2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第二節(jié) 參數(shù)方程檢測(cè) 理 新人教A版

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1、2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第二節(jié) 參數(shù)方程檢測(cè) 理 新人教A版 1．(2018·湖南五市十校高三聯(lián)考)已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ－6sin θ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)寫出圓C的直角坐標(biāo)方程，并求圓心的坐標(biāo)與半徑； (2)若直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且|PQ|＝4，求直線l的斜率． 解：(1)由ρ＝4cos θ－6sin θ，得ρ2＝4ρcos θ－6ρsin θ， 將ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)代入，可得x2＋y2－4x＋6y＝0，

2、即(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心的坐標(biāo)為(2，－3)，半徑為. (2)由直線l的參數(shù)方程知直線l過定點(diǎn)(4,0)，且由題意知，直線l的斜率一定存在． 設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)． 因?yàn)閨PQ|＝4，所以＝3， 解得k＝0或k＝－. 所以直線l的斜率為0或－. 2．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ，θ∈. (1)求C的參數(shù)方程； (2)設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l：y＝x＋2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)． 解：(1)C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1(0≤y

3、≤1)． 可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤t≤π)． (2)設(shè)D(1＋cos t，sin t)． 由(1)知C是以G(1,0)為圓心，1為半徑的上半圓． 因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tan t＝，t＝. 故D的坐標(biāo)為，即. 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的普通方程為x2＋y2＋2x－4＝0，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)求曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π. 解：(1)依題意，將代入x2＋y2＋2x－4＝0，可得ρ2＋

4、2ρcos θ－4＝0. 由得y2＝x，將代入上式化簡(jiǎn)得ρsin2 θ＝cos θ， 故曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin2 θ＝cos θ. (2)將y2＝x代入x2＋y2＋2x－4＝0，得x2＋3x－4＝0，解得x＝1或x＝－4(舍去)， 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝±1，即C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為A(1,1)，B(1，－1)． ∵ρA＝，ρB＝，tan θA＝1，tan θB＝－1，ρ≥0,0≤θ＜2π， ∴θA＝，θB＝， 故曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為A，B. 4．(2018·四川成都七中期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)

5、方程為(θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l上兩點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為(2,0)，. (1)設(shè)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP的直角坐標(biāo)方程； (2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系． 解：(1)M，N的直角坐標(biāo)分別為(2,0)，，于是點(diǎn)P的坐標(biāo)為， 所以直線OP的直角坐標(biāo)方程為y＝x，即x－y＝0. (2)直線l的方程為x＋y－2＝0， 圓C的方程為(x－2)2＋(y＋)2＝4， 圓心C(2，－)到l的距離d＝＜2， 所以直線l與圓C相交． B級(jí)　能力提升練 5．(2018·河北承德實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參

6、數(shù))，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝－1. (1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，P是圓C上任一點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)和△PAB面積的最小值． 解：(1)由消去參數(shù)t，得 (x＋5)2＋(y－3)2＝2， 所以圓C的普通方程為(x＋5)2＋(y－3)2＝2. 由ρcos＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2＝0. (2)直線l與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A(－2,0)，B(0,2)，化為極坐標(biāo)為A(2，π)，B， 設(shè)P點(diǎn)的坐

7、標(biāo)為(－5＋cos t,3＋sin t)，則P點(diǎn)到直線l的距離d＝ ＝， 所以dmin＝＝2，又|AB|＝2， 所以△PAB面積的最小值為×2×2＝4. 6．(2018·廣西桂林綜合模擬金卷)已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝asin θ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)若a＝2，M是直線l與x軸的交點(diǎn)，N是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最小值； (2)若直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)等于圓C的半徑的倍，求a的值． 解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ，可化為ρ2＝2ρsin θ， 化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y

8、2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1. 直線l的普通方程為4x＋3y－8＝0，與x軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)， ∵圓心(0,1)與點(diǎn)M(2,0)間的距離為， ∴|MN|的最小值為－1. (2)ρ＝asin θ可化為ρ2＝aρsin θ， ∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋2＝. ∵直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)等于圓C的半徑的倍， ∴圓心到直線l的距離為圓C半徑的一半， ∴＝×， 解得a＝32或a＝. 7．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t≠0，其中0≤α＜π)．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ. (1)求C

9、2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)； (2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值． 解：(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0. 聯(lián)立解得或 所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和. (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的極坐標(biāo)為(2sin α，α)，B的極坐標(biāo)為(2cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4. 當(dāng)α＝時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為4. 8．(2019·東北三省四市教研聯(lián)合體模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為

10、(θ為參數(shù))，直線l1的方程為kx－y＋k＝0，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l2的極坐標(biāo)方程為cos θ－2sin θ＝. (1)寫出曲線C的普通方程和直線l2的直角坐標(biāo)方程； (2)若l1與C交于不同的兩點(diǎn)M，N，MN的中點(diǎn)為P，l1與l2的交點(diǎn)為Q，l1恒過點(diǎn)A，求|AP|·|AQ|. 解：(1)由曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，得曲線C的普通方程為(x＋3)2＋(y－4)2＝16， 由cos θ－2sin θ＝，得ρcos θ－2ρsin θ＝4， 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得直線l2的直角坐標(biāo)方程為x－2y－4＝0. (2)設(shè)M，N，Q所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，t3， 由題意得直線l1恒過點(diǎn)A(－1,0)， 故l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 代入曲線C的普通方程得t2＋4t(cos α－2sin α)＋4＝0， 則t1＋t2＝4(2sin α－cos α)， 將代入x－2y－4＝0， 整理得t3＝， 則|AP|·|AQ|＝·|t3|＝2|2sin α－cos α|·＝10.