數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 2 排列 第1課時(shí) 排列與排列數(shù)公式 北師大版選修2-3

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1、第1課時(shí)排列與排列數(shù)公式第一章2 排列學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列數(shù)公式，能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考1知識(shí)點(diǎn)一排列的定義若A，B，C三名同學(xué)排成一行照相，有哪些站法？請(qǐng)列舉出來.答案答案答案ABC，BCA，CAB，ACB，CBA，BAC.思考2ABC與ACB是同一種站法嗎？答案答案不是.排列的定義從n個(gè)不同的元素中取出m(mn)個(gè)元素，按照 排成一列，叫作 的一個(gè)排列.梳理梳理一定順序從n個(gè)不同的元素中任意取出m個(gè)元素思考1知識(shí)點(diǎn)二排列數(shù)及排列數(shù)公式從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)能構(gòu)成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)？答

2、案答案答案43224(個(gè)).思考2從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)(mn)元素排成一列，共有多少種不同排法？答案答案n(n1)(n2)(nm1)種.排列數(shù)定義及表示從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的_，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)_表示排列數(shù)公式乘積式_階乘式_(n，mN，mn)排列數(shù)的性質(zhì)_； ；0！1梳理梳理排列數(shù)所有排列的個(gè)數(shù)n(n1)(n2)(nm1)n！1題型探究例例1下列問題是排列問題的為_.選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；選2個(gè)小組分別去種菜；某班40名同學(xué)在假期互發(fā)短信；從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)字相除；10個(gè)車站，站與站間的車票.類型一排列的概念解析答案解

3、析解析植樹和種菜是不同的，存在順序問題，是排列問題；不存在順序問題，不是排列問題；存在順序問題，是排列問題；兩個(gè)數(shù)相除與這兩個(gè)數(shù)的順序有關(guān)，是排列問題；車票使用時(shí)有起點(diǎn)和終點(diǎn)之分，故車票的使用是有順序的，是排列問題.判斷一個(gè)具體問題是否為排列問題的思路反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1判斷下列問題是否為排列問題.(1)會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法？若選出3個(gè)座位安排三位客人，又有多少種方法？解答解解第一問不是排列問題，第二問是排列問題.“入座”問題同“排隊(duì)”問題，與順序有關(guān)，故選3個(gè)座位安排三位客人是排列問題.解答解答解解確定直線不是排列問題，確定射線是排列問題.(3)平面上有5個(gè)

4、點(diǎn)，其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？由上面的樹形圖知，所有的三位數(shù)為123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，共24個(gè)三位數(shù).例例2從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)不同數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)，寫出所得到的所有的三位數(shù).解答解解畫出下列樹形圖，如下圖.類型二列舉法解決排列問題在“樹形圖”操作中，先將元素按一定順序排出，然后以安排哪個(gè)元素為首位為分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類，在每類中再按余下元素在前面元素不變的情況下

5、定第二位并按順序分類，依次一直進(jìn)行到完成一個(gè)排列，這樣就能不重不漏地依照“樹形圖”寫出所有排列.反思與感悟所以符合題意的所有排列是BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2A，B，C，D四名同學(xué)排成一行照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，試寫出所有排列方法.解答解解因?yàn)锳不排第一，排第一位的情況有3類(可以從B，C，D中任選一人排)，而此時(shí)兼顧分析B的排法，列樹形圖如圖.類型三排列數(shù)及其應(yīng)用命題角度命題角度1由排列數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與求值由排列數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與求值解答例例3計(jì)

6、算下列各題：解答(1)排列數(shù)公式的逆用：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個(gè)排列數(shù)，其中最大的是排列元素的總個(gè)數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個(gè)數(shù)是選取元素的個(gè)數(shù).(2)利用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)可利用連乘形式也可利用階乘形式.當(dāng) 中m已知且較小時(shí)用連乘形式，當(dāng)m較大或?yàn)閰?shù)時(shí)用階乘形式.反思與感悟(3)應(yīng)用排列數(shù)公式可以對(duì)含有排列數(shù)的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)和證明，化簡(jiǎn)的過程中要對(duì)排列數(shù)進(jìn)行變形，并要熟悉排列數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.解題時(shí)的常用變式n！n(n1)！.nn！(n1)！n！.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3(1)用排列數(shù)表示(55n)(56n)(69n)(nN，且n55)_；解析解析55n,56n，69n中的最大數(shù)為69n，且共有6

7、9n(55n)115(個(gè))元素，解析答案72解答命題角度命題角度2與排列數(shù)有關(guān)的方程、不等式的求解與排列數(shù)有關(guān)的方程、不等式的求解解解根據(jù)題意，原方程等價(jià)于整理得4x235x690(x3，xN)，引申探究引申探究由排列數(shù)公式，原不等式可化為(2x1)2x(2x1)(2x2)140 x(x1)(x2)，解答因?yàn)閤N，所以x4或x5.所以不等式的解集為4,5.利用排列數(shù)公式展開即得到關(guān)于x的方程(或不等式)，但由于x存在于排列數(shù)中，故應(yīng)考慮排列數(shù)對(duì)x的制約，避免出現(xiàn)增根.反思與感悟由及xN，得x8. 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練4不等式 的解集為A.2,8 B.2,6C.(7,12) D.8化簡(jiǎn)得x219x8

8、40，解得7x12， 解析答案當(dāng)堂訓(xùn)練23411.2019189等于解析解析解析2019189是從20開始，表示12個(gè)數(shù)字的乘積，答案523412.下列問題中屬于排列問題的是從10個(gè)人中選2人分別去種樹和掃地；從10個(gè)人中選2人去掃地；從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)；從數(shù)字5,6,7,8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作冪運(yùn)算.A. B.C. D.答案解析解析解析根據(jù)排列的定義，選出的元素有順序的才是排列問題.523413.從2,3,5,7四個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)分別相除，則得到的結(jié)果有A.6個(gè) B.10個(gè) C.12個(gè) D.16個(gè)答案解析解析解析符合題意的結(jié)果有 4312(個(gè)).5234514.已知 30

9、，則x_.答案6解析解析解析 x(x1)30，解得x6或5(舍去)，x6.5.從0,1,2,3這四個(gè)數(shù)字中，每次取出三個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù).(1)能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)，并寫出這些三位數(shù)；解答解解組成三位數(shù)分三個(gè)步驟：第一步：選百位上的數(shù)字，0不能排在首位，故有3種不同的排法；第二步：選十位上的數(shù)字，有3種不同的排法；第三步：選個(gè)位上的數(shù)字，有2種不同的排法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有33218(個(gè))不同的三位數(shù).畫出下列樹狀圖：23451由樹狀圖知，所有的三位數(shù)為102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.(2)若組成的這些三位數(shù)中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個(gè)位，則這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)，并寫出這些三位數(shù).解答解解直接畫出樹狀圖：2341由樹狀圖知，符合條件的三位數(shù)有8個(gè)：201,210,230,231,301,302,310,312.5規(guī)律與方法1.判斷一個(gè)問題是否是排列問題的思路排列的根本特征是每一個(gè)排列不僅與選取的元素有關(guān)，而且與元素的排列順序有關(guān).這就是說，在判斷一個(gè)問題是否是排列時(shí)，可以考慮所取出的元素，任意交換兩個(gè)，若結(jié)果變化，則是排列問題，否則不是排列問題.本課結(jié)束