19、
(2)求證：對任意實數(shù)m，數(shù)列{bn＋mbn＋1}都是等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差；
(3)設cn＝dn＝，
求數(shù)列{cn}的前n項和Tn，并比較Tn與dn的大?。?
[解] (1)設數(shù)列{an}的公比為q，則解得(舍去)，或
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n．
(2)當n＝1時，4b1＝b＋2b1＋1，所以b1＝1，
當n≥2時，4(Sn－Sn－1)＝4bn＝b＋2bn＋1－(b＋2bn－1＋1)，
所以(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0，
因為bn＋bn－1>0，所以bn－bn－1＝2，
所以數(shù)列{bn}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以bn＝2n－1．
20、
因為bn＋1＋mbn＋2－(bn＋mbn＋1)＝(bn＋1－bn)＋m(bn＋2－bn＋1)＝2＋2m，
所以對任意實數(shù)m，數(shù)列{bn＋mbn＋1}都是等差數(shù)列，且該數(shù)列的公差為2＋2m．
(3)因為當n≥2時，cn＝＝－，又c1＝－也符合此式，
所以cn＝－，
所以Tn＝(－2)＋(－)＋…＋(－)＝－2．
又dn＝＝－2，
所以Tn－dn＝－2－[－2]＝，
當n<6時，<0，所以Tn6時，>0，所以Tn>dn．
1．(2019·南京模擬)在等比數(shù)列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，則＝_______
21、_．
[解析] 法一：設等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2a6＝16得aq6＝16，所以a1q3＝±4．由a4＋a8＝8，得a1q3(1＋q4)＝8，即1＋q4＝±2，所以q2＝1．于是＝q10＝1．
法二：由等比數(shù)列的性質，得a＝a2a6＝16，所以a4＝±4，又a4＋a8＝8，所以或因為a＝a4a8>0，所以則公比q滿足q4＝1，q2＝1，所以＝q10＝1．
[答案] 1
2．(2019·宿遷模擬)若等差數(shù)列{an}滿足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，則a4＋S7的值是________．
[解析] 由S3＝3a2，得a2＝1，由S5＝5a3，得a3＝2，則a4＝3，S7＝7a4
22、，則a4＋S7＝8a4＝24．
[答案] 24
3．(2019·江蘇名校高三入學摸底)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，bn＝(n∈N*)，則數(shù)列{bn}的通項公式是________．
[解析] 由已知得＝(n∈N*)，
則＝＋n＋(n∈N*)，即bn＋1－bn＝n＋(n∈N*)，所以b2－b1＝1＋，b3－b2＝2＋，…，bn－bn－1＝(n－1)＋，
累加得bn－b1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋＝＋＝，
又b1＝＝1，所以bn＝＋1＝．
[答案] bn＝
4．已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的公比q＝_
23、_______．
[解析] 因為2(an＋an＋2)＝5an＋1，
所以2an(1＋q2)＝5anq，
所以2(1＋q2)＝5q，解得q＝2或q＝．
因為數(shù)列為遞增數(shù)列，且a1>0，所以q>1，所以q＝2．
[答案] 2
5．(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學調研(一))中國古代著作《張丘建算經(jīng)》中有這樣一個問題：“今有馬行轉遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么這匹馬最后一天行走的里程數(shù)為______．
[解析] 由題意可知，這匹馬每天行走的里程數(shù)構成等比數(shù)列，設為{an}，易知公比q＝，則S
24、7＝＝2a1＝a1＝700，所以a1＝700×，所以a7＝a1q6＝700××＝，所以這匹馬最后一天行走的里程數(shù)為．
[答案]
6．(2019·蘇州市第一學期學業(yè)質量調研)設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若＝，則＝______．
[解析] 法一：設等比數(shù)列{an}的公比為q，若公比q為1，則＝，與已知條件不符，所以公比q≠1，所以Sn＝，因為＝，所以＝，所以q5＝2，所以＝＝＝．
法二：因為＝，所以不妨設S5＝a，S10＝3a，a≠0，易知S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等比數(shù)列，由S5＝a，S10－S5＝2a，得S15－S10＝4a，S20－S15＝8a，從
25、而S20＝15a，所以＝＝．
[答案]
7．設數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么an＋bn組成的數(shù)列的第37項的值為________．
[解析] {an}，{bn}都是等差數(shù)列，則{an＋bn}為等差數(shù)列，首項為a1＋b1＝100，
d＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－100＝0，所以{an＋bn}為常數(shù)數(shù)列，第37項為100．
[答案] 100
8．(2019·南京市四校第一學期聯(lián)考)已知各項均為正數(shù)的等比列{an}中，a2＝3，a4＝27，S2n為該數(shù)列的前2n項和，Tn為數(shù)列{anan＋1}的前n項和，若S2n＝
26、kTn，則實數(shù)k的值為______．
[解析] 因為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2＝3，a4＝27，所以a1＝1，公比q＝3，所以S2n＝＝，an＝3n－1．令bn＝anan＋1＝3n－1·3n＝32n－1，所以b1＝3，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比q′＝9，所以Tn＝＝．因為S2n＝kTn，所以＝k·，解得k＝．
[答案]
9．(2019·泰州市高三模擬)已知公差為2的等差數(shù)列{an}及公比為2的等比數(shù)列{bn}滿足a1＋b1>0，a2＋b2<0，則a3＋b3的取值范圍是________．
[解析] 法一：由題意可得，該不等式組在平面直角坐標系a1Ob1中表示的平面區(qū)域如圖
27、中陰影部分所示，則當a3＋b3＝a1＋4＋4b1經(jīng)過點(2，－2)時取得最大值－2，則a3＋b3<－2．
法二：由題意可得，則a3＋b3＝a1＋4＋4b1＝－2(a1＋b1)＋3(a1＋2b1)＋4<－2，故a3＋b3的取值范圍是(－∞，－2)．
[答案] (－∞，－2)
10．在數(shù)列{an}中，n∈N*，若＝k(k為常數(shù))，則稱{an}為“等差比數(shù)列”，下列是對“等差比數(shù)列”的判斷：
①k不可能為0；
②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；
③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；
④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項為0．
其中所有正確判斷的序號是________．
[解析] 由等差比數(shù)
28、列的定義可知，k不為0，所以①正確，當?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以②錯誤；當{an}是等比數(shù)列，且公比q＝1時，{an}不是等差比數(shù)列，所以③錯誤；數(shù)列0，1，0，1，…是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無數(shù)多個0，所以④正確．
[答案] ①④
11．(2019·寶雞模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
[解] (1)證明：因為an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，
所以an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an
29、－1)(n≥2)．
又a1＝5，a2＝5，所以a2＋2a1＝15，
所以an＋2an－1≠0(n≥2)，
所以＝3(n≥2)，
所以數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，
則an＋1＝－2an＋5×3n，
所以an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．
又因為a1－3＝2，所以an－3n≠0，
所以{an－3n}是以2為首項，－2為公比的等比數(shù)列．
所以an－3n＝2×(－2)n－1，
即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．
12．(2019·蘇州市高三模擬)已知數(shù)列{an}滿足：
30、a1＝，an＋1－an＝p·3n－1－nq，n∈N*，p，q∈R．
(1)若q＝0，且數(shù)列{an}為等比數(shù)列，求p的值；
(2)若p＝1，且a4為數(shù)列{an}的最小項，求q的取值范圍．
[解] (1)因為q＝0，an＋1－an＝p·3n－1，
所以a2＝a1＋p＝＋p，a3＝a2＋3p＝＋4p．
由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，得＝，解得p＝0或p＝1．
當p＝0時，an＋1＝an，所以an＝，符合題意；
當p＝1時，an＋1－an＝3n－1，
所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝＋(1＋3＋…＋3n－2)＝＋＝·3n－1，
所以＝3．符合題
31、意．
所以p的值為0或1．
(2)因為p＝1，所以an＋1－an＝3n－1－nq，
又a4為數(shù)列{an}的最小項，
所以，即，所以3≤q≤．
此時a2－a1＝1－q<0，a3－a2＝3－2q<0，
所以a1>a2>a3≥a4．
當n≥4時，令bn＝an＋1－an，bn＋1－bn＝2·3n－1－q≥2·34－1－>0，
所以bn＋1>bn，所以0≤b4
32、等差數(shù)列，并記在an－1與an之間插入的這n個數(shù)的均值為Cn－1．
(1)若an＝，求C1，C2，C3；
(2)在(1)的條件下是否存在常數(shù)λ，使{Cn＋1－λCn}是等差數(shù)列？如果存在，求出滿足條件的λ，如果不存在，請說明理由．
[解] (1)由題意a1＝－2，a2＝1，a3＝5，a4＝10，
所以在a1與a2之間插入－1，0，C1＝－．
在a2與a3之間插入2，3，4，C2＝3．
在a3與a4之間插入6，7，8，9，C3＝．
(2)在an－1與an之間插入n個數(shù)構成等差數(shù)列，d＝＝1，
所以Cn－1＝＝＝．
假設存在λ使得{Cn＋1－λCn}是等差數(shù)列．
所以(Cn＋1
33、－λCn)－(Cn－λCn－1)
＝Cn＋1－Cn－λ(Cn－Cn－1)
＝－λ·
＝(1－λ)n＋－λ＝常數(shù)，所以λ＝1．
即λ＝1時，{Cn＋1－λCn}是等差數(shù)列．
14．(2019·無錫期中檢測)在等差數(shù)列{an}中，a1＝3，其前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù)，b1＝1，其前n項和為Tn，且b2＋S2＝11，2S3＝9b3．
(1)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)問是否存在正整數(shù)m，n，r，使得Tn＝am＋r·bn成立？如果存在，請求出m，n，r的關系式；如果不存在，請說明理由．
[解] (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn
34、}的公比為q(q＞0)，則
解得d＝3，q＝2．
所以an＝3n，bn＝2n－1．
(2)因為Tn＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1，
所以有2n－1＝3m＋r·2n－1．(*)
若r≥2，則r·2n－1＞2n－1，(*)不成立，
所以r＝1，m＝．
若n為奇數(shù)，①當n＝1時，m＝0，不成立，
②當n＞1時，設n＝2t＋1，t∈N*，
則m＝＝＝∈Z；
若n為偶數(shù)，設n＝2t，t∈N*，
則m＝＝＝＝2·＋，
因為∈Z，所以m?Z．
綜上所述，存在正整數(shù)m，n，r，使得Tn＝am＋r·bn成立，此時n為大于1的奇數(shù)，r＝1，且m＝．
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（江蘇專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題三 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學案 文 蘇教版
