中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)存在性問(wèn)題 及參考答案

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1、 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)存在性問(wèn)題 及參考答案 一、二次函數(shù)中相似三角形的存在性問(wèn)題 1.如圖，把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得到拋物線. 所得拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D. （1）寫(xiě)出的值；（2）判斷△ACD的形狀，并說(shuō)明理由； （3）在線段AC上是否存在點(diǎn)M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由. 2.如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C． （1）求拋物線的解析式； （2）若點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，且

2、A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)； （3）P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PMx軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 二、二次函數(shù)中面積的存在性問(wèn)題 3.如圖，拋物線與雙曲線相交于點(diǎn)A，B．已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－2，－2），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且tan∠AOX＝4．過(guò)點(diǎn)A作直線AC∥軸，交拋物線于另一點(diǎn)C． （1）求雙曲線和拋物線的解析式； （2）計(jì)算△ABC的面積； （3）在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使△ABD的面積等于△ABC的面積．若存在

3、，請(qǐng)你寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由． x y C B _ D _ A O 4.如圖，拋物線y＝ax2＋c（a＞0）經(jīng)過(guò)梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，梯形的底AD在x軸上， 其中A（－2,0），B（－1, －3）． （1）求拋物線的解析式；（3分） （2）點(diǎn)M為y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到A、B兩點(diǎn)的距離之和為最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2分） （3）在第（2）問(wèn)的結(jié)論下，拋物線上的點(diǎn)P使S△PAD＝4S△ABM成立，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（4分） (4)在拋物線的BD段上是否存在點(diǎn)Q使三角形BDQ的面積最大，若有，求出點(diǎn)Q的

4、坐標(biāo)，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。 三、二次函數(shù)中直角三角形的存在性問(wèn)題 5.如圖,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，拋物線經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)， 拋物線的頂點(diǎn)為D． （1）求b,c的值； （2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A、B除外)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)； （3）在（2）的條件下：①求以點(diǎn)Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ為頂點(diǎn)的四邊形的面積；②在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形? 若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

5、 四、二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問(wèn)題 6.如圖，直線交軸于A點(diǎn)，交軸于B點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線交軸于另一點(diǎn)C（3,0）. ⑴ 求拋物線的解析式; O C B A ⑵ 在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 五、二次函數(shù)中等腰梯形、直角梯形的存在性問(wèn)題 7．如圖，二次函數(shù)y= -x2+ax+b的圖像與x軸交于A(-，0)、B(2，0)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C； (1) 求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀； (2) 在x

6、軸上方的拋物線上有一點(diǎn)D，且以A、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請(qǐng)直接寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo)； (3) 在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。 y A B C O x 六、二次函數(shù)中菱形的存在性問(wèn)題 8．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上一點(diǎn)A（4，0），拋物線頂點(diǎn)為E，它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D．直線y=﹣2x﹣1經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)B（﹣2，m）且與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)F． （1）求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的解析式； （2）P（x，y

7、）是拋物線上的一點(diǎn)，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)F出發(fā)，沿對(duì)稱(chēng)軸向上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 1、【答案】解：（1）∵由平移的性質(zhì)知，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Ｄ（－１，－４）， ∴。 （2）由（1）得. 當(dāng)時(shí)，． 解之，得　。 ∴. 又

8、當(dāng)時(shí)，， ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－3）。 又拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D（－1，－4）， 作拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn)E，DF⊥ 軸于點(diǎn)F。易知 在Rt△AED中，AD2=22+42=20，在Rt△AOC中，AC2=32+32=18， 在Rt△CFD中，CD2=12+12=2， ∴AC2＋ CD2＝AD2?！唷鰽CD是直角三角形。 （3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ點(diǎn)即為所求點(diǎn)。 由（2）知，△AOC為等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC。 由△AOM∽ △ABC，得。即。 過(guò)M點(diǎn)作MG⊥AB于點(diǎn)G，則AG=MG=， OG=AO－AG=3－。又點(diǎn)M在第三象限，所以M（－，－）。

9、 2、【答案】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為， ∵拋物線過(guò)A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得，解得。 ∴拋物線的解析式為。 （2）①當(dāng)AE為邊時(shí)，∵A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴DE=AO=2， 則D在軸下方不可能，∴D在軸上方且DE=2，則D1（1，3），D2（﹣3，3）。②當(dāng)AO為對(duì)角線時(shí)，則DE與AO互相平分。 ∵點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸上，且線段AO的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1， 由對(duì)稱(chēng)性知，符合條件的點(diǎn)D只有一個(gè)，與點(diǎn)C重合，即C（﹣1，﹣1）。 故符合條件的點(diǎn)D有三個(gè)，分別是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）。 （3）存在，如圖：∵B（﹣

10、3，3），C（﹣1，﹣1），根據(jù)勾股定理得： BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．∴△BOC是直角三角形。 假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的 三角形與△BOC相似， 設(shè)P（，），由題意知＞0，＞0，且， ①若△AMP∽△BOC，則。 即 +2=3（2+2）得：1=，2=﹣2（舍去）． 當(dāng)=時(shí)，=，即P（，）。 ②若△PMA∽△BOC，則，。 即：2+2=3（+2）得：1=3，2=﹣2（舍去） 當(dāng)=3時(shí)，=15，即P（3，15）． 故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是P（，）或（3，15）。 3、【答案】解：（1）把點(diǎn)B（－2，－2）的坐標(biāo)代入得

11、，，∴＝4。 ∴雙曲線的解析式為：。 設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n）．∵A點(diǎn)在雙曲線上，∴mn＝4。 又∵tan∠AOX＝4，∴＝4，即m＝4n?！鄋2＝1，∴n＝±1。 ∵A點(diǎn)在第一象限，∴n＝1，m＝4?！郃點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）。 把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，，解得，＝1，＝3。 ∴拋物線的解析式為：。 （2）∵AC∥軸，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y＝4， 代入得方程，，解得1＝－4，2＝1（舍去）。 ∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（－4，4），且AC＝5。 又∵△ABC的高為6，∴△ABC的面積＝×5×6＝15。 （3）存在D點(diǎn)使△ABD的面積等于△ABC的面積。理由如下： 過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB交拋物線

12、于另一點(diǎn)D，此時(shí)△ABD的面積等于△ABC的面積（同底：AB，等高：CD和AB的距離）。 ∵直線AB相應(yīng)的一次函數(shù)是：，且CD∥AB， ∴可設(shè)直線CD解析式為， 把C點(diǎn)的坐標(biāo)（﹣4，4）代入可得，。 ∴直線CD相應(yīng)的一次函數(shù)是：。 解方程組，解得，。 ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，18）。 4.（1）、因?yàn)辄c(diǎn)A、B均在拋物線上，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)適合拋物線方程 ∴ 解之得：；故為所求 （2）如圖2，連接BD，交y軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是所求作的點(diǎn) 設(shè)BD的解析式為，則有，， 故BD的解析式為；令則，故 (3)、如圖3，連接AM，BC交y軸于點(diǎn)N，由（2）知，OM=OA=OD=2，

13、 圖3 易知BN=MN=1， 易求 ；設(shè)， 依題意有：，即： 解之得：，，故符合條件的P點(diǎn)有三個(gè)： 5.解答：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5）， ∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，5）， ∴， 解得：b=﹣2，c=﹣3； （2）如圖：∵直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，5）， ∴直線AB的解析式為：y=x+1， ∵二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3， ∴設(shè)點(diǎn)E（t，t+1），則F（t，t2﹣2t﹣3）， ∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+， ∴當(dāng)t=時(shí)，EF的最大值為， ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為

14、（，）； （3）①如圖：順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形EBFD． 可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4） S四邊形EBFD=S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=； ②如圖： ?。┻^(guò)點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3） 則有：m2﹣2m﹣2=， 解得：m1=，m2=， ∴P1（，），P2（，）， ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于P3，設(shè)P3（n，n2﹣2n﹣3） 則有：n2﹣2n﹣2=﹣， 解得：n1=，n2=（與點(diǎn)F重合，舍去）， ∴P3（，）， 綜上所述：所有點(diǎn)P的坐標(biāo)：P1（，），P2（，），P3（，）能使△

15、EFP組成以EF為直角邊的直角三角形． 6.解：（1）∵當(dāng)=0時(shí)，=3 當(dāng)=0時(shí)，=﹣1 ∴（﹣1，0），（0，3） ∵（3，0）··························1分 設(shè)拋物線的解析式為=a（+1）（﹣3） ∴3=a×1×（﹣3） ∴a=﹣1 ∴此拋物線的解析式為=﹣（ + 1）（﹣3）=- +2+3·····2分 （2）存在 ∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：==1···············4分 ∴如圖對(duì)稱(chēng)軸與軸的交點(diǎn)即為Q ∵=，⊥ ∴= ∴（1，0）··························6分 當(dāng)=時(shí)，設(shè)的坐標(biāo)為（1，m） ∴2+

16、m=1+（3﹣m） ∴m=1 ∴（1，1）··························8分 當(dāng)=時(shí)，設(shè)（1，n） ∴2+n=1+3 ∵n＞0 ∴n= ∴（1，） ∴符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（1，1），（1，）·10分 7、答案：[解] (1) 根據(jù)題意，將A(-，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得，解這個(gè) 方程，得a=，b=1，∴該拋物線的解析式為y= -x2+x+1，當(dāng) x=0時(shí)，y=1， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)?！嘣凇鰽OC中，AC===。 在△BOC中，BC===。

17、 AB=OA+OB=+2=，∵AC 2+BC 2=+5==AB 2，∴△ABC是直角三角形。 (2) 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，1)。 (3) 存在。由(1)知，AC^BC。 y A B C O x P j 若以BC為底邊，則BC//AP，如圖1所示，可求得直線 BC的解析式為y= -x+1，直線AP可以看作是由直線 BC平移得到的，所以設(shè)直線AP的解析式為y= -x+b， 把點(diǎn)A(-，0)代入直線AP的解析式，求得b= -，

18、 ∴直線AP的解析式為y= -x-?！唿c(diǎn)P既在拋物線上，又在直線AP上， y A B C O P x ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=， x2= -(舍去)。當(dāng)x=時(shí)，y= -，∴點(diǎn)P(，-)。 k 若以AC為底邊，則BP//AC，如圖2所示。 可求得直線AC的解析式為y=2x+1。 直線BP可以看作是由直線AC平移得到的， 所以設(shè)直線BP的解析式為y=2x+b，把點(diǎn)B(2，0)代

19、 入直線BP的解析式，求得b= -4， ∴直線BP的解析式為y=2x-4?！唿c(diǎn)P既在拋物線 上，又在直線BP上，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等， 即-x2+x+1=2x-4，解得x1= -，x2=2(舍去)。 當(dāng)x= -時(shí)，y= -9，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-，-9)。 綜上所述，滿(mǎn)足題目條件的點(diǎn)P為(，-)或(-，-9)。 8．解：（1）∵點(diǎn)B（﹣2，m）在直線y=﹣2x﹣1上 ∴m=3 即B（﹣2，3） 又∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O ∴設(shè)拋物線的解析式為

20、y=ax2+bx ∵點(diǎn)B（﹣2，3），A（4，0）在拋物線上 ∴， 解得：． ∴設(shè)拋物線的解析式為． （2）∵P（x，y）是拋物線上的一點(diǎn)， ∴， 若S△ADP=S△ADC， ∵，， 又∵點(diǎn)C是直線y=﹣2x﹣1與y軸交點(diǎn)， ∴C（0，1）， ∴OC=1， ∴，即或， 解得：． ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ． （3）結(jié)論：存在． ∵拋物線的解析式為， ∴頂點(diǎn)E（2，﹣1），對(duì)稱(chēng)軸為x=2； 點(diǎn)F是直線y=﹣2x﹣1與對(duì)稱(chēng)軸x=2的交點(diǎn)，∴F（2，﹣5），DF=5． 又∵A（4，0）， ∴AE=． 如右圖所示，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，依次出現(xiàn)四個(gè)菱形： ①菱形

21、AEM1Q1． ∵此時(shí)DM1=AE=， ∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣， ∴t1=4﹣； ②菱形AEOM2． ∵此時(shí)DM2=DE=1， ∴M2F=DF+DM2=6， ∴t2=6； ③菱形AEM3Q3． ∵此時(shí)EM3=AE=， ∴DM3=EM3﹣DE=﹣1， ∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+， ∴t3=4+； ④菱形AM4EQ4． 此時(shí)AE為菱形的對(duì)角線，設(shè)對(duì)角線AE與M4Q4交于點(diǎn)H，則AE⊥M4Q4， ∵易知△AED∽△M4EH， ∴，即，得M4E=， ∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=， ∴M4F=DM4+DF=+5=， ∴t4=． 綜上所述，存在點(diǎn)M、點(diǎn)Q，使得以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；時(shí)間t的值為：t1=4﹣，t2=6，t3=4+，t4=． １３