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1、2022年高三數(shù)學(xué)12月月考試題 文(VI)
一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只
有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則為
A. (0，＋) B. (1，＋) C. [2，＋) D.［1，＋)
2. 已知一個(gè)幾何體的三視圖是三個(gè)全等的邊長為1的正方形 (如圖所示),則它的體積為
俯視圖
正視圖
側(cè)視圖
A. B.
C. D.
3. 已知傾
2、斜角為的直線與直線垂直，則的值為
A. B. C. D.
4. 已知是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是
A. 若 B. 若
C. 若 D. 若
5．函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
A.0 B．1 C．2 D．3
6. 若非零向量滿足，且，則與的夾角為
A. B. C.
3、 D.
7. 如圖所示，點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，、是圖象與軸的交點(diǎn)，若，則等于
A.8 B.
C. D.
8．的外接圓的圓心為O，半徑為1，且，則向量在向量方向上的投影為
A. B. C. D.
9．已知實(shí)數(shù)滿足：，，則的取值范圍是
A. B. C. D.
10．已知函數(shù)對任意
4、的滿足 (其中 是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是
A. B.
C. D.
11．已知命題p：?x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．
若p∧q為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為
A.m≥2 B. m≤－2或m>－1
C. m≤－2或m≥2 D.－1＜m≤2
12. .已知函數(shù),n∈N*的圖象與直線交于點(diǎn)P，若圖象在點(diǎn)P處的切線
5、與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則＋＋…＋的值為
A.－1 B. 1－log20132012 C.-logxxxx D.1
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則 .
14.若直線過曲線的對稱中心，
則的最小值為 .
15.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，
且三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是 .
16. 數(shù)列的通項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，則=
6、 ．
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=3an ,n∈N*．設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和， 已知b1≠0，2bn–b1=S1 Sn，n∈N*．
D
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=bn log3 an，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
18.（本小題滿分12分）
如圖，在直三棱柱中，,,
,分別為棱的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證:∥平面；
（Ⅱ）若異面直線與 所成角為，
求三棱錐的體積．
19.（本小題滿分12分）已知某班學(xué)
7、生語文與數(shù)學(xué)的學(xué)業(yè)水平測試成績抽樣統(tǒng)計(jì)如下表，若抽取學(xué)生n人，成績分為A（優(yōu)秀）、B（良好）、C（及格）三個(gè)等級(jí)，設(shè)x，y分別表示語文成績與數(shù)學(xué)成績．例如：表中語文成績?yōu)锽等級(jí)的共有20＋18＋4＝42人．已知x與y均為B等級(jí)的概率是0.18．
（Ⅰ）求抽取的學(xué)生人數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)該樣本中，語文成績優(yōu)秀率是30%，求a，b值；
（Ⅲ）已知求語文成績?yōu)锳等級(jí)的總?cè)藬?shù)
比語文成績?yōu)镃等級(jí)的總?cè)藬?shù)少的概率.
20.（本小題滿分12分）已知橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線與
8、以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)
和，滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.
21. （本小題滿分12分）已知函數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值；
（Ⅱ）若在區(qū)間（1， +∞）上，函數(shù)的圖象恒在直線下方，
求的取值范圍．
四、請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時(shí)，用2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號(hào)涂黑．
22．（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講
如圖，四邊形內(nèi)接于
9、⊙，過點(diǎn)作⊙的
切線交的延長線于，已知.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）證明：．
23．（本小題滿分10分）選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，
曲線方程為; 的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為曲線上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn) 到曲線距離的取值范圍．
24.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講
已知關(guān)于的不等式，其解集為.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，
10、均為正實(shí)數(shù)，且滿足，求的最小值.
蘭州一中xx-1學(xué)期高三月考（12月）數(shù)學(xué)試題
文科試題
第Ⅰ卷 （選擇題 共60分）
一.選擇題：本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則為 (B)
A. (0，＋) B. (1，＋) C. [2，＋) D.［1，＋)
2.已知一個(gè)幾何體的三視圖是三個(gè)全等的邊長為1的正方形，如圖所示，則它的體積為 (D)
俯視圖
正視圖
側(cè)視圖
A
11、. B.
C. D.
3. 已知傾斜角為的直線與直線垂直，則的值為 (B)
A. B. C. D.
4. 已知是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（ C ）
A. 若 B. 若
C. 若 D. 若
5．函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ C ）
A.0
12、 B．1 C．2 D．3
6. 若非零向量滿足，且，則與的夾角為 (A)
A. B. C. D.
7. 如圖所示，點(diǎn)是函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，、是圖象與軸的交點(diǎn)，若，則等于 (C)
A. B.
C. D.
8． 的外接圓的圓心為O，半徑為1，且，則向量在向量方向上的投影為 ( A )
A.
13、 B. C. D.
9．已知實(shí)數(shù)滿足：，，則的取值范圍是（ B ）
A. B. C. D.
10．已知函數(shù)對任意的滿足 (其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是 (A)
A. B.
C. D.
11．已知命題p：?x∈R，(m＋1
14、)(x2＋1)≤0，命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．
若p∧q為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 (B)
A．m≥2 B．m≤－2或m>－1
C．m≤－2或m≥2 D．－1＜m≤2
12. .已知函數(shù),n∈N*的圖象與直線交于點(diǎn)P，若圖象在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則＋＋…＋的值為（ A ）
A.－1 B. 1－log20132012 C.-logxxxx D.1
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
本卷包括必考
15、題和選考題兩部分。第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答。第22題~第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則 2
14.若直線過曲線的對稱中心，
則的最小值為________.
15．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，
且三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是 .
16．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，則= 200 ．
三．解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1
16、=1，an+1=3an ,n∈N*．設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，
已知b1≠0，2bn–b1=S1Sn，n∈N*．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=bnlog3an，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn；
解：（1）∵an+1=3an，∴{an}是公比為3，首項(xiàng)a1=1的等比數(shù)列，
∴通項(xiàng)公式為an=3n–1． ………………2分
∵2bn–b1=S1?Sn，∴當(dāng)n=1時(shí)，2b1–b1=S1?S1，
∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．
∴當(dāng)n＞1時(shí)，
17、bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1，
∴{bn}是公比為2，首項(xiàng)a1=1的等比數(shù)列，
∴通項(xiàng)公式為bn=2n–1． …………6分
（2）cn=bn?log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1，
Tn=0?20+1?21+2?22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ①
2Tn= 0?21+1?22+2?23+……+(n–2)2n–1+(n–1) 2n ②
①–②得：–Tn=0?20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)
18、2n
=2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n
∴Tn=(n–2)2n+2． …………12分
D
18.（本小題滿分12分）．如圖，在直三棱柱中，,,,分別為棱的中點(diǎn)．
（1）求證:∥平面；
（2）若異面直線與所成角為，
求三棱錐的體積．
解：（1）證明：取的中點(diǎn),連接, 因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，
所以∥,∥,,平面,
平面,所以平面∥平面，
又平面,所以∥平面. ………………………
19、……………4分
（2）由（Ⅰ）知異面直線與所成角,所以, ……………6分
因?yàn)槿庵鶠橹比庵云矫?所以平面,,,,
由,
平面, ……………………10分
所以 . ……………………12分
19. （本小題滿分12分）．已知某班學(xué)生語文與數(shù)學(xué)的學(xué)業(yè)水平測試成績抽樣統(tǒng)計(jì)如下表，若抽取學(xué)生n人，成績分為A（優(yōu)秀）、B（良好）、C（及格）三個(gè)等級(jí)，設(shè)x，y分別表示語文成績與數(shù)學(xué)成績．例如：表中語文成績?yōu)锽等級(jí)的共有20＋18＋4＝42人．已知x與y均為B等級(jí)的概率是0.18．
（1）求抽取的學(xué)
20、生人數(shù)；
（2）設(shè)該樣本中，語文成績優(yōu)秀率是30%，求a，b值；
（3）已知求語文成績?yōu)锳等級(jí)的總?cè)藬?shù)比語文成績?yōu)?
C等級(jí)的總?cè)藬?shù)少的概率.
解：（1）由題意可知＝0.18，得.故抽取的學(xué)生人數(shù)是 .…………..2分
（2） 由（Ⅰ）知，，故， …………..4分
而，故. …………..6分
（3）設(shè)“語文成績?yōu)榈燃?jí)的總?cè)藬?shù)比語文成績?yōu)榈燃?jí)的總?cè)藬?shù)少”為事件，
由（2）易知，且滿足條件的
21、有
共有組，其中的有組， …………..11分
則所求概率為. …………..12分
20.（本小題滿分12分）已知橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰
直角三角形，直線與以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)和，滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）由題意，以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為，
∴圓心到直線的距離（*）………
22、………………………1分
∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，
∴,， 代入（*）式得， ∴，
故所求橢圓方程為 ……………………………………………………4分
（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，設(shè)，
將直線方程代入橢圓方程得：，
∴，∴.
設(shè),，則， …………………6分
由，
當(dāng),直線為軸，點(diǎn)在橢圓上適合題意； …………………………………7分
當(dāng)，得
∴
將上式代入橢圓方程得：，
整理得：，由知，，
所以， ……………………………………………………………11分
綜上可得. …………………………………
23、…………………………12分
21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值；
（2）若在區(qū)間（1， +∞）上，函數(shù)的圖象恒在直線下方，求的取值范圍．
解：（1）當(dāng)時(shí)
……………1分
當(dāng),有；當(dāng)，有，在區(qū)間
上是增函數(shù)，在 上為減函數(shù)， …………… 3分
又 …
24、…………4分
（2）令，則的定義域?yàn)?
在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線下方
等價(jià)于 在區(qū)間上恒成立. ……………………5分
①
①若，令，得極值點(diǎn)
當(dāng)，即時(shí)，在（，1)上有，在上有，
在上有，此時(shí)在區(qū)間上是增函數(shù)，
并且在該區(qū)間上有
不合題意；
25、
當(dāng)，即時(shí)，同理可知，在區(qū)間上，有
，也不合題意； ……………………8分
② 若，則有，此時(shí)在區(qū)間上恒有，
從而在區(qū)間上是減函數(shù)；
要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，
由此求得的范圍是。 ……………………11分
綜合①②可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在直線下方.
26、 ……………12分
四、請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號(hào)涂黑．
22．（本小題滿分10分） 選修4—1：幾何證明選講
如圖，四邊形內(nèi)接于⊙，過點(diǎn)作⊙的切
線交的延長線于，已知.
證明：（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
解：（Ⅰ）∵與⊙相切于點(diǎn)，
∴. …………………2分
27、 又，
∴，
∴. …………………………5分
（Ⅱ）∵四邊形內(nèi)接于⊙，
∴， ……………………………………………………………6分
又， ∴∽.
∴，即，∴. ………………………10分
23．（本小題滿分10分）選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線方程為．的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．
（I）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和的普通方程；
（II）設(shè)點(diǎn)為曲線上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到曲線距離的取值范圍．
解：（I）的直角坐標(biāo)方程：，
的普通
28、方程：． ………………4分
（II）由（I）知，為以為圓心，為半徑的圓，
的圓心到的距離為，則與相交，
到曲線距離最小值為0，最大值為，
則點(diǎn)到曲線距離的取值范圍為． ………………10分
24.（本小題滿分10分） 選修4—5：不等式選講
已知關(guān)于的不等式，其解集為.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，均為正實(shí)數(shù)，且滿足，求的最小值.
24.（本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）不等式可化為，
∴，即, ……………………………………2分
∵其解集為，∴ ，. ………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（方法一：利用基本不等式）
∵ ，
∴ ，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值為.……………10分
. （方法二：利用柯西不等式）
∵ ，
∴ ，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值為.……………10分
（方法三：消元法求二次函數(shù)的最值）
∵，∴，
∴，
∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值為.………………………………10分
2022年高三數(shù)學(xué)12月月考試題 文(VI)
