2020高中數(shù)學 第二章 變化率與導數(shù)及導數(shù)的應用 解剖高考對導數(shù)的考查要求拓展資料素材 北師大版選修1-1

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1、解剖高考對導數(shù)的考查要求 高考對導數(shù)的考查要求是： ①了解導數(shù)的實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義，理解導數(shù)的概念； ②熟記導數(shù)的基本公式，掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導法則，了解復合函數(shù)的求導法則，會求某些簡單函數(shù)的導數(shù)； ③理解可導函數(shù)的單調性與其導數(shù)的關系，了解可導函數(shù)在某點取得極值時的必要條件和充分條件（導數(shù)在極值點兩側異號），會求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值． 考點1 考查導函數(shù)與原函數(shù)圖象間關系 例1.已知函數(shù)的圖象如右圖所示(其中是函數(shù)的導函數(shù))，下面四個圖象中的圖象大致是(

2、） O -2 2 1 -1 -2 1 2 O -2 -2 2 1 -1 1 2 O -2 4 1 -1 -2 1 2 O -2 2 -1 2 4 A B C D （ ） （ ） （ ） （ ） 解析：由圖象可知：在上小于等于零，故原函數(shù)在上為減函數(shù)，故選C． 評注：函數(shù)圖象提供了很多信息，但要抓住關鍵特點，如導數(shù)為零的點、導數(shù)為正值或負值的區(qū)間等． 考點2 考查導數(shù)的幾何意義 例2.曲線在點處的切線方程是 ． 解析：設切

3、線的斜率為，因為，故．所以所求的切線的點斜式方程為：，化簡得：． 評注：導數(shù)的幾何意義是曲線數(shù)在某點處切線的斜率．所以求切線的方程可通過求導數(shù)先得到斜率，再由切點利用點斜式方程得到． 考點3 考查導數(shù)的定義的應用 例3.已知,為正整數(shù)，設，證明． 證明： 因為：，所以 ． 評注：此題考查導數(shù)概念性質的直接應用．導數(shù)的定義為：設函數(shù)在點處及其附近有定義，并且在該點函數(shù)增量與自變量增量的比值，當?shù)臉O限存在，則稱此極限為函數(shù)在點處的導數(shù)，即． 考點4 考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性 例4.已知向量，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求t的取值范圍． 解析：依向量數(shù)量積的定義：故：，若在上

4、是增函數(shù)，則在上可設．的圖象是開口向下的拋物線，由根的分布原理可知：當且僅當，且，上滿足，即在上是增函數(shù)．綜上所述的取值范圍是． 評注：此題考查的是可導函數(shù)的單調性與其導數(shù)的關系和數(shù)形結合思想的應用．判斷的法則是：設在某個區(qū)間內可導，若，則為增函數(shù)；若，則為減函數(shù)，反之亦然． 考點5 考查導數(shù)在函數(shù)極點處的性質 例5.已知，討論函數(shù)的極值點的個數(shù)． 解析：令=0得． （1）當即<0或>4時 有兩個不同的實根,，不妨設<，則、，易判斷在和兩側的符號都相反，即此時有兩個極值點． （2）當△=0即=0或=4時，方程有兩個相同的實根，于是，故在的兩側均有>0，因此無極值． （3）當△

5、<0即0<<4時無實數(shù)根，即 ，故為增函數(shù)，此時無極值． 綜上所述：當無極值點． 評注：此題考查的是可導函數(shù)在某點取得極值的充要條件，即設在某個區(qū)間內可導,函數(shù)在某點取得極值的充要條件是該點的導數(shù)為零且在該點兩側的導數(shù)值異號. 考點6 考查導數(shù)的實際應用 例6.用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉90°角，再焊接而成(如圖)，問該容器的高為多少時，容器的容積最大?最大容積是多少? 解析：設容器的高為，容器的體積為，則，．化簡得：， ∵，令可得：，（舍）．∵當時，， 時，． 所以當時，有極大值. 又，，所以當時，V有最大值． 評注：在解決導數(shù)與數(shù)學建模問題時，首先要注意自變量的取值范圍，即考察問題的實際意義．在應用問題的設計上，高考多設置為單峰函數(shù)，以降低要求．