AC=丿4$+16,S^abc=寺AC?h=AB?OC??J??十16?書=(X)一工2〉X4,解得4=3,??M

18、=令，可得直線、拋物線的解析式分別為y=令工一4,了=令工2一_|_工一4; (2〉假設(shè)存在這樣的拋物線，其解析式為y=ax2+bx-49并設(shè)△ABC的外接圓圓心為G,連AG,BG,作GE丄工軸于E,GF丄，軸于F,則C(0?—4),D(0,l)? CF=DF=號,GE=OF=4—*=號，由tanZAGE==tanZACB=2,得AE=2GE=3,化AB=2AE=6, OA?OB—OC?OD,即一xiX2=4,a=1,又AB=6, (4—工2)2=(xi+乜)2—4xix2=/+16=36,解得6=±2>/5. 故存在這樣的拋物線，其解析式為y=F±2辰一4.I 例5(1)同學(xué)乙的

19、方案較為合理?因?yàn)閨a-0的值越小,a與0越接近60°,因而該等腰三角形越接近于正三角形，且能保證相 似三角形的“正度”相等?同學(xué)甲的方案不合理，不能保證相似三角形的“正度”相等.如：邊長為4,4,2和邊長為8,8,4的兩個等腰三角形相似，但|2—4|=2工|4一8|=4$ (2)對同學(xué)甲的方案可改為用耳嚴(yán)、耳尹1等“為正數(shù))來表示“正度"； ⑶還可用|a—6O°|、lB—6(T|、|a+p—12(ri、*L(a—6O°)z+2(p-6O°)2］等來表示“正度”. 【學(xué)力訓(xùn)練】 1.①②④ 2?a2+2a6=a(a+26)；a(a+b)+ab=u(a+2b),a(a+2〃)一a(a

20、+6)=ab等 3?j>=-yx2—或^=-~4-x24--|-x—3或，=*工2—#工十1或y=—y-jc21 4.(1)FB=CE,證明略；(2)OO的直徑為55.可以設(shè)計(jì)如下四種方案： ▲ \勺 \A\ & \ 入衛(wèi)J hj e ° c 0B 門=272 廠2=4廠2 =2 n =4a/2-4 1Q 6.⑴$=三丄2—三工一2； —6—品—16—4^\或(3'6) (2)①D點(diǎn)坐標(biāo)為(5,3)；②存在符合要求的P點(diǎn)的坐標(biāo)，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為(二，—】：+用)00 7.28.A 9. (1)連結(jié)”P?在平移

21、中AB丄MN.ZA戌B=ZAED=90°,又上#4￡=上￡/10=90°,???AAMB^AABP.A磐=黑， /a-jTjTIjD 即AP?AM=AB?ABf,同理,AQ?AN=AB?AB',故AP?AM=AQ*AN成立((2)<1)的結(jié)論仍成立.證明略. 10. (l)M<0,-2),由厶N(yùn)PBsMOB.得黠=器,.?.BN=￥=今■,ON=OB—由此得MP的解析 A11I 式為y=丁工一2,拋物線的解析式為y=—丁工‘+石z—2； (2)①四邊形OMCB是矩形.???在不動，OB運(yùn)動變化過程中，恒有Z.BAO=ZMAP,OA=AP，ZAOB^^APM=90°,：.^AOB^^

22、APM,OB=PM,AB^AM,PB=OM，而PB=-BC,：.OM=BC. 由切線長定理知MC^MP,：,MC=OB.A四邊形MOBC是平行四邊形，又ZMOE=90。二四邊形MOBC為矩形. ②存在.由上證明知Rt^MONQRt厶BPN,；.BN=MN.因此在過M,N,B三點(diǎn)的拋物線內(nèi)有以BN為腰的等腰三角形MNB存在.由拋物線的對稱性知，在拋物線上必有一點(diǎn)與M關(guān)于其對稱軸對稱.ABN=BM,.這樣得到滿足條件的三角形有兩個；△MNB和厶M'NE. IL(1)由-y(t+AF)?a=*(6—工+6—AF)?a,得AF—b~x又 EC=b~x:.AF=EC (2)①如圖1,當(dāng)直線EF

23、'經(jīng)過原矩形的頂點(diǎn)D時，才：&=專；如圖2,當(dāng)直 線E'E經(jīng)過原矩形的頂點(diǎn)A時6=y； 圖1圖2 (第11題) ②如圖1,當(dāng)直線E'E經(jīng)過原矩形頂點(diǎn)時，BE'〃EF；如圖2,當(dāng)直線 E'E經(jīng)過原矩形的頂點(diǎn)A時，且當(dāng)亍匸晉時,BE'與EF垂直. ⑴若x取整數(shù)值時?二次函數(shù)y=ax2+bi總?cè)≌麛?shù)值，則當(dāng)x=0時， 為整數(shù)，故r為整數(shù)值；當(dāng)工=一1時Qt^a-b+c為整數(shù)?于是a—b=—°為整數(shù)；當(dāng)廠=一2時?”2=4a —2h+c為整數(shù).于是2a=y^2-2y-i+yo為整數(shù).于是2a,a~b,c都是整數(shù). ⑵所求逆命題為：若2a,a—6,c都是整數(shù)，那么工取任意整數(shù)時，二次函

24、數(shù)y=a十十如+(總?cè)≌麛?shù)值，這是一個真命題.證明如下：若c,a~b,2a都是整數(shù)，由y=ax2+6r+c=aj