2020年高考數(shù)學(xué)按章節(jié)分類匯編 第二章數(shù)列 新人教A版必修5

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1、2020年高考數(shù)學(xué)按章節(jié)分類匯編（人教A必修五） 第二章數(shù)列 一、選擇題 1．（2020年高考（遼寧文））在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則a2+a10= （　?。? A．12 B．16 C．20 D．24 2 ．（2020年高考（遼寧理））在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11= （　?。? A．58 B．88 C．143 D．176 3 ．（2020年高考（四川文））設(shè)函數(shù),是公差不為0的等差數(shù)列,,則 （　?。? A．0 B．7 C．14 D．21 4 ．（2020年高考（四川理））設(shè)函數(shù),是公差為的等差數(shù)列,,則 （　?。? A．

2、B． C． D． 5 ．（2020年高考（上海文））若,則在中,正數(shù)的 個(gè)數(shù)是 （　?。? A．16. B．72. C．86. D．100. 6 ．（2020年高考（上海理））設(shè),. 在中,正數(shù)的個(gè)數(shù)是 （　?。? A．25. B．50. C．75. D．100. 7 ．（2020年高考（課標(biāo)文））數(shù)列{}滿足,則{}的前60項(xiàng)和為 （　?。? A．3690 B．3660 C．1845 D．1830 8．（2020年高考（江西文））觀察下列事實(shí)|x|+|y|=1的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為4 , |x|+|y|=2的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為8, |x|+|y|=3的不同整

3、數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為12 .則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為 （　?。? A．76 B．80 C．86 D．92 9 ．（2020年高考（湖北文））定義在上的函數(shù),如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列仍是等比數(shù)列,則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù):①;②;③;④. 則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號(hào)為 （　?。? A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 10 ．（2020年高考（福建文））數(shù)列的通項(xiàng)公式,其前項(xiàng)和為,則等于 （　?。? A．1006 B．2020 C．503 D．0 11 ．（2020年高考（大綱文））已知數(shù)列

4、的前項(xiàng)和為,,,則 （　　） A． B． C． D． 12 ．（2020年高考（北京文理））某棵果樹(shù)前年得總產(chǎn)量與之間的關(guān)系如圖所示,從目前記錄的結(jié)果看,前年的年平均產(chǎn)量最高,的值為 （　?。? A．5 B．7 C．9 D．11 13．（2020年高考（北京文））已知為等比數(shù)列.下面結(jié)論中正確的是 （　?。? A． B． C．若,則 D．若,則 14．（2020年高考（安徽文））公比為2的等比數(shù)列{} 的各項(xiàng)都是正數(shù),且 =16,則 （　?。? A． B． C． D． 15 ．（2020年高考（新課標(biāo)理））已知為等比數(shù)列,,,則 （　?。? A． B． C． D． 1

5、6 ．（2020年高考（浙江理））設(shè)S n是公差為d(d≠0)的無(wú)窮等差數(shù)列{a n}的前n項(xiàng)和,則下列命題錯(cuò)誤的是 （　?。? A．若d<0,則數(shù)列{S n}有最大項(xiàng) B．若數(shù)列{S n}有最大項(xiàng),則d<0 C．若數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列,則對(duì)任意的nN*,均有S n>0 D．若對(duì)任意的nN*,均有S n>0,則數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列 17 ．（2020年高考（重慶理））在等差數(shù)列中,,則的前5項(xiàng)和= （　?。? A．7 B．15 C．20 D．25 18 ．（2020年高考（江西理））觀察下列各式:a+b=1.a2+b2=3,a3+b3=4 ,a4+b4=7,a5+b5

6、=11,,則a10+b10= （　?。? A．28 B．76 C．123 D．199 19 ．（2020年高考（湖北理））定義在上的函數(shù),如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列, 仍 是等比數(shù)列,則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函 數(shù):①; ②; ③; ④. 則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號(hào)為 （　?。? A．① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ 1 0．（2020年高考（福建理））等差數(shù)列中,,則數(shù)列的公差為 （　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 21．（2020年高考（大綱理））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則數(shù)列的前100項(xiàng)和為 （　?。? A．

7、 B． C． D． 22．（2020年高考（安徽理））公比為等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),且,則 （　?。? A． B． C． D． 二、填空題 1．（2020年高考（福建理））已知得三邊長(zhǎng)成公比為的等比數(shù)列,則其最大角的余弦值為_(kāi)________. 2．（2020年高考（重慶文））首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和______ 3．（2020年高考（上海文））已知.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足,.若 ,則的值是_________. 4．（2020年高考（遼寧文））已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.若a1>0,且2(a n+a n+2)=5a n+1 ,則數(shù)列{an}的公比q = ____

8、_________________. 5．（2020年高考（課標(biāo)文））等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3+3S2=0,則公比=_______ 6．（2020年高考（江西文））等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,公比不為1。若,且對(duì)任意的都有,則_________________。 7．（2020年高考（湖南文））對(duì)于,將表示為,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)為0或1,定義如下:在的上述表示中,當(dāng),中等于1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí),;否則。 (1)_ _; (2)記為數(shù)列中第個(gè)為0的項(xiàng)與第個(gè)為0的項(xiàng)之間的項(xiàng)數(shù),則的最大值是___. 8．（2020年高考（湖北文））傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫(huà)點(diǎn)或用小

9、石子表示數(shù).他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù): 將三角形數(shù)1,3, 6,10,記為數(shù)列,將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列,可以推測(cè): (Ⅰ)是數(shù)列中的第______項(xiàng); (Ⅱ)______.(用表示) 9．（2020年高考（廣東文））(數(shù)列)若等比數(shù)列滿足,則_________. 10．（2020年高考（北京文））已知為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和.若,,則________;=________. 11．（2020年高考（新課標(biāo)理））數(shù)列滿足,則的前項(xiàng)和為_(kāi)______ 12．（2020年高考（浙江理））設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{a n}的前n項(xiàng)和為{S n

10、}.若 ,,則q=______________. 13．（2020年高考（上海春））已知等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為正數(shù),令當(dāng)是數(shù)列的最大項(xiàng)時(shí),____. 14．（2020年高考（遼寧理））已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列,且,則數(shù)列的通項(xiàng)公式______________. 15．（2020年高考（江西理））設(shè)數(shù)列都是等差數(shù)列,若,則__________。 16．（2020年高考（湖南理））設(shè)N=2n(n∈N*,n≥2),將N個(gè)數(shù)x1,x2,,xN依次放入編號(hào)為1,2,,N的N個(gè)位置,得到排列P0=x1x2xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出,并按原順序依次放入對(duì)應(yīng)的前和后個(gè)位置,

11、得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN,將此操作稱為C變換,將P1分成兩段,每段個(gè)數(shù),并對(duì)每段作C變換,得到;當(dāng)2≤i≤n-2時(shí),將Pi分成2i段,每段個(gè)數(shù),并對(duì)每段C變換,得到Pi+1,例如,當(dāng)N=8時(shí),P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此時(shí)x7位于P2中的第4個(gè)位置. (1)當(dāng)N=16時(shí),x7位于P2中的第___個(gè)位置; (2)當(dāng)N=2n(n≥8)時(shí),x173位于P4中的第___個(gè)位置. 17．（2020年高考（湖北理））回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22,121,3443,94249等.顯然2位回文數(shù)有9個(gè):11,22,33,,99.3位回文數(shù)有90個(gè)

12、:101,111,121,,191,202,,999.則 (Ⅰ)4位回文數(shù)有__________個(gè); (Ⅱ)位回文數(shù)有_________個(gè). 18．（2020年高考（廣東理））(數(shù)列)已知遞增的等差數(shù)列滿足,,則______________. 19．（2020年高考（福建理））數(shù)列的通項(xiàng)公式,前項(xiàng)和為,則___________. 20．（2020年高考（北京理））已知為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和.若,,則________. 三、解答題 1．（2020年高考（重慶文））(本小題滿分13分,(Ⅰ)小問(wèn)6分,(Ⅱ)小問(wèn)7分))已知為等差數(shù)列,且(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)記的前項(xiàng)和為,

13、若成等比數(shù)列,求正整數(shù)的值. 2．（2020年高考（浙江文））已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=,n∈N﹡,數(shù)列{bn}滿足an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求an,bn; (2)求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn. 3．（2020年高考（天津文））(本題滿分13分)已知是等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,是等比數(shù)列,且. (I)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式; (II)記()證明:. 4．（2020年高考（四川文））已知為正實(shí)數(shù),為自然數(shù),拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn),設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距. (Ⅰ)用和表示; (Ⅱ)求對(duì)所有都有成立的的最小值;

14、(Ⅲ)當(dāng)時(shí),比較與 的大小,并說(shuō)明理由. 5．（2020年高考（四川文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,常數(shù),且對(duì)一切正整數(shù)都成立. (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)設(shè),,當(dāng)為何值時(shí),數(shù)列的前項(xiàng)和最大? 6．（2020年高考（上海文））對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)列數(shù)集,記(k=1,2,,m),即 為中的最大值,并稱數(shù)列是的控制數(shù)列.如1,3,2,5,5的控制數(shù)列是 1，3,3,5,5. (1)若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為2,3,4,5,5,寫(xiě)出所有的; (2)設(shè)是的控制數(shù)列,滿足(C為常數(shù),k=1,2,,m). 求證:(k=1,2,,m); (3)設(shè)

15、m=100,常數(shù).若,是的控制數(shù)列, 求. 7．（2020年高考（陜西文））已知等比數(shù)列的公比為q=-. (1)若=,求數(shù)列的前n項(xiàng)和; (Ⅱ)證明:對(duì)任意,,,成等差數(shù)列. 8．（2020年高考（山東文））已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為105,且. (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)對(duì)任意,將數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為.求數(shù)列的前m項(xiàng)和. 9．（2020年高考（江西文））已知數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和(其中c,k為常數(shù)),且a2=4,a6=8a3 (1)求an; (2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn. 10．（2020年高考（湖南文））某

16、公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬(wàn)元,將其投入生產(chǎn),到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始,每年年底上繳資金d萬(wàn)元,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬(wàn)元. (Ⅰ)用d表示a1,a2,并寫(xiě)出與an的關(guān)系式; (Ⅱ)若公司希望經(jīng)過(guò)m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元,試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示). 11、（2020年高考（湖北文））已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為,前三項(xiàng)的積為. (1) 求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)若成等比數(shù)列,

17、求數(shù)列的前項(xiàng)和. 12．（2020年高考（廣東文））(數(shù)列)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 13．（2020年高考（福建文））在等差數(shù)列和等比數(shù)列中,的前10項(xiàng)和. (Ⅰ)求和; (Ⅱ)現(xiàn)分別從和的前3項(xiàng)中各隨機(jī)抽取一項(xiàng),寫(xiě)出相應(yīng)的基本事件,并求這兩項(xiàng)的值相等的概率. 14．（2020年高考（大綱文））已知數(shù)列中,,前項(xiàng)和. (Ⅰ)求; (Ⅱ)求的通項(xiàng)公式. 15．（2020年高考（安徽文））設(shè)函數(shù)的所有正的極小值點(diǎn)從小到大排成的數(shù)列為. (Ⅰ)求數(shù)列; (Ⅱ)設(shè)的前項(xiàng)和為,求.

18、 16．（2020年高考（遼寧理））在中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c.角A,B,C成等差數(shù)列. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)邊a,b,c成等比數(shù)列,求的值. 17．（2020年高考（山東文））(本小題滿分12分) 在△ABC中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知. (Ⅰ)求證:成等比數(shù)列; (Ⅱ)若,求△的面積S. 18．（2020年高考（遼寧文））在中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c.角A,B,C成等差數(shù)列. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)邊a,b,c成等比數(shù)列,求的值. 19．（2020年高考（天津理））已知{}是等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,{}是等比

19、數(shù)列,且= ,,. (Ⅰ)求數(shù)列{}與{}的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)記,,證明. 20．（2020年高考（新課標(biāo)理））已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊, (1)求 (2)若,的面積為;求. 21．（2020年高考（重慶理））(本小題滿分12分,(I)小問(wèn)5分,(II)小問(wèn)7分.) 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,其中. (I)求證:是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列; (II)若,求證:,并給出等號(hào)成立的充要條件. 22．（2020年高考（四川理））已知為正實(shí)數(shù),為自然數(shù),拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn),設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距. (Ⅰ)用和表示; (Ⅱ)求對(duì)所

20、有都有成立的的最小值; (Ⅲ)當(dāng)時(shí),比較與的大小,并說(shuō)明理由. 23．（2020年高考（四川理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且對(duì)一切正整數(shù)都成立. (Ⅰ)求,的值; (Ⅱ)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,當(dāng)為何值時(shí),最大?并求出的最大值. 24．（2020年高考（上海理））對(duì)于數(shù)集,其中,,定義向量集 . 若對(duì)于任意,存在,使得,則稱X 具有性質(zhì)P. 例如具有性質(zhì)P. (1)若x>2,且,求x的值; (2)若X具有性質(zhì)P,求證:1?X,且當(dāng)xn>1時(shí),x1=1; (3)若X具有性質(zhì)P,且x1=1,x2=q(q為常數(shù)),求有窮數(shù)列的通 項(xiàng)公式. 25．（

21、2020年高考（上海春））本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分. 已知數(shù)列滿足 (1)設(shè)是公差為的等差數(shù)列.當(dāng)時(shí),求的值; (2)設(shè)求正整數(shù)使得一切均有 (3)設(shè)當(dāng)時(shí),求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 26．（2020年高考（陜西理））設(shè)的公比不為1的等比數(shù)列,其前項(xiàng)和為,且成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列的公比; (2)證明:對(duì)任意,成等差數(shù)列. 27．（2020年高考（山東理））在等差數(shù)列中,. (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)對(duì)任意,將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為,求數(shù)列 的前項(xiàng)和. 28．（2020年高考（江西理））已知數(shù)列{a

22、n}的前n項(xiàng)和,且Sn的最大值為8. (1)確定常數(shù)k,求an; (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 29．（2020年高考（江蘇））設(shè)集合,.記為同時(shí)滿足下列條件的集合的個(gè)數(shù): ①;②若,則;③若,則. (1)求; (2)求的解析式(用表示). 30．（2020年高考（江蘇））已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足:,, (1)設(shè),,求證:數(shù)列是等差數(shù)列; (2)設(shè),,且是等比數(shù)列,求和的值. 31．（2020年高考（湖南理））已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記A(n)=a1+a2++an,B(n)=a2+a3++an+1,C(n)=a

23、3+a4++an+2,n=1,2。 (1) 若a1=1,a2=5,且對(duì)任意n∈N﹡,三個(gè)數(shù)A(n),B(n),C(n)組成等差數(shù)列,求數(shù)列{ an }的通項(xiàng)公式. (2) 證明:數(shù)列{ an }是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對(duì)任意,三個(gè)數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列. 32．（2020年高考（湖北理））已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為,前三項(xiàng)的積為. (Ⅰ)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)若,,成等比數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和. 23．（2020年高考（廣東理））設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,,且、、成等差數(shù)列. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求

24、數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅲ)證明:對(duì)一切正整數(shù),有. 34．（2020年高考（大綱理））(注意:在試卷上作答無(wú)效) 函數(shù).定義數(shù)列如下:是過(guò)兩點(diǎn)的直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). (1)證明:; (2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 35．（2020年高考（北京理））設(shè)A是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于1，且所有數(shù)的和為零.記為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合. 對(duì)于，記為A的第行各數(shù)之和，為A的第列各數(shù)之和； 記為，，…，，，，…，中的最小值. （1）對(duì)如下數(shù)表A,求的值； 1 1 -0.8 0.1 -0.3 -1 （2）設(shè)數(shù)表A=形如 1 1 1

25、 -1 求的最大值； （3）給定正整數(shù)，對(duì)于所有的A∈S(2，),求的最大值。 36．（2020年高考（安徽理））數(shù)列滿足: (I)證明:數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是 (II)求的取值范圍,使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列. 參考答案 一、選擇題 1. 【答案】B 【解析】 ,故選B 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、同時(shí)考查運(yùn)算求解能力,屬于容易題. 2、 【答案】B 【解析】在等差數(shù)列中,,答案為B 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式,同時(shí)考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.解答時(shí)利用等差數(shù)列的性質(zhì)快速又

26、準(zhǔn)確. 3. [答案]D [解析]∵是公差不為0的等差數(shù)列,且 ∴ ∴ ∴ [點(diǎn)評(píng)]本小題考查的知識(shí)點(diǎn)較為綜合,既考查了高次函數(shù)的性質(zhì)又考查了等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,解決此類問(wèn)題必須要敢于嘗試,并需要認(rèn)真觀察其特點(diǎn). 4、 [答案]D [解析]∵數(shù)列{an}是公差為的等差數(shù)列,且 ∴ ∴ 即 得 ∴ [點(diǎn)評(píng)]本題難度較大,綜合性很強(qiáng).突出考查了等差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合使用,需考生加強(qiáng)知識(shí)系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)化學(xué)習(xí). 另外,隱蔽性較強(qiáng),需要考生具備一定的觀察能力. 5. x y a 2a 3a 4a 6a 5a 8a

27、9a 13a 12a 11a 10a 7a 14a [解析] 令,則,當(dāng)1≤n≤14時(shí),畫(huà)出角序列na終邊如圖, 其終邊兩兩關(guān)于x軸對(duì)稱,故有均為正數(shù), 而,由周期性可知,當(dāng)14k-13≤n≤14k時(shí),Sn>0, 而,其中k=1,2,,7,所以在中有14個(gè)為0,其余 都是正數(shù),即正數(shù)共有100-14=86個(gè),選C. 6、 x y a 2a 12a 13a … 24a 23a 26a 27a 49a 48a 38a 37a … … … [解析] 對(duì)于1≤k≤25,ak≥0(唯a25=0),所以Sk(1≤k≤25)都為正數(shù).

28、 當(dāng)26≤k≤49時(shí),令,則,畫(huà)出ka終邊如右, 其終邊兩兩關(guān)于x軸對(duì)稱,即有, 所以+++++0 +++ =+++++ +,其中k=26,27,,49,此時(shí), 所以,又,所以, 從而當(dāng)k=26,27,,49時(shí),Sk都是正數(shù),S50=S49+a50=S49+0=S49>0. 對(duì)于k從51到100的情況同上可知Sk都是正數(shù). 綜上,可選D. [評(píng)注] 本題中數(shù)列難于求和,可通過(guò)數(shù)列中項(xiàng)的正、負(fù)匹配來(lái)分析Sk的符號(hào),為此,需借助分類討論、數(shù)形結(jié)合、先局部再整體等數(shù)學(xué)思想.而重中之重,是看清楚角序列的終邊的對(duì)稱性,此為攻題之關(guān)鍵. 7. 【命題意圖】本題主

29、要考查靈活運(yùn)用數(shù)列知識(shí)求數(shù)列問(wèn)題能力,是難題. 【解析】【法1】有題設(shè)知 =1,① =3 ② =5 ③ =7,=9, =11,=13,=15,=17,=19,, ∴②-①得=2,③+②得=8,同理可得=2,=24,=2,=40,, ∴,,,,是各項(xiàng)均為2的常數(shù)列,,,,是首項(xiàng)為8,公差為16的等差數(shù)列, ∴{}的前60項(xiàng)和為=1830. 【法2】可證明: 8. 【答案】B 【解析】本題主要為數(shù)列的應(yīng)用題,觀察可得不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)首先為4,公差為4的等差數(shù)列,則所求為第20項(xiàng),可計(jì)算得結(jié)果. 9.

30、 C 【解析】設(shè)數(shù)列的公比為.對(duì)于①,,是常數(shù),故①符合條件;對(duì)于②,,不是常數(shù),故②不符合條件;對(duì)于③, ,是常數(shù),故③符合條件;對(duì)于④, ,不是常數(shù),故④不符合條件.由“保等比數(shù)列函數(shù)”的定義知應(yīng)選C. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的新應(yīng)用,函數(shù)的概念.對(duì)于創(chuàng)新性問(wèn)題,首先要讀懂題意,然后再去利用定義求解,抓住實(shí)質(zhì)是關(guān)鍵.來(lái)年需要注意數(shù)列的通項(xiàng),等比中項(xiàng)的性質(zhì)等. 10. 【答案】A 【解析】由,可得 【考點(diǎn)定位】本題主要考察數(shù)列的項(xiàng)、前n項(xiàng)和,考查數(shù)列求和能力,此類問(wèn)題關(guān)鍵是并項(xiàng)求和. 11. 答案B 【命題意圖】本試題主要考查了數(shù)列中由遞推公式求通項(xiàng)

31、公式和數(shù)列求和的綜合運(yùn)用. 【解析】由可知,當(dāng)時(shí)得 當(dāng)時(shí),有 ① ② ①-②可得即,故該數(shù)列是從第二項(xiàng)起以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,故數(shù)列通項(xiàng)公式為, 故當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),,故選答案B 12. 【答案】C 【解析】由圖可知6,7,8,9這幾年增長(zhǎng)最快,超過(guò)平均值,所以應(yīng)該加入,因此選C. 【考點(diǎn)定位】 本小題知識(shí)點(diǎn)考查很靈活,要根據(jù)圖像識(shí)別看出變化趨勢(shì),判斷變化速度可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)解,當(dāng)然此題若利用數(shù)學(xué)估計(jì)過(guò)于復(fù)雜,最好從感覺(jué)出發(fā),由于目的是使平均產(chǎn)量最高,就需要隨著的增大,變化超過(guò)平均值的加入,隨著增大,變化不足平均值,故舍去. 13. 【答案】B

32、【解析】當(dāng)時(shí),可知,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),C選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,與D選項(xiàng)矛盾.因此根據(jù)均值定理可知B選項(xiàng)正確. 【考點(diǎn)定位】本小題主要考查的是等比數(shù)列的基本概念,其中還涉及了均值不等式的知識(shí),如果對(duì)于等比數(shù)列的基本概念(公比的符號(hào)問(wèn)題)理解不清,也容易錯(cuò)選,當(dāng)然最好選擇題用排除法來(lái)做. 14. 【解析】選 15、 【解析】選,或 16、 【答案】C 【解析】選項(xiàng)C顯然是錯(cuò)的,舉出反例:—1,0,1,2,3,.滿足數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列,但是S n>0不成立. 17、 【答案】B 【解析】,,故. 【考點(diǎn)定位】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公

33、式,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答. 18、 C【解析】本題考查歸納推理的思想方法. 觀察各等式的右邊,它們分別為1,3,4,7,11,, 發(fā)現(xiàn)從第3項(xiàng)開(kāi)始,每一項(xiàng)就是它的前兩項(xiàng)之和,故等式的右邊依次為1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,, 故 【點(diǎn)評(píng)】歸納推理常?？山柚皫醉?xiàng)的共性來(lái)推出一般性的命題.體現(xiàn)考綱中要求了解歸納推理.來(lái)年需要注意類比推理等合情推理. 19、 考點(diǎn)分析:本題考察等比數(shù)列性質(zhì)及函數(shù)計(jì)算. 解析:等比數(shù)列性質(zhì),,①; ②;③;④.選C 20、 【答案】B 【解析】,而,解得. 【考點(diǎn)定位】該題主要考查等差數(shù)列的

34、通項(xiàng)公式,考查計(jì)算求解能力. 21、答案A 【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的公式的運(yùn)用,以及裂項(xiàng)求和的綜合運(yùn)用,通過(guò)已知中兩項(xiàng),得到公差與首項(xiàng),得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,并進(jìn)一步裂項(xiàng)求和. 【解析】由可得 22、 【解析】選 二、填空題 1. 【答案】 【解析】設(shè)最小邊為,則其他兩邊分別為,由余弦定理得,最大角的余弦值為 【考點(diǎn)定位】此題主要考查三角形中的三角函數(shù),等比數(shù)列的概念、余弦定理,考查分析推理能力、運(yùn)算求解能力. 2. 【答案】:15 【解析】: 【考點(diǎn)定位】本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

35、 3. [解析] (*),,所以有:,,,, ;又,得,令,則, 由題設(shè),所以,變形(*)為,則,故 ,所以. 4. 【答案】2 【解析】 因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列,且 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力,屬于中檔題. 5. 【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列n項(xiàng)和公式,是簡(jiǎn)單題. 【解析】當(dāng)=1時(shí),=,=,由S3+3S2=0得,=0,∴=0與{}是等比數(shù)列矛盾,故≠1,由S3+3S2=0得,,解得=-2. 6. 【答案】11 【解析】由已知可得公比,可得. 【考點(diǎn)定位】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及求和公式,做題時(shí)要細(xì)心

36、. 7. 【答案】(1)3;(2)2. 【解析】(1)觀察知;; 一次類推;; ;,,, b2+b4+b6+b8=3;(2)由(1)知cm的最大值為2. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識(shí),考查運(yùn)算能力,考查創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力. 需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動(dòng)腦的習(xí)慣,才可順利解決此類問(wèn)題. 8. (Ⅰ)5030;(Ⅱ)【解析】由以上規(guī)律可知三角形數(shù)1,3,6,10,,的一個(gè)通項(xiàng)公式為,寫(xiě)出其若干項(xiàng)有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110,故. 從而由

37、上述規(guī)律可猜想:(為正整數(shù)), , 故,即是數(shù)列中的第5030項(xiàng). 【點(diǎn)評(píng)】本題考查歸納推理,猜想的能力.歸納推理題型重在猜想,不一定要證明,但猜想需要有一定的經(jīng)驗(yàn)與能力,不能憑空猜想.來(lái)年需注意類比推理以及創(chuàng)新性問(wèn)題的考查. 9.解析:.,所以. 10. 【答案】1, 【解析】,所以,. 【考點(diǎn)定位】 本小題主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算,考查通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的計(jì)算. 11、 【解析】的前項(xiàng)和為 可證明: 12、 【答案】 【解析】將,兩個(gè)式子全部轉(zhuǎn)化成用,q表示的式子. 即,兩式作差得:,即:,解之得:(舍去). 13、

38、14、 【答案】 【解析】 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力,屬于中檔題. 15、 35【解析】本題考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)及整體代換的數(shù)學(xué)思想 (解法一)因?yàn)閿?shù)列都是等差數(shù)列,所以數(shù)列也是等差數(shù)列. 故由等差中項(xiàng)的性質(zhì),得,即,解得. (解法二)設(shè)數(shù)列的公差分別為, 因?yàn)? 所以.所以. 【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于等差數(shù)列的計(jì)算問(wèn)題,要注意掌握基本量法這一通法,同時(shí)要注意合理使用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行巧解. 體現(xiàn)考綱中要求理解等差數(shù)列的概念.來(lái)年需要等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,前項(xiàng)和,等差中項(xiàng)的性質(zhì)等. 16、 【答案】(1)6;(2) 【

39、解析】(1)當(dāng)N=16時(shí), ,可設(shè)為, ,即為, ,即, x7位于P2中的第6個(gè)位置,; (2)方法同(1),歸納推理知x173位于P4中的第個(gè)位置. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識(shí),考查運(yùn)算能力,考查創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力. 需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動(dòng)腦的習(xí)慣,才可順利解決此類問(wèn)題. 17、考點(diǎn)分析:本題考查排列、組合的應(yīng)用. 解析:(Ⅰ)4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字,后面數(shù)字就可以確定,但是第一位不能為0,有9(1~9)種情況,第二位有10(0~9)種情況,所以4位回文數(shù)有種. 答案:90 (Ⅱ)法一、由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn),2n+1位回文數(shù)和2n

40、+2位回文數(shù)的個(gè)數(shù)相同,所以可以算出2n+2位回文數(shù)的個(gè)數(shù).2n+2位回文數(shù)只用看前n+1位的排列情況,第一位不能為0有9種情況,后面n項(xiàng)每項(xiàng)有10種情況,所以個(gè)數(shù)為. 法二、可以看出2位數(shù)有9個(gè)回文數(shù),3位數(shù)90個(gè)回文數(shù).計(jì)算四位數(shù)的回文數(shù)是可以看出在2位數(shù)的中間添加成對(duì)的“00,11,22,99”,因此四位數(shù)的回文數(shù)有90個(gè)按此規(guī)律推導(dǎo),而當(dāng)奇數(shù)位時(shí),可以看成在偶數(shù)位的最中間添加0~9這十個(gè)數(shù),因此,則答案為. 18、解析:.設(shè)公差為(),則有,解得,所以. 19、 【答案】 【解析】由,可得 【考點(diǎn)定位】本題主要考察數(shù)列的項(xiàng)、前n項(xiàng)和,考查數(shù)列求和能力,此類問(wèn)題

41、關(guān)鍵是并項(xiàng)求和. 20、 【答案】1, 【解析】,所以,. 【考點(diǎn)定位】 本小題主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算,考查通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的計(jì)算. 三、解答題 1. 【答案】:(Ⅰ)(Ⅱ) 【解析】(Ⅰ)設(shè)數(shù)列 的公差為d,由題意知 解得 所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 因 成等比數(shù)列,所以 從而 ,即 解得 或(舍去),因此 . 2. 【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的概念,通項(xiàng)公式以及求和公式等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查了學(xué)生的綜合分析問(wèn)題能力和運(yùn)算求解能力. (1) 由Sn=,得 當(dāng)n=1時(shí),; 當(dāng)n2時(shí),,n∈N﹡. 由an=

42、4log2bn+3,得,n∈N﹡. (2)由(1)知,n∈N﹡ 所以, , ,n∈N﹡. 3.解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,由,得,由條件得方程組,故 (2)證明;由(1)得 ① ② 由①-②得, 即,而當(dāng)時(shí), 所以 4. [解析](1)由已知得,交點(diǎn)A的坐標(biāo)為,對(duì) 則拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為: (2)由(1)知f(n)=,則 即知,對(duì)于所有的n成立, 特別地,當(dāng)n=1時(shí),得到a≥3 當(dāng)a=3,n≥1時(shí), 當(dāng)n=0時(shí),=2n+1.故a=3時(shí)對(duì)所有自然數(shù)n均成立. 所以

43、滿足條件的a的最小值為3 (3)由(1)知f(k)= 下面證明: 首先證明00,即得 由0

44、[解析]取n=1,得 若a1=0,則s1=0, 當(dāng)n 若a1, 當(dāng)n 上述兩個(gè)式子相減得:an=2an-1,所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列 綜上,若a1 = 0, 若a1 (2)當(dāng)a1>0,且 所以,{bn}單調(diào)遞減的等差數(shù)列(公差為-lg2) 則 b1>b2>b3>>b6= 當(dāng)n≥7時(shí),bn≤b7= 故數(shù)列{lg}的前6項(xiàng)的和最大 [點(diǎn)評(píng)]本小題主要從三個(gè)層面對(duì)考生進(jìn)行了考查. 第一,知識(shí)層面:考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、對(duì)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí);第二,能力層面:考查思維、運(yùn)算、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力;第三,數(shù)學(xué)思想:考查方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)

45、思想. 6. [解](1)數(shù)列為:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3; 2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5 (2)因?yàn)?, 所以 因?yàn)?, 所以,即 因此, (3)對(duì),;; ;. 比較大小,可得 因?yàn)?所以,即; ,即. 又, 從而,,, 因此 = = === 7. 解：（1）由通項(xiàng)公式可得 （2） 證明： 8.解:(I)由已知得: 解得, 所以通項(xiàng)公式為. (II)由,得,即. ∵,∴是公比為49的等比

46、數(shù)列, ∴. 9. 【解析】 (1)當(dāng)時(shí), 則 , ,∴c=2.∵a2=4,即,解得k=2,∴(n)1) 當(dāng)n=1時(shí), 綜上所述 (2) ,則 (1)-(2)得 10. 【解析】(Ⅰ)由題意得, , . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 . 整理得 . 由題意, 解得. 故該企業(yè)每年上繳資金的值為繳時(shí),經(jīng)過(guò)年企業(yè)的剩余資金為4000元. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查遞推數(shù)列問(wèn)題在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力和使用數(shù)列知識(shí)分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力.第一問(wèn)建立數(shù)學(xué)模型,得出與an的關(guān)系式,第二問(wèn),只要把第一問(wèn)中的迭

47、代,即可以解決. 11.考點(diǎn)分析:考察等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,和前n項(xiàng)和公式及基本運(yùn)算. 解析:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,, 由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得 ,或. 故,或. (Ⅱ)當(dāng)時(shí),,,分別為,,,不成等比數(shù)列; 當(dāng)時(shí),,,分別為,,,成等比數(shù)列,滿足條件. 故 記數(shù)列的前項(xiàng)和為. 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí), . 當(dāng)時(shí),滿足此式. 綜上, 【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng),求和,分段函數(shù)的應(yīng)

48、用等;考查分類討論的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解的能力.求等差數(shù)列的通項(xiàng)一般利用通項(xiàng)公式求解;有時(shí)需要利用等差數(shù)列的定義:(為常數(shù))或等比數(shù)列的定義:(為常數(shù),)來(lái)判斷該數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列,然后再求解通項(xiàng);有些數(shù)列本身不是等差數(shù)列或等比數(shù)列,但它含有無(wú)數(shù)項(xiàng)卻是等差數(shù)列或等比數(shù)列,這時(shí)求通項(xiàng)或求和都需要分段討論.來(lái)年需注意等差數(shù)列或等比數(shù)列的簡(jiǎn)單遞推或等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的性質(zhì). 12.解析:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,而,所以,解得. (Ⅱ)在中用取代的位置,有,兩式相減,可得(),所以,兩式相減,可得,即(),即,所以數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列. 在式子中,令,有,即,所以,于是,所以(

49、).當(dāng)時(shí),,也滿足該式子,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是. 13. 【答案】(1), (2) 【考點(diǎn)定位】本題主要考查等差、等比數(shù)列、古典概型的基本知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想、必然與或然思想,注意留心學(xué)習(xí). 解:(1)設(shè)是數(shù)列的公差,是的公比,由題意得: . (2)分別從,中的前三項(xiàng)中各隨機(jī)抽取一項(xiàng),得到基本事件有9個(gè),.符合條件的有2個(gè),故所求概率為. 14. 【命題意圖】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和相結(jié)合的綜合運(yùn)用. 解:(1)由與可得 , 故所求的值分別為. (2)當(dāng)時(shí),① ② ①-②可得即 故有

50、 而,所以的通項(xiàng)公式為 【點(diǎn)評(píng)】試題出題比較直接,沒(méi)有什么隱含的條件,只要充分發(fā)揮利用通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的關(guān)系式變形就可以得到結(jié)論. 15. 【解析】(I) 得:當(dāng)時(shí),取極小值 得: (II)由(I)得: 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 得: 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 16. 【答案及解析】 (1)由已知 (2)解法一:,由正弦定理得 解法二:,,由此得得 所以, 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理及等差、等比數(shù)列的定義,考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力,屬于容易題.第二小題既可以利用正

51、弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,也可以利用余弦定理得到邊之間的關(guān)系,再來(lái)求最后的結(jié)果. 17.解:(I)由已知得:, ,則, 再由正弦定理可得:,所以成等比數(shù)列. (II)若,則,∴, , ∴△的面積. 15. 【答案與解析】 (1)由已知 (2)解法一:,由正弦定理得 解法二:,,由此得得 所以, 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理及等差、等比數(shù)列的定義,考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力,屬于容易題.第二小題既可以利用正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,也可以利用余弦定理得到邊之間的關(guān)系,再來(lái)求最后的結(jié)果. 19、 【

52、命題意圖】本試題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的概率、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法,考查運(yùn)算能力、推理論證的能力. (1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,由,得,由條件得方程組,故 （2） 【點(diǎn)評(píng)】該試題命制比較直接,沒(méi)有什么隱含的條件,就是等比與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用,但方法多樣,第二問(wèn)可以用錯(cuò)位相減法求解證明,也可用數(shù)學(xué)歸納法證明,給學(xué)生思維空間留有余地,符合高考命題選拔性的原則. 20、 【解析】(1)由正弦定理得: (2) 解得: 21、 (1)證明:由,得,即. 因,故,得, 又由題

53、設(shè)條件知, 兩式相減得,即, 由,知,因此 綜上,對(duì)所有成立,從而是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列. (2)當(dāng)或時(shí),顯然,等號(hào)成立. 設(shè),且,由(1)知,,,所以要證的不等式化為: 即證: 當(dāng)時(shí),上面不等式的等號(hào)成立. 當(dāng)時(shí),與,()同為負(fù); 當(dāng)時(shí), 與,()同為正; 因此當(dāng)且時(shí),總有 ()()>0,即 ,(). 上面不等式對(duì)從1到求和得, 由此得 綜上,當(dāng)且時(shí),有,當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立. 22、 [解析](1)由已知得,交點(diǎn)A的坐標(biāo)為,對(duì)則拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為 (2)由(1)知f(n)=,則 即知,對(duì)于

54、所有的n成立,特別地,取n=2時(shí),得到a≥ 當(dāng), >2n3+1 當(dāng)n=0,1,2時(shí),顯然 故當(dāng)a=時(shí),對(duì)所有自然數(shù)都成立 所以滿足條件的a的最小值是. (3)由(1)知,則, 下面證明: 首先證明:當(dāng)0

55、維能力、運(yùn)算能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)能力;且又深層次的考查了函數(shù)、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊與一般等數(shù)學(xué)思維方法. 23、 [解析]取n=1,得 ① 取n=2,得 ② 又②-①,得 ③ (1)若a2=0, 由①知a1=0, (2)若a2, ④ 由①④得: (2)當(dāng)a1>0時(shí),由(I)知, 當(dāng) , (2+)an-1=S2+Sn-1 所以,an= 所以 令 所以,數(shù)列{bn}是以為公差,且單調(diào)遞減的等差數(shù)列. 則 b1>b2>b3>>b7= 當(dāng)n≥8時(shí),bn≤b8= 所以,n=7時(shí),Tn取得最大值,

56、且Tn的最大值為 T7= [點(diǎn)評(píng)]本小題主要從三個(gè)層面對(duì)考生進(jìn)行了考查. 第一,知識(shí)層面:考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、對(duì)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí);第二,能力層面:考查思維、運(yùn)算、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力;第三,數(shù)學(xué)思想:考查方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 24、 [解](1)選取,Y中與垂直的元素必有形式 所以x=2b,從而x=4 (2)證明:取.設(shè)滿足. 由得,所以、異號(hào). 因?yàn)?1是X中唯一的負(fù)數(shù),所以、中之一為-1,另一為1, 故1?X 假設(shè),其中,則. 選取,并設(shè)滿足,即, 則、異號(hào),從而、之中恰有一個(gè)為-1. 若=-1,則,矛盾;

57、 若=-1,則,矛盾. 所以x1=1 (3)[解法一]猜測(cè),i=1, 2, , n 記,k=2, 3, , n. 先證明:若具有性質(zhì)P,則也具有性質(zhì)P. 任取,、?.當(dāng)、中出現(xiàn)-1時(shí),顯然有滿足; 當(dāng)且時(shí),、≥1. 因?yàn)榫哂行再|(zhì)P,所以有,、?,使得, 從而和中有一個(gè)是-1,不妨設(shè)=-1. 假設(shè)?且?,則.由,得,與 ?矛盾.所以?.從而也具有性質(zhì)P 現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明:,i=1, 2, , n. 當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論顯然成立; 假設(shè)n=k時(shí),有性質(zhì)P,則,i=1, 2, , k; 當(dāng)n=k+1時(shí),若有性質(zhì)P,則 也有性質(zhì)P,所以.

58、 取,并設(shè)滿足,即.由此可得s與t中有且只有一個(gè)為-1. 若,則,所以,這不可能; 所以,,又,所以. 綜上所述,,i=1, 2, , n [解法二]設(shè),,則等價(jià)于. 記,則數(shù)集X具有性質(zhì)P當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于 原點(diǎn)對(duì)稱 注意到-1是X中的唯一負(fù)數(shù),共有n-1個(gè)數(shù), 所以也只有n-1個(gè)數(shù). 由于,已有n-1個(gè)數(shù),對(duì)以下三角數(shù)陣 注意到,所以,從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ,k=1, 2, , n 25、解:(1), (2)由, 由,即;由,即 . (3)由,故, 當(dāng)時(shí),以上各式相加得

59、 當(dāng)時(shí), , 26、解析:(1)設(shè)數(shù)列的公比為() 由成等差數(shù)列,得,即 由得,解得(舍去) ∴ (2)證法一:對(duì)任意 所以,對(duì)任意,成等差數(shù)列 證法二 對(duì)任意, 因此,對(duì)任意,成等差數(shù)列. 27、解析:(Ⅰ)由a3+a4+a5=84,a5=73可得而a9=73,則,,于是,即. (Ⅱ)對(duì)任意m∈N﹡,,則, 即,而,由題意可知, 于是 , 即. 28、 【解析】 解: (1)當(dāng)時(shí),取最大值,即,故,從而,又,所以 (2) 因?yàn)? 所以 【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)

60、列的通項(xiàng),遞推、錯(cuò)位相減法求和以及二次函數(shù)的最值的綜合應(yīng)用.利用來(lái)實(shí)現(xiàn)與的相互轉(zhuǎn)化是數(shù)列問(wèn)題比較常見(jiàn)的技巧之一,要注意不能用來(lái)求解首項(xiàng),首項(xiàng)一般通過(guò)來(lái)求解.運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和適用的情況:當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)由兩項(xiàng)的乘積組成,其中一項(xiàng)是等差數(shù)列、另一項(xiàng)是等比數(shù)列. 29、 【答案】解:(1)當(dāng)時(shí),符合條件的集合為:, ∴ =4. ( 2 )任取偶數(shù),將除以2 ,若商仍為偶數(shù).再除以2 ,··· 經(jīng)過(guò)次以后.商必為奇數(shù).此時(shí)記商為.于是,其中為奇數(shù). 由條件知.若則為偶數(shù);若,則為奇數(shù). 于是是否屬于,由是否屬于確定. 設(shè)是中所有奇數(shù)的集合.因此等于的子集個(gè)數(shù).

61、 當(dāng)為偶數(shù)〔 或奇數(shù))時(shí),中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是(). ∴. 【考點(diǎn)】集合的概念和運(yùn)算,計(jì)數(shù)原理. 【解析】(1)找出時(shí),符合條件的集合個(gè)數(shù)即可. (2)由題設(shè),根據(jù)計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解. 30、 【答案】解:(1)∵,∴. ∴ .∴ . ∴數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列. (2)∵,∴. ∴.(﹡) 設(shè)等比數(shù)列的公比為,由知,下面用反證法證明 若則,∴當(dāng)時(shí),,與(﹡)矛盾. 若則,∴當(dāng)時(shí),,與(﹡)矛盾. ∴綜上所述,.∴,∴. 又∵,∴是公比是的等比數(shù)列. 若,則,于是. 又由即,得. ∴中至少有兩項(xiàng)相同,與矛盾.∴. ∴

62、. ∴ . 【考點(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì),基本不等式,反證法. 【解析】(1)根據(jù)題設(shè)和,求出,從而證明而得證. (2)根據(jù)基本不等式得到,用反證法證明等比數(shù)列的公比. 從而得到的結(jié)論,再由知是公比是的等比數(shù)列.最后用反證法求出. 31、 【解析】 解(1)對(duì)任意,三個(gè)數(shù)是等差數(shù)列,所以 即亦即 故數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列.于是 (Ⅱ)(1)必要性:若數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列,則對(duì)任意,有 由知,均大于0,于是 即==,所以三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列. (2)充分性:若對(duì)于任意,三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列,

63、 則 , 于是得即 由有即,從而. 因?yàn)?所以,故數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列, 綜上所述,數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是:對(duì)任意n∈N﹡,三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問(wèn)由等差數(shù)列定義可得;第二問(wèn)要從充分性、必要性兩方面來(lái)證明,利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證. 32、考點(diǎn)分析:考察等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,和前n項(xiàng)和公式及基本運(yùn)算. 解析:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,, 由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得 ,或. 故

64、,或. (Ⅱ)當(dāng)時(shí),,,分別為,,,不成等比數(shù)列; 當(dāng)時(shí),,,分別為,,,成等比數(shù)列,滿足條件. 故 記數(shù)列的前項(xiàng)和為. 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí), . 當(dāng)時(shí),滿足此式. 綜上, 33、解析:(Ⅰ)由,解得. (Ⅱ)由可得(),兩式相減,可得,即,即,所以數(shù)列()是一個(gè)以為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.由可得,,所以,即()

65、,當(dāng)時(shí),,也滿足該式子,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是. (Ⅲ)因?yàn)?所以,所以,于是. 點(diǎn)評(píng):上述證法實(shí)質(zhì)上是證明了一個(gè)加強(qiáng)命題,該加強(qiáng)命題的思考過(guò)程如下. 考慮構(gòu)造一個(gè)公比為的等比數(shù)列,其前項(xiàng)和為,希望能得到,考慮到,所以令即可.由的通項(xiàng)公式的形式可大膽嘗試令,則,于是,此時(shí)只需證明就可以了. 當(dāng)然,的選取并不唯一,也可令,此時(shí),,與選取不同的地方在于,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以此時(shí)我們不能從第一項(xiàng)就開(kāi)始放縮,應(yīng)該保留前幾項(xiàng),之后的再放縮,下面給出其證法. 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),. 當(dāng)時(shí),,所以 . 綜上所述,命題獲證. 下面再給出的兩個(gè)證法. 法1:(數(shù)學(xué)歸納法)

66、 ①當(dāng)時(shí),左邊,右邊,命題成立. ②假設(shè)當(dāng)(,)時(shí)成立,即成立.為了證明當(dāng)時(shí)命題也成立,我們首先證明不等式:(,). 要證,只需證,只需證,只需證,只需證,該式子明顯成立,所以. 于是當(dāng)時(shí),,所以命題在時(shí)也成立. 綜合①②,由數(shù)學(xué)歸納法可得,對(duì)一切正整數(shù),有. 備注:不少人認(rèn)為當(dāng)不等式的一邊是常數(shù)的時(shí)候是不能用數(shù)學(xué)歸納法的,其實(shí)這是一個(gè)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí). 法2:(裂項(xiàng)相消法)(南海中學(xué)錢(qián)耀周提供) 當(dāng)時(shí),顯然成立.當(dāng)時(shí),顯然成立. 當(dāng)時(shí), ,又因?yàn)?所以(),所以(),所以 . 綜上所述,命題獲證. 34、 【命題意圖】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式以及函數(shù)與數(shù)列相結(jié)全的綜合運(yùn)用.先從函數(shù)入手,表示直線方程,從而得到交點(diǎn)坐標(biāo),再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng). 解:(1)為,故點(diǎn)在函數(shù)的圖像上,故由所給出的兩點(diǎn),可知,直線斜率一定存在.故有 直線的直線方程為,令,可求得 所以 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)時(shí),,滿足 假設(shè)時(shí),成立,則當(dāng)時(shí),, 由即也成立