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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第43課 合情推理要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)
演繹推理
一切奇數(shù)都不能被2整除,2100+1是奇數(shù),所以2100+1不能被2整除,其演繹推理的“三段論”的形式為:牋 .
[思維引導(dǎo)]嚴(yán)格依照“三段論”的模式進(jìn)行表述:大前提—小前提—結(jié)論.
[答案]一切奇數(shù)都不能被2整除, (大前提)
2100+1是奇數(shù), (小前提)
所以2100+1不能被2整除. (結(jié)論)
[精要點(diǎn)評(píng)]“三段論”是演繹推理的一般模式,包括第一段:大前提(已知的一般原理);第二段:小前提(所研究的特殊情況);第三段:結(jié)論(根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況做出的
2、判斷).
將函數(shù)y=2x為單調(diào)增函數(shù)的判斷寫成三段論為:
[答案]指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)為單調(diào)增函數(shù), (大前提)
y=2x為底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù), (小前提)
所以函數(shù)y=2x為單調(diào)增函數(shù). (結(jié)論)
歸納推理
(xx·武漢模擬)下表中的數(shù)陣為“森德拉姆素?cái)?shù)篩”,其特點(diǎn)是每行每列都成等差數(shù)列,記第i行第j列的數(shù)
3、為(i,j∈N*).
(1) a99= ;
(2) 表中的數(shù)82共出現(xiàn) 次.
2
3
4
5
6
7
…
3
5
7
9
11
13
…
4
7
10
13
16
19
…
5
9
13
17
21
25
…
6
11
16
21
26
31
…
7
13
19
25
31
37
…
…
…
…
…
…
…
…
[答案](1)82 (2)5
[解析](1) a99表示第9行第9列,第1行的公差為1,第2行的公差為2……第9行的公差為9,第9行的首項(xiàng)b1=10,則b9=10+
4、8×9=82.
(2) 第1行數(shù)組成的數(shù)列{a1j}(j=1,2,…)是以2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,所以a1j=2+(j-1)·1=j+1;第i行數(shù)組成的數(shù)列{aij}(j=1,2,…)是以i+1為首項(xiàng)、公差為i的等差數(shù)列,所以aij=(i+1)+(j-1)i=ij+1,由題意aij=ij+1=82,即ij=81,且i,j∈N,所以81=81×1=27×3=9×9=1×81=3×27,故表格中82共出現(xiàn)5次.
(xx·上海虹口區(qū)模擬)已知函數(shù)f(n)=n2·sin,且an=f(n)+f(n+1),求a1+a2+a3+…+a2 014的值.
[思維引導(dǎo)]因?yàn)槭侵芷跀?shù)列,為1,0,
5、-1,0,…,故在a1+a2+…+a2 014時(shí)要分組求和.
[解答]易知n為偶數(shù)時(shí),f(n)=0.
a1+a2+a3+…+axx
=[f(1)+f(2)]+[f(2)+f(3)]+[f(3)+f(4)]+…+[f(xx)+f(xx)]
=f(1)+2[f(3)+f(5)+…+f(xx)]+f(xx)
=1+4×(-32+52-72+92-…-2 0112+2 0132)-xx2
=1+4×(3+5+…+2011+xx)-xx2
=1+4×-xx2
=-4032.
類比推理
已知正三角形內(nèi)切圓的半徑r與它的高h(yuǎn)的關(guān)系是r=h,把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體,則正四面體
6、內(nèi)切球的半徑r與正四面體高h(yuǎn)的關(guān)系是 .
[答案]r=h
[解析]由V=4××S×r=×S×h,可得r=h.
在矩形ABCD中,對(duì)角線AC與相鄰兩邊所成的角為α,β,則cos2α+cos2β=1.類比到空間中一個(gè)正確命題是:在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,對(duì)角線AC1與相鄰三個(gè)面所成的角為α,β,γ,則有 .
[答案]cos2α+cos2β+cos2γ=2
已知數(shù)列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列,a10,a11,…,a20是公差為d的等差數(shù)列,a20,a21,…,a30是公差為d2的等差數(shù)列(d
7、≠0).
(1) 若a20=40,求d.
(2) 試寫出a30關(guān)于d的關(guān)系式,并求a30的取值范圍.
(3) 續(xù)寫該數(shù)列,使得a30,a31,…,a40是公差為d3的等差數(shù)列,依此類推,把已知數(shù)列推廣為無(wú)窮數(shù)列;提出同(2)類似的問(wèn)題((2)應(yīng)當(dāng)做為特例)并進(jìn)行研究,你能得到什么樣的結(jié)論?
[規(guī)范答題](1) a10=10,a20=10+10d=40,所以d=3.(3分)
(2) a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0),(5分)
a30=10,當(dāng)d∈(-∞,0)∪(0,+∞)時(shí),a30∈[7.5,+∞). (8分)
(3) 所給數(shù)列可推廣為無(wú)窮數(shù)列{an},其中
8、a1,a2,…,a10是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列.當(dāng)n≥1時(shí),數(shù)列a10n,a10n+1,…,a10(n+1)是公差為dn的等差數(shù)列.(10分)
研究的問(wèn)題可以是:試寫出a10(n+1)關(guān)于d的關(guān)系式,并求出a10(n+1)的取值范圍.
研究的結(jié)論可以是:由a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3).依次類推可得:
a10(n+1)=10(1+d+d2+…+dn)(12分)
= (13分)
當(dāng)d>0時(shí),a10(n+1)的取值范圍為(10,+∞).(14分)
1. 按照如圖所示的數(shù)所呈現(xiàn)的規(guī)律,下一個(gè)數(shù)“?”代表 .
(第1題)
[答案]112
9、[解析]觀察這列數(shù)可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律,依次寫成2×2-1,3×20,4×21,5×22,6×23,則很容易得出下一個(gè)數(shù)是7×24=112.
2. 在數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25項(xiàng)為 .
[答案]7
3. 下列四個(gè)圖形中,著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng),則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為 .
(第3題)
[答案]an=3n-1
[解析]由圖可知前4個(gè)圖中著色三角形的個(gè)數(shù)分別為1,3,32,33,…,猜想第n個(gè)圖的著色三角形的個(gè)數(shù)為3n-1,所以有an=3n-1.
4. 在二維空間中,圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l=2πr,二維測(cè)度(面積)S=πr2;在三維空間中,球的二維測(cè)度(表面積)S=4πr2,三維測(cè)度(體積)V=πr3.應(yīng)用合情推理,若在四維空間中,“超球”的三維測(cè)度V=8πr3,則其四維測(cè)度W= .
[答案]2πr4
[解析]觀察同一維度空間里兩個(gè)維度的數(shù)量倍數(shù)關(guān)系.
[溫馨提醒]
趁熱打鐵,事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測(cè)與評(píng)估》中的練習(xí)(第85-86頁(yè)).
2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第43課 合情推理要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)
