2020高中數(shù)學(xué) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)在證明恒等式中的應(yīng)用拓展資料素材 北師大版選修1-1

《2020高中數(shù)學(xué) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)在證明恒等式中的應(yīng)用拓展資料素材 北師大版選修1-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020高中數(shù)學(xué) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)在證明恒等式中的應(yīng)用拓展資料素材 北師大版選修1-1（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、拓展資料：導(dǎo)數(shù)在證明恒等式中的應(yīng)用 　　一、預(yù)備知識(shí) 　　定理1 若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且x∈I，有f′(x)＝0，則x∈I，有f(x)＝c(常數(shù))． 　　證明 在區(qū)間I上取定一點(diǎn)x0及x∈I．顯然，函數(shù)f(x)在[x0，x]或[x，x0]上滿(mǎn)足拉格朗日定理，有 f(x)－f(x0)＝f′(ξ)(x－x0)，ξ在x與x0之間． 　　已知f′(ξ)＝0，從 f(x)－f(x0)＝0 或 f(x)＝f(x0) 　　設(shè)f(x0)＝c，即x∈I，有f(x)＝c． 　　定理2 若x∈I(區(qū)間)，有f′(x)＝g′(x)，則x∈I，有f(x)＝g(x)＋c，其中c是常數(shù)． 　　二

2、、應(yīng)用例題 　　 　　證法 f(x)＝arcsinx＋arccosx，在(－1，1)上是常值函數(shù)． 　　證明 設(shè)f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈(－1，1)，有 f′(x)＝(arcsinx＋arccosx)′ 　　由定理1知，f(x)＝c，即arcsinx＋arccosx＝c其中c是常數(shù)． 　　 　　證明 設(shè)f(x)＝arctanx＋arccotx，c∈R，有 　　由定理1知，arctanx＋arccotx＝c，其中c是常數(shù)． 　　 　　 　　例3 證明：arccos(－x)＋arccosx＝π，x∈[－1，1]． 　　證明 設(shè)f(x)＝arccos

3、(－x)＋arccosx，x∈[－1，1]， 　　于是 f′(x)＝(arccos(－x)＋arccosx)′ 　　 　　由定理1知，arccos(－x)＋arccosx＝c，其中c是常數(shù)． 　　令x＝1，則c＝arccos(－1)＋arccos1＝π， 　　于是 arccos(－x)＋arccosx＝π． 　　 　　x∈(1，＋∞)有 　　 　　 　　例5 證明：sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0，x∈[－1，1] 　　證明 設(shè)f(x)＝sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)，則x∈[－1，1]，有 f′(x)＝(sin

4、(3arcsinx)＋cos(3arccosx))′ 　　 　　 　　由定理1知，sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝c，其中c是常數(shù)． 　　令x＝－1，則c＝sin(3arcsin(－1)＋cos(3arccos(－1))＝0 　　于是， x∈[－1，1]，有sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0． 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　于是， x∈[0，1]，有 　　 　　證明 x∈R，有 　　 　　 　　 　　 　　即x∈R，有 　　 　　 　　 　　 　　 　　與 g′(x)＝0． 　

5、　從而f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c 　　 　　 　　 　　 　　與 g′(x)＝－1． 　　從而，f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c． 　　 　　 　　從而，c＝0．于是， 　　 　　解 設(shè)F(x)＝f1(x)－f2(x) 　　 　　 　　由定理1知， x∈R(x≠±1)，有 　　 　　 　　(2) x∈(－1，1)，令x＝0，則 　　 　　于是， 　　例11 求證：logaxy＝logax＋logay，其中x＞0，y＞0． 　　證明 將a，y看作固定常數(shù)，x看作變量，設(shè) 　　f(x)＝logax

6、y－logax－logay，x∈(0，＋∞)． 　　則x∈(0，＋∞)，有 　　由定理1知，(x)＝c 或 logaxy－logax－logay＝c．令x＝1，則c＝logay－logay＝0，從而 logaxy－logax－logay＝0， 　　即 logaxy＝logax＋logay． 　　例12 求x∈R，滿(mǎn)足等式acosx－cos(ax＋b2)＝a－1－b2的所有實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)全體， 　　解 設(shè)f(x)＝acosx－cos(ax＋b2)，x∈R，要使x∈R，有f(x)＝a－1－b2(常數(shù))，則根據(jù)定理1， x∈R，應(yīng)有f′(x)＝0，即f′(x)＝－asinx＋asin(a

7、x＋b2) 　　(1)a＝0，由題設(shè)等式知，－cosb2＝－1－b2 或 cosb2＝1＋b2． 　　解得b＝0，所以求得符合要求的一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)為(0，0)． 　　 (a－1)x＋b2＝2kπ 或 (a－1)x＝2kπ－b2，k∈Z 　　解得a＝1，b2＝2kπ，并代入題設(shè)等式，有cosx－cos(x＋2kπ)＝－2kπ， 　　并且僅當(dāng)k＝0，上式才成立，從而b＝0，所以求得符合要求的實(shí)數(shù)對(duì)為(1，0)， 　　(a＋1)x＋b2＝(2k＋1)π，k∈Z 　　解得a＝－1，b2＝(2k＋1)π，并代入題設(shè)等式，有cosx＋cos[(2k＋1)π－x]＝2＋b2，即 2＋b2＝0

8、， 　　顯然，這樣的b不存在． 　　綜上所述，所求實(shí)數(shù)對(duì)的集合為{(0，0)，(1，0)}． 　　 　　 　　 　　 　　 　　例14 證明： x，y∈Rsin(x＋y)＝sinxcosy＋cosxsiny，cos(x＋y)＝cosxcosy－sinxsiny 　　證明 設(shè)f(x，y)＝sin(x＋y)－sinxcosy－cosxsiny，g(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny．只須證明f(x，y)＝g(x，y)＝0即可． 　　用反證法．假設(shè)f(x，y)≠0，由于 f′x(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny＝

9、g(x，y)， f′y(x，y)＝cos(x＋y)＋sinxsiny－cosxcosy＝g(x，y)， 　　則 df(x，y)＝f′x(x，y)dx＋f′y(x，y)dy＝g(x，y)d(x＋y)， (3) 　　同理，dg(x，y)＝－f(x，y)d(x＋y)． (4) 　　由(3)與(4)，得 　　或 －g(x，y)dg(x，y)＝f(x，y)df(x，y)， 　　從而 f2(x，y)＋g2(x，y)＝c． 　　由假設(shè)f(x，y)≠0，則c為不等零的常數(shù)． 　　令x＝y(tǒng)＝0，代入上式，有f2(0，0)＋g2(0，0)＝0，這與c≠0矛盾．于是，f(x，y)＝0，由(3)式知，

10、g(x，y)＝0． 　　例15 已知x≠2kπ，k∈Z． 　　求證： 　　證明 已知 　　對(duì)上式兩端同時(shí)求導(dǎo)，有 　　類(lèi)似可證：已知x≠2kπ，k∈Z， 　　求證： 　　 　　例16 證明： 2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx＝ 　　證明 已知 　　對(duì)上式兩端求導(dǎo)，得 2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx 　　注 欲證等式的左端2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx 　　恰為 sin2x＋sin22x＋…＋sin2nx的導(dǎo)函數(shù)，所以證明開(kāi)始應(yīng)用了公式 　　例17 已知 　　 　　證明 對(duì)已知等式取自然對(duì)數(shù)，有 　　對(duì)上式兩端求導(dǎo)，有 　　 　　 　　 　　對(duì)上式兩端求導(dǎo)，得 　　令x＝1，則 　　令x＝－1，則 　　例19 證明：若(a＋b＋c)2＝3(bc＋ca＋ab)，則a＝b＝c，其中a，b，c為常數(shù)． 　　證明 將a看作變量，b，c看作固定常量，等式兩端同時(shí)對(duì)a求導(dǎo)，有 　　由已知條件知，a、b、c為對(duì)稱(chēng)的，所以有 　　將(2)代入(1)，化簡(jiǎn)得a＝c．同理a＝b，從而，a＝b＝c．