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1、2022人教A版數(shù)學(xué)必修五 第二章數(shù)列 《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》學(xué)習(xí)過程
學(xué)習(xí)過程
知識(shí)點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
當(dāng)時(shí)， ① 或 ②
當(dāng)q=1時(shí)，
當(dāng)已知, q, n 時(shí)用公式①；當(dāng)已知, q, 時(shí)，用公式②.
公式的推導(dǎo)方法一：
一般地，設(shè)等比數(shù)列它的前n項(xiàng)和是
由
得
∴當(dāng)時(shí)， ① 或 ②
當(dāng)q=1時(shí)，
公式的推導(dǎo)方法二：
有等比數(shù)列的定義，
根據(jù)等比的性質(zhì)，有
即 （結(jié)論同上）
圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比定理，導(dǎo)出了公式．
公式的推導(dǎo)方法三：
＝
＝＝
（結(jié)論同上）
學(xué)習(xí)結(jié)論
等比數(shù)列的
2、前n項(xiàng)和公式：
當(dāng)時(shí)， ① 或 ②
當(dāng)q=1時(shí)，
典型例題
例1、設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a(a＞0)，公比為q(q＞0)，前n項(xiàng)和為80，其中最大的一項(xiàng)為54，又它的前2n項(xiàng)和為6560，求a和q．
答案：a=2，q=3
解析： 由Sn=80，S2n=6560，故q≠1
∵a＞0，q＞1，等比數(shù)列為遞增數(shù)列，故前n項(xiàng)中最大項(xiàng)為an．
∴an=aqn-1=54 ?、?
將③代入①化簡得a=q－1 ?、?
由⑤，⑥聯(lián)立方程組解得a=2，q=3
證明： ∵Sn=a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1
S2n=Sn＋(a1qn＋a1qn+1＋…＋a1q2n-1)
=Sn＋qn(a1＋a1q＋…＋a1qn-1)
=Sn＋qnSn
=Sn(1＋qn)
類似地，可得S3n=Sn(1＋qn＋q2n)
例3、一個(gè)有窮的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)．
答案：公比為2，項(xiàng)數(shù)為8．
解析： 設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*)，因?yàn)閍1=1，由已知可得q≠1．
即公比為2，項(xiàng)數(shù)為8．
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