數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 2 排列 第1課時(shí) 排列與排列數(shù)公式 北師大版選修2-3

第1課時(shí)排列與排列數(shù)公式第一章2 排列學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列數(shù)公式，能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考1知識(shí)點(diǎn)一排列的定義若A，B，C三名同學(xué)排成一行照相，有哪些站法？請(qǐng)列舉出來.答案答案答案ABC，BCA，CAB，ACB，CBA，BAC.思考2ABC與ACB是同一種站法嗎？答案答案不是.排列的定義從n個(gè)不同的元素中取出m(mn)個(gè)元素，按照 排成一列，叫作 的一個(gè)排列.梳理梳理一定順序從n個(gè)不同的元素中任意取出m個(gè)元素思考1知識(shí)點(diǎn)二排列數(shù)及排列數(shù)公式從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)能構(gòu)成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)？答案答案答案43224(個(gè)).思考2從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)(mn)元素排成一列，共有多少種不同排法？答案答案n(n1)(n2)(nm1)種.排列數(shù)定義及表示從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的_，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)_表示排列數(shù)公式乘積式_階乘式_(n，mN，mn)排列數(shù)的性質(zhì)_； ；0！1梳理梳理排列數(shù)所有排列的個(gè)數(shù)n(n1)(n2)(nm1)n！1題型探究例例1下列問題是排列問題的為_.選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；選2個(gè)小組分別去種菜；某班40名同學(xué)在假期互發(fā)短信；從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)字相除；10個(gè)車站，站與站間的車票.類型一排列的概念解析答案解析解析植樹和種菜是不同的，存在順序問題，是排列問題；不存在順序問題，不是排列問題；存在順序問題，是排列問題；兩個(gè)數(shù)相除與這兩個(gè)數(shù)的順序有關(guān)，是排列問題；車票使用時(shí)有起點(diǎn)和終點(diǎn)之分，故車票的使用是有順序的，是排列問題.判斷一個(gè)具體問題是否為排列問題的思路反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1判斷下列問題是否為排列問題.(1)會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法？若選出3個(gè)座位安排三位客人，又有多少種方法？解答解解第一問不是排列問題，第二問是排列問題.“入座”問題同“排隊(duì)”問題，與順序有關(guān)，故選3個(gè)座位安排三位客人是排列問題.解答解答解解確定直線不是排列問題，確定射線是排列問題.(3)平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？由上面的樹形圖知，所有的三位數(shù)為123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，共24個(gè)三位數(shù).例例2從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)不同數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)，寫出所得到的所有的三位數(shù).解答解解畫出下列樹形圖，如下圖.類型二列舉法解決排列問題在“樹形圖”操作中，先將元素按一定順序排出，然后以安排哪個(gè)元素為首位為分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類，在每類中再按余下元素在前面元素不變的情況下定第二位并按順序分類，依次一直進(jìn)行到完成一個(gè)排列，這樣就能不重不漏地依照“樹形圖”寫出所有排列.反思與感悟所以符合題意的所有排列是BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2A，B，C，D四名同學(xué)排成一行照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，試寫出所有排列方法.解答解解因?yàn)锳不排第一，排第一位的情況有3類(可以從B，C，D中任選一人排)，而此時(shí)兼顧分析B的排法，列樹形圖如圖.類型三排列數(shù)及其應(yīng)用命題角度命題角度1由排列數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與求值由排列數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與求值解答例例3計(jì)算下列各題：解答(1)排列數(shù)公式的逆用：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個(gè)排列數(shù)，其中最大的是排列元素的總個(gè)數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個(gè)數(shù)是選取元素的個(gè)數(shù).(2)利用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)可利用連乘形式也可利用階乘形式.當(dāng) 中m已知且較小時(shí)用連乘形式，當(dāng)m較大或?yàn)閰?shù)時(shí)用階乘形式.反思與感悟(3)應(yīng)用排列數(shù)公式可以對(duì)含有排列數(shù)的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)和證明，化簡(jiǎn)的過程中要對(duì)排列數(shù)進(jìn)行變形，并要熟悉排列數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.解題時(shí)的常用變式n！n(n1)！.nn！(n1)！n！.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3(1)用排列數(shù)表示(55n)(56n)(69n)(nN，且n55)_；解析解析55n,56n，69n中的最大數(shù)為69n，且共有69n(55n)115(個(gè))元素，解析答案72解答命題角度命題角度2與排列數(shù)有關(guān)的方程、不等式的求解與排列數(shù)有關(guān)的方程、不等式的求解解解根據(jù)題意，原方程等價(jià)于整理得4x235x690(x3，xN)，引申探究引申探究由排列數(shù)公式，原不等式可化為(2x1)2x(2x1)(2x2)140 x(x1)(x2)，解答因?yàn)閤N，所以x4或x5.所以不等式的解集為4,5.利用排列數(shù)公式展開即得到關(guān)于x的方程(或不等式)，但由于x存在于排列數(shù)中，故應(yīng)考慮排列數(shù)對(duì)x的制約，避免出現(xiàn)增根.反思與感悟由及xN，得x8. 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練4不等式 的解集為A.2,8 B.2,6C.(7,12) D.8化簡(jiǎn)得x219x840，解得7x12， 解析答案當(dāng)堂訓(xùn)練23411.2019189等于解析解析解析2019189是從20開始，表示12個(gè)數(shù)字的乘積，答案523412.下列問題中屬于排列問題的是從10個(gè)人中選2人分別去種樹和掃地；從10個(gè)人中選2人去掃地；從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)；從數(shù)字5,6,7,8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作冪運(yùn)算.A. B.C. D.答案解析解析解析根據(jù)排列的定義，選出的元素有順序的才是排列問題.523413.從2,3,5,7四個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)分別相除，則得到的結(jié)果有A.6個(gè) B.10個(gè) C.12個(gè) D.16個(gè)答案解析解析解析符合題意的結(jié)果有 4312(個(gè)).5234514.已知 30，則x_.答案6解析解析解析 x(x1)30，解得x6或5(舍去)，x6.5.從0,1,2,3這四個(gè)數(shù)字中，每次取出三個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù).(1)能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)，并寫出這些三位數(shù)；解答解解組成三位數(shù)分三個(gè)步驟：第一步：選百位上的數(shù)字，0不能排在首位，故有3種不同的排法；第二步：選十位上的數(shù)字，有3種不同的排法；第三步：選個(gè)位上的數(shù)字，有2種不同的排法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有33218(個(gè))不同的三位數(shù).畫出下列樹狀圖：23451由樹狀圖知，所有的三位數(shù)為102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.(2)若組成的這些三位數(shù)中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個(gè)位，則這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)，并寫出這些三位數(shù).解答解解直接畫出樹狀圖：2341由樹狀圖知，符合條件的三位數(shù)有8個(gè)：201,210,230,231,301,302,310,312.5規(guī)律與方法1.判斷一個(gè)問題是否是排列問題的思路排列的根本特征是每一個(gè)排列不僅與選取的元素有關(guān)，而且與元素的排列順序有關(guān).這就是說，在判斷一個(gè)問題是否是排列時(shí)，可以考慮所取出的元素，任意交換兩個(gè)，若結(jié)果變化，則是排列問題，否則不是排列問題.本課結(jié)束